期末复习线代样卷

A． a 0

D．a12、矩阵 1 2的秩为2，则a A. B. 三、计算题(每小题7分，共42 1 1400000000 (1)x12x24x315、问取何值时，齐次线性方程组2x13)x2x30xx(1)x 016、设矩阵A

B11B2A2B1A)1 。

0

17AXBXXA11

1

B 5 5A

000，利用分块矩阵计算A1 1 四、证明题(每小题5分，共1019、设nA满足AE30AA第二套线性代数模拟试题解一、填空题(424分1、A为3阶方阵,且A2,A*是A的伴随矩阵,则4A1A* A

A12A1

4A1A4A12A12A18A141 2、A为5×3矩阵,秩(A)=3,B 0 0

0,则秩(AB 33BABAA3、1,2123均为4向量A(1123B(2123)A1，B4，则AB 。AB(12,21,22,23)AB(12,21,22,23。812,1,2,3)81,1,2,32,1,2,38(14)1 t4、2，3，且T4，则t 12 12

tT 213t6222

t45、如果n元非齐次线性方程组AXB有解，R(A)r，则当 2 36AXB的3

,

,，如

4R(A)3，则方程组AXB的通解是 二、单项选择题(每小题4分，共24分)

8、n阶方阵A,B,C满足ABCE，其中E为单位矩阵，则必

09、矩阵 2的秩为2，则t 1t A. B. A.必有一个向量为零向 B.必有二个向量对应分量成比C.必有一个向量是其余向量的线性组 D.任一列向量是其余列向量的线性组11、若r维向量组1,2m线性相关，为任一r维向量， A.1,2m,线性相 C.1,2m,线性相关性不

1,2m,线性无1,2m中一定有零向 A.秩(A B.秩(A C.秩(A D.秩(A三、计算题(742分a100b101ca100b101c100d 0

2

2

1C 1B AYBC，求矩阵Y

3 15、已知三阶方阵A 1，且A2ABE，计算矩阵B

、求矩阵

x2x3x4、写出方程组 xxx2的通解 1x22x3x418、已知R3中的向量组1,2,

线性无关，向量组b11k2,b223四、证明题(每小题5分，共1019

B为nAB0，则秩A秩(B)n20、如果1,2,3,43个向量都线性无关，证明必存在一组全不为零的数k1k2k3k4，使得k11k22k33k440。第三套线性代数模拟试题解1231、已知三阶行列式D456789一、填空题1231、已知三阶行列式D456789Aij表示它的元素aij的代数余子式，则与122、A,B均为n阶方阵，AB3， AB1=12

1AB1n n

A

A 2 3A

0，则A2E)1= 0 由于 02 00 4、向量组1(1,2,3),2(1,2,1),3 线

0

4

56A5，AxbAx

RA5Ax01 26、已知x1为A 3的特征向量，则

。二、单项选择题(每小题4分，共24 7、A 1 P2 1 1

0， 11

8、n元齐次线性方程组AX0有非零解的充分必要条件 R(A)

R(A)

R(A)

R(A)9、已知mnA的秩为n1，1,2AX0为任意常数，则方程组AX0的通解 A．

C．k(12

D．k(1210AB相似,则下列说法不正确的是A.秩(A)=秩(B B.A=

A

D.AB11、若nA的两个不同的特征值

2x1x2，则。A.x1和x2线性相 B.x1和x2线性无C.x1和x2正 D.x1和x2的内积等于12、n阶方阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角矩阵相似 条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要矩阵A与对角矩阵相似的充分必要定理保证。三、计算题(每小题7分，共42 13AB3阶方阵，E3阶单位矩阵，ABEA2BB。

A 0 x1x22x314、k满足什么条件时，方程组

k

2x1

k2x315、向量组1320)T, 5（1）（2）5A

0 0

3y 1 2 0、计算矩阵

01221218、当t为何值时

2x3

24x2

四、证明题(每小题5分，共1019、设向量b能由1,2,3这三个向量线性表示且表达式唯一,证明：向量组1,2,3线20、设1,2,3是nA3123，A的特征向量。第一套线性代数模拟试题解一、填空题(424分1a1ia23a35a5ja44是五阶行列式中带正号的一项，则i

,j 令i1,j2，(12354(135241342、若将n阶行列式D的每一个元素添上负号得到新行列式D，则D (1)n (1)n 3、设A 1,则A100=11000 1 111 2 010 1

21 10 1 4A5A55A

5A5nA5n15n5、A为n阶方阵,AATE且A0,则AE 由已知条件：AATE 而：AEA 06、设三阶方阵A y可逆，则

y应满足条件3x2y 3

可逆，则行列式不等于零：A y2 二、单项选择题(424分a a

M0，则行列

A．

a

C．

D．由于

2

8、设n阶行列式Dn，则Dn0的必要条件 C．Dn中各列 和为 (AB)1

AB

A

(

BT

AB10

B为同阶可逆矩阵，0为数，则下列命题中不正确的 (A1)1

(A)1

(AB)1

由运算法则，就有(A)11A111、设A为n阶方阵，且Aa0，则A CA． a

D．a因为AA 012、矩阵 1 2的秩为2，则a A. B. 210 通过初等变换，由2310207 1a22

a5 三、计算题(每小题7分，共42 1

1411 第一列1100000000000000a0b00ba0b00 4

1

(1)x12x24x315、问取何值时，齐次线性方程组2x13)x2x30xx(1)x 1 0= 3 0

11

16、设矩阵A 1,B 5，计算

A(BA) 解：A2,B7B2A2B1A)1 17AXBXXA11 AXBXAE)X

01

B 55,(AE)1

22

11

1XAE)1B 1 100

1 A

，利用分块矩阵计算A1 1

0A2AAA1四、证明题(每小题5分，共10化19、设n阶方阵A满足AE30，证明矩阵A可逆，并写出A逆矩阵的表达式化证明：因为AE3A33A23AE

A(A23A3E)E从而A(A23A3E) A1A23A3E证明：设A为n 称矩阵，n为奇数，A

A

(1)n

A0第二套线性代数模拟试题解一、填空题(424分1、A为3阶方阵,且A2,A*是A的伴随矩阵,则4A1A* - A

A12A1

4A1A4A12A12A18A141 2、A为5×3矩阵,秩(A)=3,B 0 0

0,则秩(AB 33BABAA3、1,2123均为4向量A(1123B(2123)A1，B4，则AB 。AB(12,21,22,23)AB(12,21,22,23。812,1,2,3)81,1,2,32,1,2,38(14)1 t4、2，3，且T4，则t - 12 12

tT 213t6222

t45、如果n元非齐次线性方程组AXB有解，R(A)r，则 n时有唯一解当< 2 36AXB的3,,,，如

4RA)3AXB

0 k2

因为R(A)3，所以AX0的基础解系含4-3=1个解向量；又2 3AX0AX0AX0 13 AXBXk二、单项选择题(424分

0 k2 8、n阶方阵A,B,C满足ABCE，其中E为单位矩阵，则必

矩阵乘法不满足变换律，而D中ABCE 09、矩阵 2的秩为2，则t 1t A. B. 0 通过初等变换，由秩为2可得： 20 1t1220t A.必有一个向量为零向 B.必有二个向量对应分量成比C.必有一个向量是其余向量的线性组合 D.任一列向量是其余列向量的线性组合方阵Ann不可逆，则A的列向量线性相关，由定义可得。11、若r维向量组1,2m线性相关，为任一r维向量，则 A.1,2m,线性相 C.1,2m,线性相关性不

1,2m,线性无1,2m中一定有零向 A.秩(A B.秩(A C.秩(A D.秩(A4阶子式0。三、计算题(742分a100b101ca100b101c100d 0解： 11 0

2

2、设 1，C 1，B ，AYBC，求矩阵Y解Y

1

3。 15、已知三阶方阵A 1，且A2ABE，计算矩阵B 解：BAA1

、求矩阵

77

1 RA)3，1,2,5 x2x3x4、写出方程组1x2x3x421x22x3x421 解：1 x1=-32x3x=3 x=-12x 18、已知R3中的向量组1,2,

线性无关，向量组b11k2,b223b33k1k解 1 由1,

,

1 02 0因为b1b2b3相关，所以123有非零解，故系数行列式=0，得k1。四、证明题(51019

B为nAB0，则秩A秩(B)n证明：Ax0Ar时，基础解系为nrABA(b1,b2,,bn)(Ab1,Abj0j1,2,nBAx0nr即秩(B)nr，从而秩A)秩(B)n。20、如果1,2,3,43个向量都线性无关，证明必存在一组全不为零的数k1k2k3k4，使得k11k22k33k440。证明：因为1,2,3,4线性相关，所以存在一组“不全为零”的数k1k2k3k4使得k11k22k33k440，如果k10k22k33k440，且由于k2k3k4不全为零，所以2,3,4 ，所以k10；同理，可证明k20,k30,k40。第三套线性代数模拟试题解1231、已知三阶行列式D456789一、填空题1231、已知三阶行列式D456789Aij表示它的元素aij的代数余子式，则与12ab7812ab78122AB均为nAB312

1()n2

1AB1n n

A

A 2

。 03A

0，则(A2E)1=121 0 1 0 由于 02 00 4、向量组1(1,2,3),2(1,2,1),3 线性无关

0

4

56A5，AxbAx

XkRA5Ax01 26、已知x1为A 3的特征向量，则a ;b

二、单项选择题(每小题4分，共24 7、A 1 P2 1 1

0，则 11

8、n元齐次线性方程组AX0有非零解的充分必要条件是 R(A)

R(A)

R(A)

R(A)AX09、已知mnA的秩为n1，1,2AX0为任意常数，则方程组AX0的通解 A．

C．k(12

D．k(1210AB相似,则下列说法不正确的是BA.秩(A)=秩(B B.A=

A

D.AB11、若nA的两个不同的特征值

2x1x2，则B。A.x1和x2线性相 B.x1和x2线性无C.x1和x2正 D.x1和x2的内积等于12、n阶方阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角矩阵相似 条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要矩阵A与对角矩阵相似的充分必要定理保证。三、计算题(每小题7分，共42 B

A 0 解：

(AE)B(AE)(A2

1

AE

2

0

0，A

1

AE110110

1

0所以BAE 1 1

022x1x22x314、k满足什么条件时，方程组

k

2x1

k2x31 k

k1

解：1

k~k

k

k2

k

k k

k~0 20001 k k220001

2k 0(k2)(k3)k(k k2且k3时，方程组有惟一解。当k21 2