正交曲线坐标系中的分离变量

正交曲线坐标系中的分离变一、uuu

的重要地位在三类数理方程中，如果令u(x,t)T(t)v(x,y,则波动方程utta2u0

T(t)v(x,y,z)a2T(t)vT v 从而得到

Ta2Tvv

此既是亥 (Helmhot`z)方程同样，将式<1>代入热传导方utDu可得到一个T(t)的常微分方程和的亥 方程TDTvv二、柱坐标 方程的分离变将式<2>写为uu将柱坐标中的u表达式代入 () z

uu(,,z)R()()Z(z) Rzd d(d) d1

2

RZ两边

并移项，得 d(dR)

d

12R

d Zz要使上式成立，等式则ZZ dRd(d) d

对于后一方程，两边同乘以 d

dR)2()

1dR d令常数为n2则n2 R )R

n2综上所述，解偏微分方程uu

u(,,z)R()()Z(z)则化为下ZZ

n2

2R

R

2

n2)R

其中、n2、k2为分离变量过程中引入的常数要根据作变x

y(x)R()则方程<5>变为x2yxy(x2n2)y称之为n阶贝塞耳(Bessel u是亥 故可得ZZ

n22R

R

(k2

n2)R例：一个半径为a若已知圆盘边温度，求解由于圆盘上下绝热，且为薄圆盘，且无热源存在故其温度分布u(x,t)应满足u0, u fu

将极坐标系 u代入<a>式，得 2u() 令：u(,)R( 代入式<c>，按上面的步骤分离变量得n2 d(dR)n2

R对于边界条件<b>，由于是非齐次的，变数不能分离，但经过讨论我们可确定n的取值及相在一般的物理问题中，函数u(,)所以 u(,2)u(,)由式<d>，此即R()(2)R()(即要求满足条(2)(四、球坐标 方程的分离变uu将球坐标系中u的表达式代入上 (r2u) (sinur r2sin ur2sin2

令：u(r,,R(ry(,代入上方程，并将两边同乘r21d(r2dR)k2r21 (sinyR ysin 2sin22上式若相等，则两边必为一个常数，l(l1)，得：r2d2dr

dR[k

2r

l(l1)]R

2sin(sin)sin2

l(l1)

再令y(,)()(代入<3>，并将<3>两边乘以1/m20,m

sind(sind)[l(l1)sin2]

则：uu可通过令u(r,,)R(r)()(化为下列三个常微分方程r2R2rR[k2r2l(l1)]R sind(sind)[l(l1)sin2]m2对于式令：xkr,y(x

x则：dRdRdxkdR dx d2RddRd(dR) dr k 2d2Rkk

d[y(x) y(x)xxxxk2[y(x)y(x) xy(x)y(x)(2 x x)]

4x3xxxxk2[y(x)y(x)3y(x)xxxx4

],rkx2[y(x)y(x)3y(x)]2x[y(x) y(x)

4

[x2l(l1)]yx即x2yxy3y2xyy(x)[x2l(l1)]y0则<2>化为x2yxy[x2(l

1)2]y2称之为球对于<5>式，我们作变换xcos，y(x)(则<5>式(1x2)y2xy[l(l1)

1x2]y称之为缔合勒让德(Legendre)方程五、球坐标 方程的分离变与柱坐标中的讨论类似，可得分离变量后的三个常r2R2rRl(l1)R