高中数学选修系列2选修22《微积分学基本定理定积分计算》教案1

§5微积分学基本定理定积分计算（续）授课目的：娴熟掌握微积分学基本定理及定积分的换元与分部积分法。重点难点：重点为微积分基本定理,难点为泰勒公式的积分型余项。授课方法：讲练联合。本节要在定积分形式下证明连续函数必然存在原函数.一变限积分与原函数的存在性设f在a,b上可积，依照定积分的性质4，对任何xa,b，f在a,x上也可积.于xxtdt,xa,b（1）是，由fa定义了一个以积分上限为自变量的函数，称为变上限的定积分.近似可定义变下限的定积xba,b.（2）分：xftdt,x与统称为变限积分.注意，在变限积分（1）与（2）中，不可以再把积分变量x写成xx相混杂.fxdx，免得与积分上、下限的abtdtbdt,所以下面只讨论变上限变限积分所定义的函数有重视要的性质．由于fftxx积分的状况．定理9．9若f在a,b上可积，则由(1)式所定义的函数在a,b上连续．证对a,b上任一确定的点x，只需xxa,b，按定义式(1)有xxtdtxtdtxxtdt.affxfa因f在a,b上有界，可设ftM,ta,b．于是，当x0时有xxtdtxxtdtMx;xfxf当x0时则有Mx．由此获得lim00,x即证得在点x连续．由x的随意性，在a,b上各处连续．口定理9．10(原函数存在定理)若f在a,b上连续，则由(1)式所定义的函数在a,b上处处可导，且xdxftdtfx,xa,b.（3）dxa证对a,b上任一确定的x，当x0且xxa,b时，按定义式（1）和积分第一中值定理，有1xxtdtxxfxfxx,01.由于f在点x连续，故有xlimxlimfxxfx.x0x0由x在a,b上的随意性，证得是f在a,b上的一个原函数．口本定理交流了导数和定积分这两个从表面看去似不有关的见解之间的内在联系；同时也证明了“连续函数必有原函数”这一基本结论，并以积分形式给出了f的一个原函数．正由于定理9．10的重要作用而被誉为微积分学基本定理．其他，又因f的随意两个原函数只能相差一个常数，所以当f为连续函数时，它的任一原函数F必知足FxftdtC.xa若在此式中令xa，获得CFaxF(x)F(a).再令xb,有，进而有ftdtabtdtF(x)F(a).fa这是牛顿-莱布尼茨公式的又一证明.911(积分第二中值定理)设函数f在a,b上可积.定理．(ⅰ)若函数g在a,b上减,且gx0,则存在a,b,使bfxdxfxgxdxgaaa(ⅱ)若函数g在a,b上增,且gx0,则存在a,b,使bxgxdxgbbfxdxfa推论设函数f在a,b上可积,若函数g为单一函数,则存在a,b,使bfxgxdxgabaafxgbfxdx积分第二中值定理以及它的推论是此后成立失态积分收敛鉴别法的工具．二换元积分法与分部积分法定理9．12(定积分换元积分法)若函数f在a,b上连续，在,上连续可微，且知足aa,bb,atb,t,，bxdxfttdt（9）则有定积分换元公式：fa证由于(9)式两边的被积函数都是连续函数，所以它们的原函数都存在．设F是f在a,b上的一个原函数，由复合函数微分法dtFttfttFdt可见Ft是ftt的一个原函数．依照牛顿一莱布尼茨公式，证得fttdtFFaFbFabxdxfa从以上证明看到，在用换元法计算定积分时，一旦获得了用新变量表示的原函数后，不用作变量复原，而只需用新的积分限代人并求其差值就能够了．这就是定积分换元积分法与不定积分换元积分法的差异，这一区其他原因在于不定积分所求的是被积函数的原函数，理应保留与原来相同的自变量；而定积分的计算结果是一个确定的数，若是(9)式一边的定积分计算出来了，那么另一边的定积分自然也求得了.注若是在定理9．12的条件中只假设f为可积函数，但还要求是单一的，那么（9）式仍旧成立.（本节习题第14题）12例计算1.0xdx解令xsint，当t由0变到时，x由0增到1，故取,0,.应用公式(9)，22并注意到在第一象限中cost0，则有11x2dx21sin2tcostdt2cos2tdt000121cos2tdt1t1sin2t20224.例2计算2sintcos2tdt.0

20解逆向使用公式(9)，令xcost,dxsintdt,当t由0变到时，x由1减到0，则2有2sintcos2tdt02dx11.xx2dx01031ln1xdx.例3计算J1x20解令xtant，当t从0变到时，x从0增到1.于是由公式（9）及dtdx2得1x4到J4ln1tantdt4lncostsintdt00cost2cost44dtln0cost4ln2dt4lncostdt4lncostdt.0040对最末第二个定积分作变换ut，有44lncostdt0du4lncosudu,lncosu0440它与上面第三个定积分相消．故得J4ln2dt8ln2.0事实上，例3中的被积函数的原函数诚然存在，但难以用初等函数来表示，所以无法直接使用牛顿一莱布尼茨公式．但是像上面那样，利用定积分的性质和换元公式(9)，消去了其中无法求出原函数的部分，最后得出这个定积分的值．换元积分法还可用来证明一些特其他积分性质，如本节习题中的第5，6，7等题．定理9.13(定积分分部积分法)若ux,vx为a,b上的连续可微函数，则有定积分分部积分公式：bbbauxvxdxuxvxaauxvxdx.（10）证由于uv是uvuv在a,b上的一个原函数，所以有bbuxvxdxbuxvxuxvxdxuxvxdx+aaauxvxab.移项后即为(10)式．为方便起见，公式(10)赞同写成buxvxbbuxdvxaaa

vxdux.（10）例4计算e2ln.xxdx1ex2lnxdx1e313ee2dx解3lnxdxxlnx1x113111x3e1e32e31.3319例5计算2sinnxdx和2cosnxdx,n1,2,.00解当n2时，用分部积分求得Jn2sinnxdxsinn1xcosx2n12sinn2xcos2xdx000n12sinn2xdxn12sinnxdx00n1Jn2n1Jn.移项整理后获得递推公式：Jnnn1Jn2,n2.由于J2dx,J2sinxdx1,0010重复应用递推式(11)便得2m12m312m1!!,J2m2m2222m!!22m12J2m12m2m2212m!!.2m12m132m1!!令xt，可得202cosnxdx0cosn2tdt02sinnxdx.2所以这两个定积分是等值的．由例5结论(12)可导出出名的沃利斯公式：2m!!21lim.1322m1!!2mm1事实上，由02sin2n1xdx0cosntdt02sin2m1xdx,22把(12)代人，获得2m!!2m1!!2m2!!,2m1!!2m!!22m1!!2m!!2121由此又得Am2m!!2m1!!2m122m1!!Bm.2m2m!!211由于oBmAm0m,2m1!!2m2m12m2所以limBmAm0.而AmBmAm,故得limAm（即13式）.m2m2三泰勒公式的积分型余项若在a,b上ux、vx有n1阶连续导函数，则有abuxvn1xdx[uxvnxuxvn1xnxvx]ab1n11unabun1xvxdxn1,2,.14这是实行的分部积分公式，读者不难用数学概括法加以证明．下面应用公式14导出泰勒公式的积分型余项.设函数f在点x0的某邻域Ux0内有n1阶连续导函数．令xUx0，utxtn，vtft，tx0,x（或x,,x0）．利用(14)式得xx0xtnfn1tdt[xtnfntnxtn1fn1tn!ft]xx0xx00ftdtn!fxn![fx0fx0xx0fnx0xx0n]n!n!Rnx，其中Rnx即为泰勒公式的n阶余项．由此求得Rnx

xx0fn1txtndt，15n!这就是泰勒公式的积分型余项．由于fn1t连续，n在x0,x或x,x0xt上保持同号，所以由实行的积分第一中值定理，可将15式写作1Rnxfn!1fn1!

n1xx0xtndtn1xx0n1，其中x0xx0,01．这就是从前所熟悉的拉格朗日型余项．若是直接用积分第一中值定理于(15)，则得Rnx1fn1xn!

nxx0，