初中数学《空间与图形》综合测试试题

《空间与图形》综合测试卷一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列图案是中心对称图形但不是轴对称图形的是(A)eq\a\vs4\ac\hs10\co4(,,,,A.,B.,C.,D.)2．如图所示的工件是由两个长方体构成的组合体，则它的主视图是(A),(第2题))(第3题)3．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上的点B′处，此时，点A的对应点A′恰好落在BC的延长线上，下列结论错误的是(C)A.∠BCB′＝∠ACA′B.∠ACB＝2∠BC.∠B′CA＝∠B′ACD.B′C平分∠BB′A′【解析】由旋转可知，∠BCB′＝∠ACA′，BC＝B′C，∠B＝∠A′B′C，∴∠B＝∠BB′C，∴∠ACB＝∠A′CB′＝2∠B，∠BB′C＝∠A′B′C，故A，B，D选项均正确，故选C.(第4题)4．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是(D)A.AB＝ACB.AD＝BDC.BE⊥ACD.BE平分∠ABC【解析】∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DBFE是平行四边形．当BE平分∠ABC时，∠FBE＝∠DBE.∵DE∥BF，∴∠DEB＝∠FBE，∴∠DBE＝∠DEB，∴BD＝DE，∴▱DBFE是菱形．(第5题)5．如图，已知⊙O的半径为1，锐角三角形ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M.若OM＝eq\f(1,3)，则sin∠CBD的值等于(B)A.eq\f(\r(,3),2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2\r(,2),3)D.eq\f(1,2)【解析】连结AO.∵⊙O的半径为1，∴OB＝1.∵锐角三角形ABC内接于⊙O，∴∠C＝eq\f(1,2)∠AOB.∵OM⊥AB，∴∠BMO＝90°，∠BOM＝eq\f(1,2)∠AOB，∴∠C＝∠BOM.∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°＝∠BMO，∴∠CBD＝∠OBM.∵OM＝eq\f(1,3)，∴sin∠CBD＝sin∠OBM＝eq\f(OM,OB)＝eq\f(1,3).(第6题)6．如图，AB是⊙O的直径，BT是⊙O的切线，若∠ATB＝45°，AB＝2，则阴影部分的面积是(C)A.2B.eq\f(3,2)－eq\f(1,4)πC.1D.eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)π【解析】设AT交⊙O于点D，连结BD.∵BT是⊙O的切线，∴∠ABT＝90°.又∵∠ATB＝45°，∴∠A＝45°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BDT＝90°，∴△ADB，△BDT都是等腰直角三角形，∴AD＝BD＝TD＝eq\f(\r(,2),2)AB＝eq\r(,2)，∴弓形AD的面积等于弓形BD的面积，∴阴影部分的面积＝S△BTD＝eq\f(1,2)×eq\r(,2)×eq\r(,2)＝1.(第7题)7．如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM交AD的延长线于点E.若AB＝12，BM＝5，则DE的长为(B)A.18B.eq\f(109,5)C.eq\f(96,5)D.eq\f(25,3)【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝12，∠B＝90°，AD∥BC，∴∠EAM＝∠AMB.∵AM⊥ME，∴∠B＝∠AME＝90°，∴△ABM∽△EMA，∴eq\f(AM,BM)＝eq\f(EA,MA).∵AB＝12，BM＝5，∴AM＝eq\r(AB2＋BM2)＝13，∴eq\f(13,5)＝eq\f(EA,13)，∴EA＝eq\f(169,5)，∴DE＝EA－AD＝eq\f(169,5)－12＝eq\f(109,5).(第8题)8．如图，四边形ABCD是矩形，E是BA的延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF＝∠AFC，∠FAE＝∠E.若∠ACB＝21°，则∠ECD的度数是(C)A.7°B.21°C.23°D.24°【解析】设∠ECD＝x.∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠E＝∠ECD＝x.∵∠E＝∠FAE＝x，∴∠AFC＝∠E＋∠FAE＝2x＝∠ACF，∴∠BCD＝90°＝21°＋2x＋x，解得x＝23°，即∠ECD＝23°.9．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3，eq\r(,3))，点C的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，P为斜边OB上一动点，则PA＋PC的最小值为(B)A.eq\f(\r(13),2)B.eq\f(\r(31),2)C.eq\f(3＋\r(19),2)D．2eq\r(,7),(第9题)),(第9题解))【解析】如解图，作点A关于OB的对称点D，连结AD交OB于点M，连结CD交OB于点P，连结AP，过点D作DN⊥OA于点N，则此时PA＋PC的值最小．∵DP＝PA，∴PA＋PC＝PD＋PC＝CD.∵点B(3，eq\r(,3))，∴AB＝eq\r(,3)，OA＝3，∴OB＝2eq\r(,3)，tanB＝eq\r(,3)，∴∠B＝60°，∴AM＝AB·sin60°＝eq\f(3,2)，∴AD＝2×eq\f(3,2)＝3.∵∠AMB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAM＝30°.∵∠BAO＝90°，∴∠OAM＝60°.∵DN⊥OA，∴∠NDA＝30°，∴AN＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(3,2)，∴DN＝eq\f(3,2)eq\r(,3).∵点Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，∴CN＝3－eq\f(1,2)－eq\f(3,2)＝1.在Rt△DNC中，由勾股定理，得DC＝eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)\r(,3)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(31),2)，即PA＋PC的最小值是eq\f(\r(31),2).10．观察图①，它是把一个三角形分别连结这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法……将这种做法继续下去，则图⑥中挖去三角形的个数为(C),(第10题))A.121B.362C.364D.729【解析】由做法可知，图①挖去三角形的个数为1，图②挖去三角形的个数为1＋31＝4，图③挖去三角形的个数为1＋31＋32＝13……∴图⑥挖去三角形的个数为1＋31＋32＋33＋34＋35＝364.二、填空题(每小题4分，共24分)(第11题)11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB，垂足为E，请任意写出一组相等的线段：__BC＝BE或DC＝DE__．【解析】∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，DE⊥AB，∴BC＝BE，DC＝DE.(第12题)12．如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A′处．若∠1＝∠2＝50°，则∠A′的度数为__105°__．【解析】由折叠的性质知，∠A′BD＝∠2＝50°，∠A′DB＝∠ADB.∵AD∥BC，∴∠ADA′＝∠1＝50°，∴∠A′DB＝25°，∴∠A′＝180°－∠A′BD－∠A′DB＝105°.13．已知圆锥形工件的底面直径是40cm，母线长为30cm，则其侧面展开图的圆心角的度数为__240°__．【解析】∵r＝eq\f(1,2)d＝20cm，l＝30cm，∴θ＝eq\f(r,l)·360°＝eq\f(2,3)×360°＝240°.14．如图，将等边三角形ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1.若BC＝3，S△PB1C＝eq\r(3)，则BB1＝__1__．【解析】由等边三角形ABC中BC＝3，可求得S△ABC＝eq\f(1,2)×3×eq\f(3\r(,3),2)＝eq\f(9\r(,3),4).由平移的性质，得△ABC∽△PB1C，∴△PB1C与△ABC的面积之比＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(B1C,BC)))eq\s\up12(2)，即eq\f(\r(3),\f(9\r(,3),4))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(B1C,3)))eq\s\up12(2)，∴B1C＝2，∴BB1＝BC－B1C＝1.,(第14题)),(第15题))15．如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的6条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，则六边形A4B4C4D4E4F4的面积是__eq\f(\r(,3),18)__．【解析】易得∠B1A1F2＝90°，∠A1B1F2＝30°，∴A1F2＝A1B1·tan30°＝eq\f(\r(,3),3).易得△A1A2F2是等边三角形，∴A2B2＝A2F2＝A1F2＝eq\f(\r(,3),3)，∴eq\f(A1B1,A2B2)＝eq\r(,3).同理可得eq\f(A1B1,A4B4)＝(eq\r(,3))3.∵正六边形A1B1C1D1E1F1∽正六边形A4B4C4D4E4F4，∴eq\f(S正六边形A1B1C1D1E1F1,S正六边形A4B4C4D4E4F4)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,（\r(,3)）3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,27).∵S正六边形A1B1C1D1E1F1＝6×eq\f(\r(,3),4)×12＝eq\f(3\r(,3),2)，∴S正六边形A4B4C4D4E4F4＝eq\f(\r(,3),18).(第16题)16．如图，在Rt△ACB中，BC＝2，∠BAC＝30°，斜边AB的两个端点分别在互相垂直的射线OM，ON上滑动．有下列结论：①若C，O两点关于AB对称，则AO＝2eq\r(,3)；②C，O两点距离的最大值为4；③若AB平分CO，则AB⊥CO；④斜边AB的中点D运动的路径长为eq\f(π,2).其中正确结论的序号是__①②③__．【解析】在Rt△ABC中，∵BC＝2，∠BAC＝30°，∴AB＝4，AC＝2eq\r(,3).若C，O两点关于AB对称，则AB是OC的垂直平分线，∴AO＝AC＝2eq\r(,3)，故①正确．取AB的中点D，连结OD，CD.∵∠AOB＝∠ACB＝90°，∴OD＝CD＝eq\f(1,2)AB＝2，∴当OC经过点D时，OC最大，OC的最大值为4，故②正确．若AB平分CO，设CO与AB相交于点F，则CF＝OF.∵OD＝CD，∴DF⊥CO，∴AB⊥CO，故③正确．斜边AB的中点D运动的路径是以点O为圆心，2为半径的90°的圆弧，∴l＝eq\f(90π×2,180)＝π，故④错误．综上所述，正确的结论是①②③.三、解答题(共66分)17．(6分)如图，已知正七边形ABCDEFG，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．(1)在图①中，画出一个以AB为边的平行四边形．(2)在图②中，画出一个以AF为边的菱形．,(第17题))【解析】(1)如解图①，平行四边形ABHF即为所求．,(第17题解))(2)如解图②，菱形ACIF即为所求．(第18题)18．(6分)如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝AD，DG＝DC，E，F分别是BG，AC的中点．求证：DE＝DF且DE⊥DF.【解析】∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在△BDG和△ADC中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BD＝AD，,∠BDG＝∠ADC，,DG＝DC，))∴△BDG≌△ADC(SAS)，∴BG＝AC，∠BGD＝∠C.∵∠ADB＝∠ADC＝90°，E，F分别是BG，AC的中点，∴DE＝eq\f(1,2)BG＝EG，DF＝eq\f(1,2)AC＝AF，∴DE＝DF，∠EDG＝∠EGD，∠FDA＝∠FAD，∴∠EDG＋∠FDA＝∠EGD＋∠FAD＝∠C＋∠FAD＝90°，∴DE⊥DF.综上所述，DE＝DF且DE⊥DF.19．(8分)为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以50nmile/h的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1h到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．(1)求∠APB的度数．(2)已知在灯塔P的周围25nmile内有暗礁，问：海监船继续向正东方向航行是否安全？请说明理由．,(第19题))【解析】(1)∵∠PAB＝90°－60°＝30°，∠ABP＝90°＋30°＝120°，∴∠APB＝180°－120°－30°＝30°.(2)安全．理由如下：过点P作PH⊥AB交AB的延长线于点H.∵∠PAB＝∠APB＝30°，∴BP＝AP＝50×1＝50(nmile)．在Rt△BPH中，∵∠PBH＝60°，BP＝50nmile，∴PH＝BP·sin60°＝50×eq\f(\r(,3),2)＝25eq\r(,3)(nmile)>25nmile，∴继续航行仍然安全．(第20题)20．(8分)如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连结BF.(1)求证：D是BC的中点．(2)若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．【解析】(1)∵E是AD的中点，∴AE＝DE.∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE，∴△EAF≌△EDC(AAS)，∴AF＝DC.∵AF＝BD，∴BD＝DC，即D是BC的中点．(2)四边形AFBD是矩形．证明如下：∵AF∥BD，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形．∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴▱AFBD是矩形．(第21题)21．(8分)如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF＝AD，过点D作DE⊥AF，垂足为E.(1)求证：DE＝AB.(2)以点D为圆心，DE长为半径作圆弧交AD于点G.若BF＝FC＝1，试求eq\o(EG,\s\up8(︵))的长．【解析】(1)∵DE⊥AF，∴∠AED＝90°.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°，∴∠DAE＝∠AFB，∠AED＝∠B.又∵AD＝FA，∴△ADE≌△FAB(AAS)．∴DE＝AB.(2)∵BF＝FC＝1，∴AD＝BC＝BF＋FC＝2.∵△ADE≌△FAB，∴AE＝FB＝1，∴在Rt△ADE中，AE＝eq\f(1,2)AD，∴∠ADE＝30°.又∵DE＝eq\r(AD2－AE2)＝eq\r(22－12)＝eq\r(3)，∴eq\o(EG,\s\up8(︵))的长＝eq\f(nπR,180)＝eq\f(30×π×\r(3),180)＝eq\f(\r(3),6)π.(第22题)22．(8分)如图，已知AB是⊙O的直径，过点O作OP⊥AB，交弦AC于点D，交⊙O于点E，且使∠PCA＝∠ABC.(1)求证：PC是⊙O的切线．(2)若∠P＝60°，PC＝2，求PE的长．【解析】(1)连结OC.∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB.又∵∠PCA＝∠ABC，∴∠PCA＝∠OCB.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO＋∠OCB＝90°，∴∠ACO＋∠PCA＝90°，即∠OCP＝90°.又∵OC为⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线．(2)在Rt△PCO中，∵∠P＝60°，PC＝2，∴OP＝4，OC＝2eq\r(,3)，∴PE＝OP－OE＝OP－OC＝4－2eq\r(,3).23．(10分)我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形，若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“内似线”．(1)等边三角形“内似线”的条数为__3__．(2)如图①，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求证：BD是△ABC的“内似线”．(3)如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，E，F分别在边AC，BC上，且EF是△ABC的“内似线”，求EF的长．,(第23题))【解析】(2)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.又∵BD＝BC＝AD，∴∠BAD＝∠ABD，∠BDC＝∠C.设∠A＝x，则∠ABD＝x，∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，∠C＝2x，∠ABC＝2x，∠CBD＝x.又∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，∴x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°，∴∠A＝∠DBC＝36°，∠C＝∠BDC＝72°，∴△ABC∽△BCD.∵∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠ABC，∴BD过△ABC的内心，∴BD是△ABC的“内似线”．(3)∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝5.作△ABC的内接圆⊙O.设⊙O的半径为r，则S△ABC＝eq\f(1,2)r·(3＋4＋5)．又∵S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC＝eq\f(1,2)×3×4＝6，∴r＝1.分两种情况讨论：①当△CEF∽△CAB时，如解图①，过点O作直线EF∥AB分别交边AC，BC于点E，F，则EF是△ABC的“内似线”，过点O作OM⊥AC于点M，作ON⊥BC于点N，则OM＝ON＝1，且ON∥AC，OM∥BC.易证△EOM∽△ABC∽△OFN，∴eq\f(OE,OM)＝eq\f(BA,BC)＝eq\f(5,3)，eq\f(OF,ON)＝eq\f(AB,AC)＝eq\f(5,4)，∴OE＝eq\f(5,3)，OF＝eq\f(5,4)，∴EF＝eq\f(5,3)＋eq\f(5,4)＝eq\f(35,12).,(第23题解))②当△CEF∽△CBA时，如解图②.同理可得OE＝eq\f(5,4)，OF＝eq\f(5,3)，∴EF＝eq\f(35,12).综上所述，EF的长为eq\f(35,12).24．(12分)如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6cm，点D从点O出发，沿OM方向以1cm/s的速度运动，当点D不与点A重合时，将