5 电动习题答案 郭硕鸿 第五章

本文格式为Word版，下载可任意编辑——5电动习题答案郭硕鸿第五章第五章电磁波的辐射

1.若把麦克斯韦方程组的所有矢量都分解为无旋的(纵场)和无散的(横场)两部分,写出E和B的这两部分在真空中所满足的方程式,并证明电场的无旋部分对应于库仑场。

解:首先将电磁场分成两部分:

????E?EL?ET(1)?????BL?BT(2)?B????J?J?J(3)LT?其中角标L表示纵场角标T表示横场。所以有:

????E?0?????B?0????J?0??????E?0????B?0??????J?0LLLT?T(4)(5)(6)(7)(8)(9)

将（1）（3）代入电荷守恒定律有:?????????J??0???(JL?J?)??0（10）

?t?t由（9）得:

?????JL??0?

?t将（1）（2）（3）代入真空中的麦氏方程组得

???????(EL?E?)???0????(B?B)?????(EL??E)???L??t??????(B?B)?0?L?????E?E?????L???(B?B)??J??J???????L?0L0?00?t00?t?(11)(12)(13)(14)由(11)及(7)式得:

????EL??0(15)

由(13)及(8)式得:

?由（5）、（16）及横场定义（8）知BL?0

???BL?0(16)

将(16)及(4)式代入(12)得

???B???E????t(17)将(5)式代入(10)式得:

????????JL?(?0??EL)?0???(JL??0EL)?0(18)

?t?t由（8）式及（4）式得

????????JL????0EL?0???(JL??0EL)?0(19)

?t?t由（18）（19）式得

???EL?0JL??0?0?常矢（20）

?t将（5）式及（20）式代入（14）式得

???????E?J??B??J????0L??0?0?tEL(21)

?tTT0?00?常矢应归入JT,于是

????J???E?0(22)

?t（此式也可由（18）及横场定义直接得到。）

????E??B??J????t(23)

0L00LTT0T00??以上（15）（16）（17）（22）式及（23）式为E和B的横场和纵场，所满足的方程式，由最终

?????E????????B???E?????t?说明E为由空间全部电荷所激发的场，所以为库仑

?场；而E是由全部磁场所激发的，为有旋场。

L0??L?2.证明在线性各向同性均匀非导电介质中，若P=0,J?0,则E和B可完全有矢势A决定。

?????若取??0，这时A满足哪两个方程？

解：在各项同性均匀介质中，?＝常数，?＝常数，达朗贝尔方程为：

???2?1?2A1??)???0J??A?22??(??A?2?c?tc?t????2?????A?????t?0?

(1)

(2)????若??0,J?0,则方程中只含有A和?，若A定，则?可由方程求出。在A和?全定后，

由

???AE?????

?t??B???A

可求出E和B。若

?????0,J?0,??0

由（1）（2）可得

???21?A?A??0?22c?t?????A?0??z?3.证明沿Z轴方向传播的平面电磁波可用矢势A(??)表示，其中??t?，A垂直于

cZ轴方向.

解：平面电磁波在没有电荷电流分布的空间传播，因而势方程P187（1.9）变为波方程：

?2??21?A?A??0?22c?t??21?2?????22?0

c?t???1???0???A?2?tc?

其平面波解为

??i(k??z?A?A0e?wt)???e由

??i(k?x?wt)

?1????A?2?0

c?t得

c2???0?k?A0

???只要给定A0，则平面波完全可用矢势

??i(k??x?A?A0e?wt)

表示，

若平面波沿Z方向，则：

z???i??(t?)????i(k??z?A?A0e?wt)=A0e?c?

由

??ikz???ikzzz??A?0???(A0e)?(?e)?A0?ikzez?k?0

?A垂直于Z轴。

?4.设真空中矢势A(x,t)可用复数傅立叶展开为?????A(x,t)＝?a(t)e?a(t)e，其中a(t)是a(t)的

k???ik?x*???ik?xkk?*kk?da(t)??（1）证明a(t)满足谐振子方程?kca(t)?0

dt??（2）选中取规范??A?0,??0时，证明k?a?0

????(3)把E和B用a(t)和a(t)表示出来。

?解：（1）由正交分解的特性，A可写为

??A(x,t)??a(t)e

2k22k复共轭。

2kk*kkik?xk???k若采用洛仑兹规范

??A??0

?1??即??A??0

c?t?则真空中A的齐次波动方程为：

??1?A?A??0

c?t22222所以

?（2）若??A?0，??0时

???(?a(t)e)?0

??ik?xk???kca?0a22所以

??k?a?0

k(3)电磁波在真空中传播，

??1??由??A??0??ike?a??0

c?tc?c?????k?Ae??k?ae

??????B???A?ik?A,

?????E?????A??ik??i?A

?t??ik?xk22??i(k?x?wt)2??ik?x0k

5.设A?和?是满足洛仑兹规范的矢势和标势

（1）引入一矢量函数E?(x,t)(赫兹矢量），若令????E?,证明

A???1?Ec2?t

（2）若令?????P?,证明Z满足方程

?2Z??1?2E?2?c2?t??c?0P,

写出在真空中的推迟

（3）证明A?和B?可通过E?用以下公式表出

E????(??E?)?c2???1?0P,B?c2?t??E?解：(1)由洛仑兹规范：

??A??1??c2?t?0.

由

????E?

代入得

???A??1?(??E)?1?E?c2?t?0???(A?c2?t)?0所以A??1?E?c2?t???Q?由必需满足协变性，即规范不变性，所以??Q??0

由A?必需满足方程①所以后面不能有??

只有

A??1?E?c2?t

①（2）由达朗贝尔方程

?2???????A??②?t?将

?????P??????E?

A??1?E?c2?t

代入得：?2(???E?)??1?E???t??(c2?t)???P?

??(?2E?)???1?2E?P?c2?t2?????

???2??(?2E?)?1?E?2??c2?t2???c??0?P所以

?2E??1?2E?c2?t2??c2???0P???E由后面

E????(??E?)?c2??0P，

所以P?后面不能随意加常矢

两边不能随意加梯度场.所以只有

??Q??0

所以

?2E??1?2E?2?c2?t2??c?0P

由于此方程与

??2A??1?2A?c2?t2???0J

相像

可由书PP191\\203或做如下代换

③

????2A?E?0??0c，J?P

得解为

??rP(x,t?)2??0ccE?dv（v为场源）?4?r(3)

由

????AE???????t????????E????1?E?A?2c?t??2???21?E2??E?22??c?0Pc?t?(1)(2)(3)(4)

将（2）（3）代入（1）得

??2????1?E1?E)??(??E)?22（5）:E???(??E)?(2

?tc?tc?t将（4）代入（5）式得

???2?2E??(??E)??E?c?0P

由

???2?(??E)??(??E)??E

得：

???2E???(??E)?c?0P（6）

由

???B???A????1?EA??c2?t?

得：

(7)(8)???1?E1?B???(2)?2??E

c?tc?t

6.两个质量，电荷都一致的粒子相向而行发生碰撞，证明电偶极辐射和磁偶极辐射都不

会发生

解：设两粒子运行得方向为轴方向，由题意有

q1??q2?q0

11.带电粒子e作半径为a的非相对论性圆周运动，旋绕频率为?，求远处的辐射电磁场和辐射能流。解：

???P?ea(cos?te?sin?te)

????（也可以写成复数形式：P?ea(e?ie)e）

xy?itxy所以

????P??ea(?sin?tex?cos?tey)??????ea[cos（?t?）ex?sin（?t?）ey)]=e?22???????2?P???ea(cos?tex?sin?tey)?e?

?B??1???eP?n4??cRikR3031?4??cR03????)en?(?PikRikR2

1???ee?[?ea(cos?te?sin?te)]?4??cRrxy0利用

????e?sin?cos?e?cos?cos?e??sin?e?????e?sin?sin?e?cos?sin?e??cos?e????e?cos?e?sin?e?

xryrzr??ea????B?ee?[cos?t(sin?cos?e?cos?cos?e??sin?e?)

4??cR2ikR3rr0????sin?t(sin?sin?e?cos?sin?e??cos?e?)]r??0?2eaikR????B?e[cos?t(cos?cos?e??sin?e?)?sin?t(cos?sin?e??cos?e?)]4?cR?0?2eaikR???e[e?cos?cos(???t)?e?sin(???t)]4?cR????0?2eaikR??E?cB?er?e[e?cos?cos(???t)?e?sin(???t)]4?R?1???0?4e2a2ikR?222S?E?B?e[cos?cos(???t)?sin(???t)]er22?016?cr??0?4e2a2?2S?[cos??1]er2232?cr??12.设有一电矩振幅为P0，频率为?的电偶极子距理想导体平面为a/2处,P0平行于导

体平面，设a???，求R???处电磁场和辐射能流。解：

????0d2p1(t')?B1(r,t)??er24?crdt'?0d2???i?t'?[pe(?e)]?e0xr

4?crdt'2r)??0?2p0?i?(t?c??eex?er

4?cr?p2产生的辐射场为：

????0d2p2(t')?B2(r,t)??er2

4?crdt'2因

r??a

故

r2≌r1,er2?er1

于是得

????0d2p2(t')??er2B2(r,t)?24?crdt'?0d2??i?t'?[pee]?e?0xr4?crdt'2?0?2p0?iwt1??reex?er??4?crpt???r?r2c?t???12r'r?2r?r'