反比例函数的综合题与探究

反比例函数的综合题与探究1．（2010泉州市）我们容易发现：反比例函数的图象是一个中心对称图形.你可以利用这一结论解决问题.如图，在同一直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是：将轴所在的直线绕着原点逆时针旋转α度角后的图形.若它与反比例函数的图象分别交于第一、三象限的点、，已知点、.（1）直接判断并填写：不论α取何值，四边形的形状一定是;（2）①当点为时，四边形是矩形，试求、α、和有值；②观察猜想：对①中的值，能使四边形为矩形的点共有几个？(不必说理)（3）探究：四边形能不能是菱形？若能,直接写出B点的坐标,若不能,说明理由.解：（1）平行四边形 （2）=1\*GB3①∵点在的图象上，∴∴过作，则在中，α=30° ∴又∵点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点，∴点B、D关于原点O成中心对称∴OB=OD= ∵四边形为矩形，且 ∴∴； =2\*GB3②能使四边形为矩形的点B共有2个；（3）四边形不能是菱形. 法一：∵点、坐标分别为、∴四边形的对角线在轴上.又∵点、分别是正比例函数与反比例函数在第一、三象限的交点.∴对角线与不可能垂直.∴四边形不能是菱形法二：若四边形ABCD为菱形，则对角线AC⊥BD，且AC与BD互相平分，∵A（-m，0）、C（m，0）∴点A、C关于原点O对称，且AC在x轴上.∴BD应在y轴上，与“点B、D分别在第一、三象限”矛盾，∴四边形ABCD不可能为菱形.2.(2008湖州市)已知：在矩形中，，．分别以所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系．是边上的一个动点（不与重合），过点的反比例函数的图象与边交于点．（1）求证：与的面积相等；（2）记，求当为何值时，有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点，使得将沿对折后，点恰好落在上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．证明：设，，与的面积分别为，，由题意得，．，．，即与的面积相等．（2）由题意知：两点坐标分别为，，，．当时，．（3）解：设存在这样的点，将沿对折后，点恰好落在边上的点，过点作，垂足为．由题意得：，，，，．又，．，，．，，解得．．存在符合条件的点，它的坐标为．3.（2009孝感市）如图，点P是双曲线上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交双曲线y=（0＜k2＜|k1|）于E、F两点．图2中，设P点坐标为（－4，3）．①判断EF与AB的位置关系，并证明你的结论；②记，S2是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由．解：（1）；（2）①EF∥AB．证明：如图，由题意可得A（–4，0），B（0，3），，．∴PA=3，PE=，PB=4，PF=．∴，∴．又∵∠APB=∠EPF．∴△APB∽△EPF，∴∠PAB=∠PEF．∴EF∥AB．②S2没有最小值，理由如下：过E作EM⊥y轴于点M，过F作FN⊥x轴于点N，两线交于点Q．由上知M（0，），N（，0），Q（，）．而S△EFQ=S△PEF，∴S2＝S△PEF－S△OEF＝S△EFQ－S△OEF＝S△EOM＋S△FON＋S矩形OMQN＝＝=．当时，S2的值随k2的增大而增大，而0＜k2＜12．∴0＜S2＜24，s2没有最小值．说明：1．证明AB∥EF时，还可利用以下三种方法．方法一：分别求出经过A、B两点和经过E、F两点的直线解析式，利用这两个解析式中x的系数相等来证明AB∥EF；方法二：利用＝来证明AB∥EF；方法三：连接AF、BE，利用S△AEF＝S△BFE得到点A、点B到直线EF的距离相等，再由A、B两点在直线EF同侧可得到AB∥EF．2．求S2的值时，还可进行如下变形：S2＝S△PEF－S△OEF＝S△PEF－（S四边形PEOF－S△PEF）＝2S△PEF－S四边形PEOF，再用（1）题中的结论．4.(2009杭州市)已知平行于x轴的直线与函数和函数的图象分别交于点A和点B，又有定点P（2，0）。（1）若，且tan∠POB=，求线段AB的长；（2）在过A，B两点且顶点在直线上的抛物线中，已知线段AB=，且在它的对称轴左边时，y随着x的增大而增大，试求出满足条件的抛物线的解析式；(3)若经过A，B，P三点的抛物线，平移后得到的图象，求点P到直线AB的距离。5.如图，直线y=x+6与反比例函数y=等(x>0)的图象交于A(1,6)，B(a,3)两点.（1）求、的值；(2)直接写出x+6一>0时的取值范围；(3)等腰梯形OBCD中，BC∥OD,OB=CD，OD边在x轴上，过C作CE⊥OD于E，CE和反比例函数的图象交于点P.当梯形OBCD的面积为l2时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由.（1）由题意知k2=1×6=6∴反比例函数的解析式为y=.又B（a，3）在y=的图象上，∴a=2∴B（2,3）.∵直线y=k1x+b过A（1,6），B（2,3）两点，∴∴（2）x的取值范围为1<x<2.（3）当S梯形OBCD=12时，PC=PE设点P的坐标为（m，n），∵BC∥OD，CE⊥OD，BO=CD，B（2,3）.∴C（m，3），CE=3，BC=m–2，OD=m+2.∴当S梯形OBCD=,即12=∴m=4.又mn=6，∴n=.即PE=CE.∴PC=PE.6.（2009年威海市）一次函数的图象分别与轴、轴交于点，与反比例函数的图象相交于点．过点分别作轴，轴，垂足分别为；过点分别作轴，轴，垂足分别为与交于点，连接．（1）若点在反比例函数的图象的同一分支上，如图1，试证明：①；②．OCFMDENKyx（图1）OCFMDENKyx（图1）OCDKFENyxM（图2）OCFMDENKyx图1解：（1）①轴，轴，四边形为矩形．轴，轴，四边形为矩形．轴，轴，四边形均为矩形．，，．．，，．②由（1）知．．．，．．．OCDKFENyxM图2OCDKFENyxM图2同理．与仍然相等．，，又，．．．，．．．轴四边形是平行四边形．．同理．．MNDCyOxEFHMNDCyOxEFHGK（1）如果线段OE、OF的长是方程a2-4a+3=0的两个根，求该一次函数的解析式；（2）设点M、N的横坐标分别为m、n，试探索四边形MNFK面积与四边形HKEG面积两者的数量关系；（3）求证：MD=CN。（1）解得a1=1，a2=3，…1’OE=1，OF=3得M（1，6），N（3，2）得直线MN解析式（2）说明DNFH、DMEG、DMKH为平行四边形,SDMEG=ME·OE==6.SDNFH=NF·OF==6.∴SMNFK=SHKEG.（3）①几何法：OE=m，OF=n，EF=n-m，ME=，NF=，.设FC=a，