(2)(教师版)考点专题二-平面向量和复数

#/6考点专题二平面向量与复数(2)【考情分析】从近四年高考试卷分析来看，本专题知识理科每年考查1—2题，所占分值比例约为4.8%，难易度以容易题、中等题为主，文科每年考查1—2题，所占分值比例约为4.5%，难易度以容易题为主，此知识是高考中的必考内容.此知识在近四年常以填空题、选择题、解答题的形式在高考题中出现，主要考查复数的四则运算，复平面等相关知识.复数在高考试卷中的考查形式比较单一.【知识梳理】［重难点］.复数的相等：两个复数z=a+bi(a,b£R),z=c+di(c,d£R),当且仅当a=c且12b=d时，z=z.特别地，当且仅当a=b=0时，a+bi=0.12.复数的模：复数z1=a+bi(a,b£R)的模记作|z或a+bi,有|z=|a+bi|=Ja2+b2..共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做共轭复数.复数z的共轭复数记作z,z、z互为共轭复数.如果z=a+bi,z=a—bi(a,b£R)，则有z£R的充要条件是z=z；z是纯虚数的充要条件是z=-z且z丰0..复平面在平面直角坐标系中，可以用点Z(a,b)表示复数z=a+bi(a,b£R)，建立直角坐标系来1表示复数的平面叫做复平面，在复平面上，称％、y轴分别为实轴和虚轴，并且复数集C和复平面内所有的点构成的集合建立一一对应关系..实系数一元二次方程实系数一元二次方程在复数集中恒有解，当判别式A=b2-4ac<0时，实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c£R且a丰0)在复数集中有一对互相共轭的虚数根b,,4ac-b2.x=-——± 1.2a 2a［易错点］

1，3.、.在进行复数计算时，要灵活利用i和«（«=--+彳I）的性质，会适当变形，创造条件，从而转化为关于i和3的计算问题，并注意以下结论的灵活运用:①(1土①(1土i)2=±2i；②*二小-i；③ i4n =1, i4n+1 =i,i4n+2=-1, i4n+3 = -i(n£ Z)；④32=-1-且=3」2 2 333=1,1+3+32=0..在进行复数的运算时，不能把实数集的某些法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论，当z£C时不总是成立的：①（zm）n=zmn（m,n为分数）；②z”=Znnm=n（z*1）;③z2+z2=0nz=z=0，④Izl2=z2.TOC\o"1-5"\h\z1 2 1 2【基础练习】.若复数（1+bi）（3-i）是纯虚数（i是虚数单位，b为实数），则b= ..设z=（2-i）2（i为虚数单位），则复数z的模为.【答案】5（2013江苏）.已知复数z的共轭复数三=1+2i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限【解析】z的共轭复数£=1+2i,则z=1-2i,对应点的坐标为（1,-2）,故答案为D.（2013福建理）.已知集合M=£,2,zi}i为虚数单位，N={3,4）,MAN=储，则复数z=（）A-2i B.2i C.-4i D.4i解析：因为M={1,2,zi},N=&4},由MAN=/,得4£M，所以zi=4，所以z=-4i.答案：C【命题立意】知识：集合的运算和复数的运算.试题难度：较小.（2013江西理）.若向量a,p满足Ia+p1=1a-pI,则a与0所成角的大小为.【答案】90°（2001上春）.已知z£C，且Iz-2-2i=1,i为虚数单位，则Iz+2-2i的最小值是（B）（A）2. （B）3. （C）4. （D）5.（2009上春）."-2<a<2”是“实系数一元二次方程x2+ax+1=0有虚根”的（ ）（）必要不充分条件. （）充分不必要条件.（C）充要条件. （D）既不充分也不必要条件.

解：由实系数一元二次方程X2+ax+1=0有虚根可得A=a2—4<0即可得ae（—2,2）V（-2,2）c[—2,2]"—2<a<2”是“实系数一元二次方程x2+ax+1=0有虚根”的必要不充分条件故应选.（上文）8.设Z1、Z2是复数,则下列命题中的假命题是（）【答案】D（2013陕西理）A若上A若上1-Z21二0，则之「％C.若|z|=|zI，则z•z=z•z11 21 1 1 2 2B.若z=z，则z=z12 12D.若zJ=|z2I，则z2=z2TOC\o"1-5"\h\z【解析】设z=a+bi,z=c+di,若Iz-z1=0,则Iz-z1=(a-c)+(b-d)i,1 2 1 2 1 2a=c,b=d，所以z=z，故A项正确；若z=z，则a=c,b=-d，所以z=z，故1 2 1 2 1 2B项正确；若IzI=IzI,则Ua2+b2=c2+d2，所以z.z=z.z，故C项正确；1 2 11 22当IzI=IzI时，可取z=1,z=i,显然z2=1,z2=-1,即z2丰z2，假命题.2 1 2 1 2 1 2【例题精讲】例L已知复数z1满足（z12）（1+i）=1-i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，zJz2是实数，求zI2"上）解：(z-2)(1+i)=1-inz=2-i设z=a+2i,aeR，贝|zz=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i,12VzzeR，,z=4+2i12例2,已知z是复数，z+2i、上均为实数（i为虚数单位），且复数（z+ai）2在复平面上2-i对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.（2005上春）设z=x+yi（x、yeR）,丁z+2i=x+（y+2）i,由题意得y=-2.x―2i1Xi=-(x-2i)(2+i)2-i5=5(2x+2)+5(x-4)i由题意得根据条件x=4..•・z=4-2iV(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,由题意得根据条件可知］12+4a-a2>0，解得2<a<6，,实数a的取值范围是(2,6).(8(a-2)>0

例已知复数z=a+bi(a、bGR+)i是虚数单位是方程x2—4x+5=0的根.复数攻=u+3i(ugR)满足|w一z|<2y/5，求u的取值范围.(上文)解：原方程的根为x=2土i,1,2,/a,bgR+,「.z-2+i,•.•|攻一z|-|(u+3i)一(2+i)I-\：(u-2)2+4<2苫，：.-2<u<6.例 对于复数a,b,c,d，若集合S-{a,b,c,d}具有性质“对任意x,ygS，必有xygS”,・・a-1,则当rb2-1时，b+c+d等于()(福建理)c2-b解法：由b2-1,得b-1或b--1天：a-1,.二由集合中元素的互异性知b--1.由c2c2-b,即c2--1,得c-i或c--i)当a-1,b—-1,c-i时，S=5,一1,i,d},因为集合S具有性质”对任意x、ygS,必有xygS"，所以ac-igS,bc--igS,故d— —i, /.b+c+d——1 ()当a- 1,b ——1,c— —i 时，S=5,—1,—i,d}，因为集合S具有性质”对任意x、ygS,必有xygS"，所以ac—-igS,bc-igS,故d-i,解法:二<b解法:二<b2-1,a—1fa—1fa—1fa—1，<b-1或rb-1或rb--1或rb-1,又因为集合中的元素具有cc-1c--1 c-i c—-ia—1a—1b—-1b--1互异性，且对任意x,yGS,必有xyGS,所以＜.或r.,所以b+c+d--1.C2=bc-l c--id—-i d-iI I点评：()本题涉及复数与集合等知识点，考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力考查学生分析问题和解决问题的能力，属于创新题型.()解法步步为营，借助“分类讨论”求出不同情况下的c、d的不同取值，进而求出b+c+d；解法直接解方程，然后验证条件，排除不满足的条件；显然解法优于解法()主要考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力、创新意识；考查函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想.

（4）与前三年的复数、集合题型有很大的不同，往年较少出现复数与集合的交汇题型，在题目的设计上更显新意，虽然题型新颖，但是万变不离其宗，所以在复习中一定要掌握好基本知识．（5）随着高中新课程标准、新教材的使用，高考对考生创新意识和创新能力的要求逐步提高．“出活题，考能力”就是要求学生能综合灵活运用所学数学知识，思想方法，对新概念、新知识、新信息、新情景、新问题进行分析，探索、创造性地解决问题．所以“新定义问题”将是高考创新题中一种命题趋势．【能力强化】.在复平面内，复数（2-i）2对应的点位于（）（2013北京理）【答案】DA.第一象限 A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限.若复数z满足（3-4i）z=|4+3i,则z的虚部为（ ）（2013全国新课标I理）44A.-4 B.-5 C.4 D.5【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及复数模的计算，是容易题.【解析】由题知z=【解析】由题知z=14+3iIJ42+32(3+4i)34.= =-+-i3-4i (3-4i)(3+4i) 55故z的虚部为4，故选D.1-z-.=2+mi,mgR，若1•对应点在第二象限，则m的取值范围为 .1+i3+i在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别为「一、-2+i、0，则第四个顶1-i点对应的复数为 ..已知z为复数，则z+z>2的一个充要条件是z满足（ 上春）【答案】.设集合M=fy=cos2x-sin2x,xgR|N=<xx-1<72,i为虚数单位xgr1贝|MAN为 【答案】b,D（ 陕西理）.（ 福建理第题）满足a,bg{-1,0,1,2}，且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对（a,b）的个数为（ ）A.14 B.13 C.12 D.10【答案】B【解析】方程ax2+2x+b=0有实数解，分析讨论①当a=0时，很显然为垂直于x轴的直线方程，有解.此时b可以取4个值.故有4种有序数对②当a牛0时，需要△=4-4ab>0，即ab<1.显然有3个实数对不满足题意，分别为（1,2）,

(2,1 ), (2,2).满足题意的 (a,b) 的取值为(-1,0),(-1,1),(-1,-1),(-1,2),(1,1),(1,0),(1,-1),(2,-1),(2,0),共9个.3-i8.在复数范围内解方程z2+(z+z)i= .(i为虚数单位)(2005上)2+i解：原方程化简为|z|2+(z+Z)i=1-i,设z=x+yi(x、产即,代入上述方程得x2+y2+2xi=1-i,, 1 <3/.x2+y2=1且2乂=-1,解得x=-—且y=± ,・♦・原方程的解是z=-：±」；i. 2 x+1 9.已知实数p满足不等式 <0，试判断方程z2-2z+5-p2=0x+2有无实根，并给出证明.(2004上春)TOC\o"1-5"\h\z解：由2x+1<0，解得-2<x<-工，.一2<p<-1.方程z2-2z+5-p2=0的判别式△=4(p2-4).x+2 2 2•••-2<p<-*，,1<p2<4，A<0，由此得方程z2-2z+5-p2=0无实根.2 410.已知关于x的实系数一元二次方程ax2+bx+c=0有两个