高等数学第五章不定积分

高等数学第五章不定积分1、不定积分的概念与性质2、换元积分法3、分步积分法4、有理函数的积分5、简单无理函数的积分6、积分表的使用第四章不定积分

1、理解原函数和不定积分的定义。2、熟练掌握不定积分的基本性质和基本积分公式。3、掌握不定积分的换元积分法和分步积分法。4、会求有理函数的积分和一些可以有理化函数的积分。基本要求

第一节不定积分的概念与性质

一、原函数与不定积分的概念原函数存在定理：连续函数一定有原函数.(2)原函数之间的关系:任意常数积分号被积函数被积表达式积分变量例1求解例3设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程。解设曲线方程为根据题意知由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为注:1)求导数与求不定积分是互逆运算2)同一函数的不定积分的结果形式会不同可用求导数的方法验证正确性.实例由于积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式。二、基本积分表基本积分表是常数);说明：例4求积分解证等式成立。（此性质可推广到有限多个函数之和的情形）三、不定积分的性质（积分法则）例5求积分解例6求积分解例7：求解：原式例8求积分解注：被积函数有时需要进行恒等变形，再使用基本积分表.例9：求解：原式解所求曲线方程为第二节换元积分法解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令一、第一类换元法换元换回原变量求导数验证结果问题第一类换元公式（凑微分法）说明：使用此公式的目的在于化难为易定理1难易例1求解（一）解（二）解（三）例2求解一般地例3求解例4求解例5求解例6求解例7求解例8求解例9：求解：原式例10：求解：原式解：原式=例12求解例13求解说明当被积函数是三角函数相乘时，可考虑拆开奇次项去凑微分.例14求解例15求解法一类似地可推出解法二思考：以下几种形式的积分，如何用凑微分法求积例16求解问题解决方法改变中间变量的设置方法.过程令再用“凑微分”二、第二类换元法难易证：只要证右端的导数等于左端的被积函数定理2由复合函数与反函数的导数，有第二类积分换元公式注：1）保证代换x=(t)的单调连续（有反函数）；代换x=(t)，一起换。例17求解令例18求解令例19求解令说明1以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令说明2积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换.也可以化掉根式积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.说明3例20求（三角代换很繁琐）令解例21求解令

说明4当分母的阶较高时,可采用倒代换例22求令解例23求解令（分母的阶较高）倒代换问题解决思路利用两个函数乘积的求导法则.分部积分公式一、基本内容第三节分部积分法例1求积分解（一）令显然，选择不当，积分更难进行.解（二）令例2求积分解（再次使用分部积分法）总结若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为,使其降幂一次(假定幂指数是正整数)例3求积分解令例4求积分解令例5求积分解总结若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为.例6求积分解例7求积分解注意循环形式解解解第四节几类特殊类型函数的积分两个多项式的商表示的函数.一、有理函数的积分有理函数的定义:假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式；这有理函数是假分式；利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.由代数学定理:Q(x)=b0(x-a)…(x-b)(x2+px+q)…(x2+rx+s)难点将有理函数化为最简分式之和.（1）分母中若有因式，则分解后为有理函数化为部分分式之和的一般规律：特殊地：分解后为（2）分母中若有因式，其中则分解后为特殊地：分解后为真分式化为部分分式之和的待定系数法例1代入特殊值来确定系数取取取并将值代入例2例3整理得分解后的部分分式必须是最简分式.例4求积分解例5求积分解说明将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：多项式；讨论积分令这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数.结论有理函数的原函数都是初等函数.三角有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为二、三角函数有理式的积分（万能置换公式）例7求积分解由万能置换公式例8求积分解（一）解（二）修改万能置换公式,令解（三）可以不用万能置换公式.结论比较以上三种解法,便知万能置换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换.例9求积分解讨论类型解决方法作代换去掉根号.三、简单无理函数的积分例10求积分解令例11求积分解令说明无理函数去根号时,取根指数的最小公倍数.例12求积分解先对分母进行有理化原式例13解说明当被积函数含有两种或两种以上的根式时，可采用令（其中为各根指数的最小公倍数）例14求解令不定积分习题课

积分法原函数选择u有效方法基本积分表第一换元法第二