第七章模糊计算

第七章模糊计算第七章模糊计算“模糊”(Fuzzy)指概念外延不明确的不确定性。“模糊”比“清晰”所包含的信息量更大，内涵更为丰富，更贴近客观世界。为了克服经典集合不能表现模糊概念的限制，美国计算机与控制论专家L.A.Zadeh于1965年提出模糊集合的重要概念，并将模糊集合论应用于近似推理方面，形成了可能性理论。模糊逻辑和可能性理论已广泛应用于专家系统和智能控制中，模糊计算就是以模糊逻辑为基础的计算。4/5/202327.1模糊逻辑的数学基础7.1.1模糊集合一般而言，在不同程度上具有某种特定属性的所有元素的总和称为模糊集合。模糊集合的基本思想就是把经典集合中的隶属关系加以扩充，将元素对“集合”的隶属程度由只能取０和１这两个值推广到取单位闭区间[0，1]上的任意数值，从而实现定量地刻画模糊对象。隶属函数用µA(x)表示，其中A表示模糊集合，隶属函数满足条件:0≤µA(x)≤14/5/202337.1.1模糊集合有了隶属函数以后，就可以把元素对模糊集合的归属程度恰当地表示出来。例如青年是一个模糊集合，用普通集合A表示为：

A={x|15岁≤x≤35}如果用模糊集合A表示，并且有051015202530354045

1µA(x)051015202530354045

1µA(x)特征函数隶属函数4/5/202347.1.2模糊集合的表示方法定义7.1：设U是论域，µA

(u)是把任意u∈U映射到区间[0,1]上某个值的函数，即

µA：U→[0,1]

u→µA(u)则称µA为定义在U上的隶属函数，由µA(u)(u∈U)所构成的集合A称为U上的一个模糊集，µA表示u属于模糊子集A的隶属度。模糊集合A是个抽象的概念，其元素是不确定的，只能通过隶属函数µA认识和掌握A，µA(u)的值越接近1，表示u隶属于A的程度越高，µA(u)的值越接近0，表示u隶属于A的程度越低。4/5/202357.1.2模糊集合的表示方法例如对论域U={1,3,5,7,9}，可用模糊集A和B分别把其中数据的模糊概念“大”和“小”表示出来。可以设：

A={0,0,0.2,0.6,1}

B={1,0.5,0.1,0,0}其中：µA(1)=0,µA(3)=0.05,µA(5)=0.2,µA(7)=0.6,µA(9)=1µB(1)=1,µB(3)=0.5,µB(5)=0.1,µB(7)=0.05,µB(9)=04/5/202367.1.2模糊集合的表示方法模糊集合的三种表示方法:

Zadeh表示法若给定有限论域U,

且U={u1,u2,····,un},用A(u)代替µA(u),则U上的模糊集合A可表示为:其中+是集合项的累积分隔符,分母表示论域U中的元素,分子表示该元素相应的隶属度。隶属度为0的项可以不列出。4/5/202377.1.2模糊集合的表示方法例如：考虑5个科研项目,分别记为u1,u2,u3,u4,u5，取论域U={u1,u2,u3,u4,u5},鉴定专家按各项技术指标给这些项目对“成果优秀”的符合程度打分，取其平均值除以100的结果为：u1：87分，记A(u1)=87/100=0.87u2：73分，记A(u2)=73/100=0.73u3：94分，记A(u3)=94/100=0.94u4：85分，记A(u4)=87/100=0.87u5：79分，记A(u5)=79/100=0.79论域U上“成果优秀”的模糊集合A可以表示为：4/5/20238其中积分号只是表示各元素与隶属度对应的一个总括形式。例如以年龄作为论域，取U=[0,200]，Zadeh给出“年轻”的模糊集合Y，其隶属函数为：7.1.2模糊集合的表示方法若给定无限论域U,U取一连续实数区间,则U上的模糊集合A可表示为:4/5/202397.1.2模糊集合的表示方法0≤u≤2525≤u≤200051015202530354045

1µY(u)用Zadeh的无限论域表示法表示如下：4/5/2023107.1.2模糊集合的表示方法(2)序偶表示法如考虑论域U={1,2,3,···,10}上“大”、“小”两个模糊概念，并分别用模糊集合A、B表示如下：A={(4,0.2),(5,0.4),(6,0.5),(7,0.7),(8,0.9),(9,1),(10,1)}B={(1,1),(2,0.9),(3,0.6),(4,0.4),(5,0.2),(6,0.1)}(3)向量表示法

A=(A(u1),A(u2),········,A(un))将上面“大”、“小”两个模糊集合用向量表示如下:

A=(0,0,0,0.2,0.4,0.5,0.7,0.9,1,1)

B=(1,0.9,0.6,0.4,0.2,0.1,0,0,0,0)4/5/202311定义7.2设U为论域，A和B是U上的两个模糊集合，则有以下运算：1）包含运算如果对任意u∈U,都有:A(u)≤B(u),则称A包含于B，或称B包含A，记为A⊆B,即

A⊆B⇔A(u)≤B(u)u∈U2)相等如果A⊆B且B⊆A，则称A与B相等，记为A=B，即

A=B⇔A(u)=B(u),u∈U7.1.3模糊集合的运算4/5/2023127.1.3模糊集合的运算3）并运算A与B的并记作A∪B,其隶属函数为A∪B:(A∪B)(u)=A(u)⋁B(u)=max{A(u),B(u)}其中⋁表示取上确界。4）交运算A与B的交记作A∩B,其隶属函数为A∩B:(A∩B)(u)=A(u)⋀B(u)=min{A(u),B(u)}其中⋀表示取下确界。5）补运算A的补模糊集合记作A´，其隶属函数为

A´:A´(u)=1-A(u)4/5/2023137.1.3模糊集合的运算例如设某油田有5个不同的采油厂，这些采油厂构成的论域为U={u1，u2，u3，u4，u5}，并有:“产量高”A={0.9,0.5,0.6,0.8,0.8}“油质好”B={0.7,0.8,0.3,0.7,0.85}(1)“产量高且油质好”为A∩B=(0.9⋀0.7,0.5⋀0.8,0.6⋀0.3,0.8⋀0.7,0.8⋀0.85)=(0.7,0.5,0.3,0.7,0.8)(2)“产量高或油质好”为A∪B=(0.9⋁0.7,0.5⋁0.8,0.6⋁0.3,0.8⋁0.7,0.8⋁0.85)=(0.9,0.8,0.6,0.8,0.85)(3)“产量不高”为A´=(1-0.9,1-0.5,1-0.6,1-0.8,1-0.8)=(0.1,0.5,0.4,0.2,0.2)4/5/2023147.1.3模糊集合的运算模糊集运算的基本定理幂等律

A∪A=A,A∩A=A(2)交换律

A∪B=B∪A,A∩B=B∩A(3)

结合律

A∪(B∪C)=(A∪B)∪CA∩(B∩C)=(A∩B)∩C(4)

分配律

A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)(5)同一律A∩U=A,

A∪Φ=A(6)吸收律A∩(A∪B)=A,A∪(A∩B)=A(7)

德.摩根律

(A∩B)´=A´∪B´(对偶律)(A∪B)´=A´∩B´(8)互补律A´∪A=U,A´∩A=Φ4/5/2023157.1.4隶属函数的确定方法常用确定模糊隶属函数的方法有模糊统计法、相对比较法和专家经验法。模糊统计法对于模糊统计试验，在论域U中给出一个元素u，再考虑n个具有模糊集合A属性的经典集合A，统计元素u对各个A的归属次数。U对A的归属次数和n的比值就是u对A的隶属函数。当n足够大时，隶属函数A(u)趋于稳定。4/5/2023167.1.4隶属函数的确定方法例.已知20人的身高分别为1.50,1.55,1.56,1.60,1.61,1.64,1.65,1.69,1.70,1.71,1.73,1.75,1.77,1.78,1.80,1.84,1.90,1.91,1.94,1.98。考虑“中等身材”集合A以及1.71属于A的隶属度。现有20位评委分别给出的“中等身材”经典集合定义：1.60~1.691.63~1.701.65~1.751.56~1.701.62~1.731.65~1.721.64~1.731.60~1.691.69~1.751.69~1.781.60~1.711.63~1.731.65~1.781.61~1.721.64~1.721.67~1.781.60~1.701.68~1.781.61~1.731.62~1.72在20人中身高落在这组A*内的人有12人,根据他们出现在A*各组中的频率,可得取隶属度为:4/5/2023177.1.4隶属函数的确定方法A(1.56)=1/20=0.05A(1.60)=5/20=0.25A(1.61)=7/20=0.35A(1.64)=13/20=0.65A(1.65)=16/20=0.8A(1.69)=20/20=1A(1.70)=18/20=0.9A(1.71)=15/20=0.75A(1.73)=10/20=0.5A(1.75)=6/20=0.3A(1.77)=4/20=0.02A(1.78)=4/20=0.02显然1.71属于A的隶属度为0.75,而A(1.90)=0。即4/5/2023187.1.5模糊截集及其性质定义7.3设A是论域U上一个模糊集,任取∈[0,1],记称A为A的截集，而称为阈值或置信水平。以下称AS为A的强截集。

截集是由论域U中对于模糊集合A的隶属度达到或超过阈值的元素构成的集合。

强截集是由论域U中对于模糊集合A的隶属度超过阈值的元素构成的集合。4/5/202319则A0=U,A0.2=U,A0.3={u2,u3,u4,u5,u6}A0.4={u2,u3,u4,u6},

A0.6={u3,u4,u6}A0.8={u3,u4},A1={u3}A0=U,A0.2={u2,u3,u4,u5,u6},A0.3={u2,u3,u4,u6},

A0.4={u3,u4,u6},A0.6={u3,u4},A0.8={u3},A1=Φ显然A和AS均是经典集合，且AS⊆A⊆U。7.1.5模糊截集及其性质例.设U={u1,u2,u3,u4,u5,u6}，

4/5/202320截集与强截集的性质定理7.1.设A为论域U上的任一模糊集,则

[0,1],AS

A

A0=U,AS1=Φ(3)

1,

2

∈[0,1]且1≤

2,A2

A1(4)1,

2

∈[0,1]且1≤

2,AS2

AS1定理7.2.设A,B为论域U的两个模糊集,

[0,1],则(1)(A∪B)=A∪B(2)(A∩B)=A∩B(3)(A∪B)S=AS∪BS(4)(A∩B)S=AS∩BS7.1.5模糊截集及其性质4/5/2023217.1.5模糊截集及其性质对于无限个模糊集的情形,有如下定理.定理7.3.设T为任意指标集,t∈T,At为论域U上的任一模糊集,则4/5/2023227.1.6模糊集之间的贴近度定义7.4设A和B是论域U上两个模糊集，则为Ａ与Ｂ的内积；为Ａ与Ｂ的外积。特别当U={u1,u2,,un}时，有(1)(2)4/5/202323内积与外积的性质7.1.6模糊集之间的贴近度(1)设则(3)(4)(5)4/5/2023247.1.6模糊集之间的贴近度从模糊向量内积与外积的定义可以看出,内积寻求最小值中的最大值，外积寻求最大值中的最小值，当A与B越接近时，A◦B越大，AB越小。定义7.5设A、B为两个n维模糊集合的模糊向量，则A与B的格贴近度定义为：例.设A=(0.2,0.6,1,0.8,0.4),B=(0.3,0.5,1,0.7,0.3)(A

◦B)=(0.20.3)(0.60.5)(11)(0.80.7)(0.40.3)=0.20.510.70.3=1(AB)=(0.20.3)(0.60.5)(11)(0.80.7)(0.40.3)=0.30.610.80.4=0.3N(A,B)=(A◦B)(AB)=1(1-0.3)=0.74/5/2023257.1.6模糊集之间的贴近度对一般论域而言的几种常用贴近度N的定义：给定论域U，设A、B为论域U的两个模糊集，则

1.格贴近度2.平均贴近度3.最大-最小贴近度4/5/2023267.1.6模糊集之间的贴近度4.最小平均贴近度5.采用距离定义的贴近度当p=1时，Dm为海明距离，记为DH，当p=2时，Dm为欧几里德距离，记为DE。4/5/2023277.1.7模糊模式识别1.最大隶属原则定义7.6设论域U上n个模糊集Ai(i=1,2,···,n)为n个标准模式，任取u0∈U，若存在i∈{1,2,···,n},使得

则称u0相对地属于Ai例.设有6种商品的集合为U={u1,u2,u3,u4,u5,u6},将这些商品分为滞销商品、脱销商品、畅销商品三类，分别对应于模糊集A1,A2,

A3,且4/5/2023287.1.7模糊模式识别现根据最大隶属原则判断商品u2和u4属于哪一类：由于A1(u2)A2(u2)A3(u2)=0.10.10.8=0.8=A3(u2)A1(u4)A2(u4)A3(u4)=0.600.4=0.6=A1(u2)所以u2属于畅销商品,u4属于滞销商品。滞销商品脱销商品畅销商品4/5/2023297.1.7模糊模式识别2.择近原则定义7.7设论域U上n个模糊集Ai(i=1,2,···,n)为n个标准模式，有U上的模糊集B为待识别对象,若存在i∈{i=1,2,···,n},使得则称B与Ai最贴近，并判定B与Ai一类。这里采用格贴近度N(A,B)。例.设论域U={u1,u2,u3,u4,u5,u6}上有五类模式A1、A2、A3、A4、A5和样本B，判断B的归属类。4/5/2023307.1.7模糊模式识别A1=(0.6,0.3,0.2,0,0.5,0.1)A2=(0.7,1,0.3,0,0.8,0.9)A3=(0.2,1,0.8,0.4,0.5,0.1)A4=(0.8,0,0.4,0.5,0.7,0)A5=(0.5,0.3,0.6,1,0,0.4)B=(0.7,0.4,0.6,0.3,0.4,0.8)由于A1◦B=0.6,

A2◦B=0.8,A3◦B=0.6,A4◦B=0.7,A5◦B=0.7A1B=0.3,

A2

B=0.3,A3

B=0.4,A4B=0.4,A5

B=0.44/5/2023317.1.7模糊模式识别根据格贴近度公式:N(A1,B)=(A1◦B)(A1B)=0.60.7=0.6N(A2,B)=(A2◦B)(A2B)=0.80.7=0.7N(A3,B)=(A3◦B)(A3B)=0.60.6=0.6N(A4,B)=(A4◦B)(A4B)=0.70.6=0.6N(A5,B)=(A5◦B)(A5B)=0.60.6=0.6显然N(A2,B)=N(A1,B)N(A2,B)N(A3,B)

N(A4,B)N(A5,B)根据择近原则，可判定B归属第二类。4/5/2023327.2模糊关系7.2.1普通关系及其运算定义7.8设U,V为两个论域,UV上普通幂集的一个子集R称为U到V的一个普通关系,其中UV为U和V的笛卡尔积,UV={(u,v)|u∈U,v∈V}。对于任意u∈U,v∈V，若(u,v)∈R,则称u对于v有关系R,记作uRv,若(u,v)R，则称u对于v没有关系R,记作。例.U表示全校学生的集合,V表示所开设课程的集合,令R={(u,v):v是u所选课程},则R表示从U到V的“选课”关系。4/5/2023337.2.1普通关系及其运算定义7.9设U={u1,u2,…,um},V={v1,v2,…,vn},R为U到V的一个普通关系,记作R=(rij)mn，其中

rij=R(ui,vj)i=1,2,···,m；

j=1,2,···,n由于R是UV的一个经典集合,故这时R=(rij)mn

为一个mn阶矩阵,或称布尔矩阵。显然有限论域间的普通关系可以用布尔矩阵表示。4/5/2023347.2.2模糊关系及其运算定义7.10设U,V为两个论域,UV上模糊幂集的一个子集R称为U到V的一个模糊关系,对(u,v)∈UV,称R(u,v)为u对于v具有关系R的相关程度。R(u,v)反映了u对于v的相关程度(0R(u,v)1)；若R(u,v)越接近1,则u与v对于R而言关系越密切；若R(u,v)越接近0,则u与v对于R而言关系越稀疏；若(u,v)∈UV,有R(u,v)=0,称R为U到V的零关系；若(u,v)∈UV,有R(u,v)=1,称R为全称关系；若R(u,v)∈{0,1}时,u与v对于R具有明确关系。4/5/2023357.2.2模糊关系及其运算例.取U={部门1,部门2,部门3,部门4},V={优质产品,合格产品,不合格产品},通过对各自100件样品的检查,有以下结果。优质产品合格产品不合格产品部门182162部门278220部门384160部门4731512部门级别4/5/2023367.2.2模糊关系及其运算优质产品合格产品不合格产品部门10.820.160.2部门20.780.220.0部门30.840.160.0部门40.730.150.12部门级别若将各级别产品的数目折算成隶属度来表示各生产部门属于各等级产品标准的程度,下表可确定一个从U到V的模糊关系R。4/5/2023377.2.2模糊关系及其运算定义7.11设U={u1,u2,…,um},V={v1,v2,…,vn},R为U到V的一个模糊关系,则R可以用一个mn阶矩阵表示，记作R=(rij)mn，其中

rij=R(ui,vj)i=1,2,···,m；

j=1,2,···,n由于R(ui,vj)[0,1],故称R=(rij)mn为模糊矩阵。如4/5/202338区域与科学教育的关系人口素质高校数目科研机构数区域1556133区域2322918区域3474123区域4281811区域规格化指标4/5/202339区域与科学教育的关系模糊矩阵4/5/2023407.2.2模糊关系及其运算定义7.12设R与Q为从U到V的模糊关系,则(4)R的转置(1)R与Q的并(2)R与Q的交(3)R的补4/5/2023417.2.2模糊关系及其运算(5)称RQ,如果(6)称R=Q,如果(7)R的截关系和强截关系(经典集合)(8)与R的模糊截积关系R4/5/2023427.2.2模糊关系及其运算例.设R,Q均为U={u1,u2,u3}上的模糊关系,且4/5/2023437.2.2模糊关系及其运算4/5/2023447.2.2模糊关系及其运算4/5/2023457.2.2模糊关系及其运算定义7.13设U,V,W为三个论域,R为从U到V的模糊关系,Q为从V到W的模糊关系,则R与Q合成是U到W的一个模糊关系,记作R◦Q,其中R◦Q={(u,w)UW:存在vV,使(u,v)R且(v,w)Q}用隶属函数表示为:若R=(rij)mn

,Q=(qjk)nl

R◦Q=(pik)ml

4/5/2023467.2.2模糊关系及其运算例．设Ｕ={u1,u2,u3,u4} 为生产资料商品集,V={v1,v2}为两种消费品的集合，W={w1,w2,w3}为三个市场的细分，以R表示U到V的原料供应关系,以Q表示V到W的市场占有关系，若取则生产资料对市场的间接占有关系即为R◦Q。4/5/2023477.2.2模糊关系及其运算其中pik(i=1,2,3,4;k=1,2,3)表示第i种生产资料对市场k的间接占有关系。4/5/2023487.2.2模糊关系及其运算定理7.5设P,Q,R为三个模糊关系,且可进行合成运算,则有结合率:R◦(Q◦P)=(R◦Q)◦P(2)

分配率:(R∪Q)◦P=(R◦P)∪(Q◦P)P◦(R∪Q)=(P◦R)∪(P◦Q)(3)单调性:RQ

R◦PQ◦P(4)

(R∩Q)◦P

(R◦P)∩(Q◦P)P◦(R∩Q)(P◦R)∩(P◦Q)4/5/2023497.2.2模糊关系及其运算定理7.6设RF(UV),QF(VW),F为UV或VW上模糊关系幂集(模糊关系全体),则(1)(R◦Q)T=QT

◦RT(T表示转置运算)(2)若RF(UU),则(Rn)T=(RT)n例.对生产资料消费品市场的关系R和Q，有4/5/2023507.2.2模糊关系及其运算4/5/2023517.2.3模糊等价关系定义7.14设模糊关系RF(UU),则如果IR,即uU,R(u,u)=1,则称R为自反的；(2)如果u,vU,R(u,u)≥R(u,v),则称R为弱自反的；(3)如果>0,uU,R(u,u)≥,则称R为自反的；(4)如果uU,R(u,u)=0,则称R为反自反的；(5)包含R最小的自反模糊关系为R的自反闭包,记作r(R).1.模糊关系的自反性4/5/2023527.2.3模糊等价关系例.设U={u1,u2,u3},RF(UU),有自反模糊矩阵弱自反模糊矩阵0.7自反模糊矩阵反自反模糊矩阵4/5/2023537.2.3模糊等价关系定理7.7设RF(UU),则下列结论成立:(1)R是自反的当且仅当R是反自反的；(2)R是反自反的当且仅当R∩I=；(3)若R是自反的,则nN,RnRn+1且Rn也自反；(4)若R是弱自反的,则nN,RnRn+1；(5)R的自反闭包r(R)=R∪I；(6)R是自反的当且仅当[0,1],R是自反的.4/5/2023547.2.3模糊等价关系例.设U={u1,u2,u3},RF(UU),有4/5/2023557.2.3模糊等价关系2.模糊关系的对称性定义7.15设RF(UU),若RT=R,则称R为对称模糊关系;而称包含R的最小对称模糊关系为R的对称闭包,记作s(R).定理7.8设RF(UU),则下列结论成立:(1)R◦RT是对称且弱自反模糊关系；(2)若R是对称的,则nN,Rn也是对称的；(3)若R,Q是对称的,则当R◦Q=Q◦R时,

R◦Q为对称；(4)s(R)=R∪RT；(6)R是对称的当且仅当[0.1],R是对称的.4/5/2023567.2.3模糊等价关系例.U={u1,u2,u3,u4},RF(UU),则下面R为对称模糊矩阵4/5/2023577.2.3模糊等价关系例.U={u1,u2,u3},RF(UU),且则其对称闭包为4/5/2023587.2.3模糊等价关系关系合成R◦RT呈现出对称且弱自反的模糊关系：同样对于U={u1,u2,u3},RF(UU),且4/5/2023593.模糊关系的传递性定义7.16设RF(UU),若R◦RR,则称R为传递模糊关系;而称包含R最小的传递模糊关系为R的传递闭包,记作t(R).定理7.9设U={u1,u2,…,un},RF(UU),则有:(1)若R是传递的,则nN,Rn也是传递的；(2)R是传递的当且仅当[0.1],R是传递的；若R是自反的,m≥n,有t(R)=Rm

；(4)7.2.3模糊等价关系4/5/2023607.2.3模糊等价关系例．设U={u1,u2,u3},RF(UU),且则由于R◦R=RR，故R为传递的模糊矩阵。例.设有R,求R的传递闭包t(R)。由于R2◦R2=R2,即R4R2,所以t(R)=R24/5/2023617.2.3模糊等价关系4.模糊关系的相似性定义7.17设RF(UU),若R是自反和对称的,则称R为相似模糊关系;而称包含R的最小的相似模糊关系为相似闭包,记作a(R).定理7.10设RF(UU),则有:(1)若R为相似模糊关系,则nN,Rn也是相似的；(2)R为相似的当且仅当[0.1],R是相似的.例．设U={u1,u2,u3},RF(UU),且显然R既是自反的又是对称的,所以R为相似模糊矩阵4/5/2023627.2.3模糊等价关系5.模糊关系的等价性定义7.18设RF(UU),若R满足自反性、对称性和传递性,则称R为模糊等价关系;而称包含R的最小的模糊等价关系为R的等价闭包,记作e(R).定理7.11设RF(UU),则有:(1)若R为等价的,则nN,Rn也是等价的；(2)R为等价的当且仅当[0.1],R为等价的；(3)R为等价的当且仅当R为传递的模糊相似关系；(4)若R为模糊相似关系,则e(R)=t(R),即R的等价闭包等于R的传递闭包(由于t(R)相对容易获得).4/5/2023637.2.3模糊等价关系例．设U={u1,u2,u3,u4,u5},RF(UU),且由于IR，RT=R且R◦R=RR，即关系R满足自反性、对称性和传递性,故R为模糊等价关系.4/5/2023647.3基于模糊等价矩阵的模糊聚类分析模糊聚类分析就是利用模糊数学方法，根据事物间的模糊关系及不同特征、亲疏程度和相似性等，对事物进行分类的方法。由于模糊聚类分析更符合客观实际，在天气预报、灾害预测、环境保护、资源勘探、图像处理等领域得到广泛应用。一个合适的分类应当具备下列三个条件：(1)自反性:任何一个对象必须和自己在同一类；(2)对称性:若对象u与对象v同类,则v与u也同类；(3)传递性:若对象u与对象v同类,对象v与对象w同类,则u与w也应同类.4/5/2023657.3基于模糊等价矩阵的模糊聚类分析由于合适分类三个必备条件就是一个等价关系,因此模糊聚类分析根据模糊等价关系进行。设被分类对象的集合为U={u1,u2,…,un},其中每个对象有m个特征指标(对象与特征间模糊关系的隶属度),其向量为ui={ui1,ui2,…,uim}i=1,2,…,nU的特征指标矩阵4/5/2023667.3.1数据规格化为消除因特征指标单位的差异和特征指标数量级不同而可能造成的特征指标对分类作用影响尺度的不统一,需要对特征指标实施规格化处理。数据标准化(2)均值规格化4/5/2023677.3.1数据规格化(3)中心规格化(4)最大值规格化4/5/2023687.3.1数据规格化(5)极差规格化(6)对数规格化4/5/2023697.3.2构造模糊相似矩阵设数据ukl(k=1,2,…,n;l=1,2,…,m)均已规格化,用多元分析方法确定ui=(ui1,ui2,…,uim)和uj=

(uj1,uj2,…,ujm)之间的相似程度:

rij=R(ui,uj)[0,1],i,j=1,2,…,n从而构造出一个对象与对象之间的模糊相似矩阵其中rij的计算有多种方法4/5/2023707.3.2构造模糊相似矩阵相似系数法(1)数量积法i=jij其中M>0为适当选择的参数且M≥max{uiuj|ij}(2)夹角余数法其中模4/5/2023717.3.2构造模糊相似矩阵(3)相关系数法(4)指数相关系数法4/5/2023727.3.2构造模糊相似矩阵2.距离法利用对象ui和uj的距离d(ui,uj)确定相似程度,取

rij=1-c·d(ui,uj)适当选取c和使rij[0,1](1)Chebyshev距离(2)Hamming距离(3)Euclid距离(4)Minkowki距离4/5/2023737.3.2构造模糊相似矩阵(5)Lambert距离(6)Markov距离(7)绝对值指数法(8)绝对倒数法i=jij其中V=(vij)nm为U*的协方差矩阵.4/5/2023747.3.2构造模糊相似矩阵(1)最大最小法3.贴近度法(2)算术平均法(3)几何平均最小法4/5/2023757.3.3模糊分类1.模糊传递闭包法利用平方自合成方法求出模糊相似矩阵R的传递闭包t(R),即

R2

R4···R2k=t(R)k≤[log2n]+1(2)适当选取置信水平值[0,1],求出t(R)的截矩阵t(R),然后按t(R)进行分类,所得到的分类就是水平上的等价分类.(3)画动态聚类图将t(R)中所有互不相同的元素按降序排列的{i}i=1,2,…,m,依次选遍i,得到t(R)i一系列分类.4/5/2023767.3.3模糊分类例.环保部门对某地区5个环境评价区域按污染情况进行分类,污染情况由污染物空气、水、土壤、作物4个要素中含量的超标程度衡量。设5个环境评价区域为U={u1,u2,u3,u4,u5}，各区域的污染数据为：u1=(80,10,6,2),u2=(50,1,6,4),u3=(90,6,4,6),u4=(40,5,7,3),u2=(10,1,2,4).用模糊传递闭包法对U进行分类.4/5/2023777.3.3模糊分类特征指标矩阵为(1)数据规格化采用最大值规格化作变换得4/5/2023787.3.3模糊分类(2)构造模糊相似矩阵采用最大最小法构造模糊相似矩阵R=(rij)55,这里4/5/2023797.3.3模糊分类(2)利用平方自合成方法求构造模糊相似矩阵采用最大最小法R的传递闭包t(R)显然R2R不满足显然R4R2不满足4/5/2023807.3.3模糊分类显然R8R4成立,因此t(R)=R4(4)分别选取置信水平[0,1],按t(R)进行动态聚类.取=1此时U被分成5类:{u1},{u2},{u3},{u4},{u5}.4/5/2023817.3.3模糊分类取=0.70此时U被分成4类:{u1},{u2,u4},{u3},{u5}.取=0.63此时U被分成3类:{u1,u2,u4},{u3},{u5}.4/5/2023827.3.3模糊分类取=0.62此时U被分成2类:{u1,u2,u3,u4},{u5}.取=0.53此时U被分成1类:{u1,u2,u3

u4,u5}.4/5/2023837.3.3模糊分类(5)动态聚类图u1

u2

u3

u4

u510.700.630.620.535类4类3类2类1类4/5/2023847.3.3模糊分类2.直接聚类法(1)将模糊相似矩阵R中所有不相同的元素按值降序排列,设为1=1>2>…>m(2)选取=k(k=1,2,…,m),直接在模糊相似矩阵R上找出k水平上的相似类,并进行归并,即得到的k水平上的等价分类.直接聚类法与传递闭包法的分类结果被证明是一致的。4/5/2023857.3.3模糊分类对模糊相似矩阵R中10个不同元素的降序排序为：1>0.70>0.63>0.62>0.56>0.55>0.54>0.53>0.38>0.37>0.24取=1,因有u11=u22=u33=u44=u55=1,得相似类为{u1},{u2},{u3},{u4},{u5}4/5/2023867.3.3模糊分类取=0.7,因有u24=u42=0.7,故得相似类为{u2,u4},{u1},{u2},{u3},{u4},{u5}合并所有相似类,即得等价类为{u2,u4},{u1},{u3},{u5}取=0.63,因有u14=u41=0.63,故得相似类为{u1,u4},{u2,u4},{u1},{u3},{u5}合并所有相似类,即得等价类为{u1,u2,u4},

{u3},{u5}取=0.62,因有u13=u31=0.62,故得相似类为{u1,u3},{u1,u2,u4},

{u3},{u5}合并所有相似类,即得等价类为{u1,u2,u3,u4},

{u5}4/5/2023877.3.3模糊分类取=0.56,因有u34=u43=0.56,故得相似类为{u3,u4},{u1,u2,u3,u4},

{u5}合并所有相似类,即得等价类为{u1,u2,u3,u4},

{u5}在0.56水平上的等价类与0.62水平上的等同.取=0.53,因有u25=u52=0.53,故得相似类为{u2,u5},{u1,u2,u3,u4},

{u5}合并所有相似类,即得等价类为{u1,u2,u3,u4,u5}4/5/2023887.3.3模糊分类3.最大树法(1)所有被分类对象作为最大树的顶点；(2)按rij(1rij0)降序排列的顺序,在不产生回路前提下,将顶点ui与顶点uj用一条线连接起来,并在线段上注明相关程度rij,直至将所有被分类对象顶点连接起来为止,从而构成最大树；(3)适当选取[0,1],删除树中线段值小于的连线,剩下互相连通的对象归为同一类,从而得到水平上的一种等价分类；(4)画出动态聚类图。4/5/2023897.3.3模糊分类例.利用最大树法对环境区域U={u1,u2,u3,u4,u5}进行分类.首先构造出模糊相似矩阵R4/5/2023907.3.3模糊分类R中落在区间(0,1)上不同元素的降序排序为：r24

r14

r13

r34

r23

r12r25

r45

r35

r150.70>0.63>0.62>0.56>0.55>0.54>0.53>0.38>0.37>0.24下面为构造最大树的过程u2u4u2u4u1u2u4u1u30.700.700.700.630.630.62u2u4u3u1u50.700.630.620.534/5/2023917.3.3模糊分类u2u4u3u1u5u2u4u3u1u50.70u2u4u3u1u50.700.63u2u4u3u1u50.700.630.62u2u4u3u1u50.700.630.620.53=1u2u4u3u1u50.700.630.620.53=0.70=0.63=0.62=0.534/5/2023927.3.3模糊分类取=1,即得等价类为{u1},{u2},{u3},{u4},{u5}取=0.70,即得等价类为{u2,u4},{u1},{u3},{u5}取=0.63,即得等价类为{u1,u2,u4},

{u3},{u5}取=0.62,即得等价类为{u1,u2,u3,u4},

{u5}取=0.53,即得等价类为{u1,u2,u3,u4,u5}4/5/2023937.3.3模糊分类其他的模糊聚类分析方法还有基于目标函数的模糊ISODATA聚类分析和基于摄动的模糊聚类分析。基于目标函数的模糊ISODATA聚类分析的基本思想是在给定分类数条件下，利用ISODATA算法寻找出对事物的最佳分类方案，也称迭代自组织数据分析技术或模糊C均值(FCM)聚类法。基于摄动的模糊聚类分析将求解等价矩阵与目标函数法相结合，在摄动有意义前提下给出了一种基于模糊相似矩阵的模糊聚类方法。4/5/2023947.4模糊逻辑推理简介7.4.1模糊命题模糊命题是清晰命题的推广，清晰命题的真假相当于普通集合中元素的特征函数，而模糊命题与二值逻辑中的命题不同，模糊命题的真假难以明确判断，其真值在[0,1]闭区间中取值，相当于隶属函数值。模糊命题的一般形式：

A：eisF(或e是F)其中e是模糊变量，F是某个模糊概念对应的模糊集合。4/5/2023957.4.1模糊命题例如:电动机转速偏高；汽车速度过快；电视机的亮度比较低都是模糊命题。这里“转速”、“速度”、“亮度”为模糊变量，“偏高”、“过快”、“比较低”均为模糊集合。上述命题的真假由该变量对应的模糊集合的隶属度表示，即

A=F(e)当F(e)=1时，命题A为全真；F(e)=0时，命题A为全假。4/5/2023967.4.2模糊逻辑模糊命题的真值是在[0,1]闭区间上的连续取值，因此称研究模糊命题的逻辑为连续性逻辑。由于模糊命题的真值表现为其模糊变量对应模糊集合的隶属函数值，模糊命题逻辑本质上是模糊逻辑。设x为模糊命题A的真值，y为模糊命题B的真值，则模糊逻辑有以下运算规则：1)逻辑交：xy=min(x,y)2)代数积：x·y=xy3)限界积：xy=max{0，x+y-1}三角范式

x，y=14)强积：xy=y，x=10，x<1,y<14/5/2023975)逻辑并：xy=max(x,y)

代数和：x+y=x+y-xy7)限界和：xy=1(x+y)三角协范式

x，y=08)强和：xy

=y，x=01，x>0,y>0

9)不相交和：xΔy=max{min(x,1-y),min(1-x,y)}10)逻辑非：x=1-x11)限界差：x-y=0(x-y)12)蕴涵：xy=1(1-x+y)13)等价：xy=(1-x+y)(1-y+x)7.4.2模糊逻辑4/5/2023987.4.2模糊逻辑例.设x=0.7,y=0.8xy=max(0.7,0.8)=0.8,xy=min(0.7,0.8)=0.7x·y=0.70.8=0.56,x+y=0.7+0.8-0.56=0.94xy=1(0.7+0.8)=1,xy=0(0.7+0.8-1)=0.5xy=0,xy=1x=1-0.7=0.3,x-y=0()=0xy=1(1-0.7+0.8)=1xy=(1-0.7+0.8)(1-0.8+0.7)=0.94/5/2023997.4.3模糊语言1.语言变量语言变量实际上是一种模糊变量，它用语句而不是用数学表达式来表达变量的值，通过引入语言变量构成模糊语言逻辑。定义语言变量是由一个五元体(N,T(N),U,M,G)来表征的变量，五元体中个元素的含义为：1)N是变量名称；2)T(N)是N的语言真值集合；3)U是N的论域；4)M是语义规则；5)G是词法规则.4/5/20231007.4.3模糊语言例如讨论年龄问题语言变量N的名称为年龄，其取值可以是幼年、少年、青年、中年、老年、极老年等；语言真值集合T(N)=T(年龄)=“幼年”+“少年”+“青年”+“中年”+“老年”+“极老年”,显然每个语言真值都是论域U上的模糊集合；有关年龄的论域U可以取[0,120]；语义规则表示为M(x)，它规定了论域U中元素对语言真值集合T(N)的隶属度词法规则G规定原子词以及原子项构成合成项的语义变化。如A且B=A

B4/5/20231017.4.3模糊语言年老0.70.80.91.0年龄年轻很年轻0152025306065758012010.90.810.80.7语言变量语法规则语言真值语义规则论域语言变量的五元体4/5/20231027.4.3模糊语言强化算子H4H3H2H1.5极其非常很相当淡化算子H0.8H0.6H0.4H0.2比较略稍许有点2.语言算子1)语气算子:表示语气程度的模糊量词，有集中化算子和散漫化算子两种语气算子。用H表示语气算子，若模糊集为A，则H将其映射为H

A:4/5/20231037.4.3模糊语言以“年老”一词为例，考虑“年老”的隶属函数：0≤x≤50x>50极老(x)=年老4(x)很老(x)=年老2(x)较老(x)=年老0.8(x)略老(x)=年老0.6(x)年老(60)=0.8极老(60)=年老4(60)=0.41很老(60)=年老2(60)=0.64较老(60)=年老0.8(60)=0.84略老(60)=年老0.6(60)=0.87尖锐化平坦化4/5/20231047.4.3模糊语言2)模糊化算子:把明确的单词转化为模糊量词，把绝对肯定的描述转化为一定程度上肯定的描述，或使原本就不确切的语义更加模糊化的算子称为模糊化算子，如“大约”、“大概”、“近似”、“可能”等。设映射F为模糊算子，将集合A映射为F(A).其中模糊关系E属于UU上的模糊关系集合，它惟一确定一个F变换，一般E为U上的相似关系，当U=R时，有|v-u|<|v-u|4/5/20231057.4.3模糊语言例．对100米跑道的实测只能得到大约的距离。对于普通集“100米”有1µ(u)100

1µ(u)

100-100100+

u

u

u=100u100|100-u|<|100-u|4/5/20231067.4.3模糊语言3)判定化算子:把一个模糊词转化为明确量词的算子称为判定化算子，如“属于”、“接近于”、“几乎”、“多半是”等。对模糊事物经取一定的判定值，判定为具有某种意义的普通事物。设有模糊矩阵R，确定判定标准为0.5，R中大于等于0.5的元素为有效，通过对模糊矩阵的截运算将其变为普通矩阵。4/5/20231077.4.3模糊语言3.模糊语句含有模糊概念的，按一定语法规则构成的语句称为模糊语句，根据语义和构成语法的不同分为模糊陈述句和模糊判断句。模糊判断句是模糊推理中的最基本的语句，其形式为：x是a当a所表示的概念是清晰的、界限明确时，判断结果取值要么为真(1)，要么为假(0)。当a所表示的概念模糊、界限不明确时，判断结果真值由x对模糊集合A的隶属度给出。T[(a),(x)]=A(x)4/5/20231087.4.3模糊语言设(a)表示x是a,(b)表示x是b,则有逻辑运算如下:(1)逻辑交:(a)(b)=(ab),表示(a)且(b).T[(ab),(x)]=T[(a),(x)]T[(b),(x)]=A

(x)B(x)(2)逻辑并:(a)(b)=(ab),表示(a)或(b).T[(ab),(x)]=T[(a),(x)]T[(b),(x)]=A

(x)B(x)(3)逻辑非:(a)c=(ac),表示(a)不成立.T[(ac),(x)]=1-T[(a),(x)]=1-A

(x)(4)逻辑蕴涵:(a)(b)=(ab),表示若(a)则(b).T[(ab),(x)]=[1-A

(x)][A

(x)B(x)]4/5/20231097.4.3模糊推理模糊推理是一类有效的不确定性推理方法，因为现实中人类往往依靠不精确、不完全或不完全可靠的信息进行推理。代表性的不确定性推理方法有信度理论(Belieftheory,G.Shafer,1976)和可能性理论(Possibilitytheory,L,A.Zadeh,1975),其中基于模糊系统的可能性理论在自动控制、人工智能、专家系统等领域得到非常成功的应用。4/5/20231107.4.3模糊推理1．模糊假言推理(ifAthenB)设事物ｘ属于论域Ｘ，事物ｙ属于论域Ｙ，Ａ、A*是论域Ｘ上的模糊集，B、B*是论域Y上的模糊集，模糊条件命题形式为“若····，则····”，则称下面的模糊推理为模糊假言推理。前提1:若x是A，则y是B前提2:若x是A*，结论y是B*其中模糊条件命题(前提1)是模糊子集A和B之间的一种模糊关系（模糊蕴涵关系），即

AB属于XY的模糊关系集合4/5/20231117.4.3模糊推理

A

B

A

B按照Zadeh的推理合成规则，已知AB和A，则B=A◦(AB)部分常用的蕴涵算子对应模糊关系Raab=

1(1-a+b)Ra

(x,y)=1(1-A(x)+B(y))Rbab=(1-a)bRb

(x,y)=(1-A(x)B(y)Rcab=abRc

(x,y)=A(x)B(y)Rmab=(1-a)(ab)Rm

(x,y)=(1-A(x))(A(x)B(y))4/5/20231127.4.3模糊推理例.设论域X={a1,a2,a3,a4},Y={b1,b2,b3,b4},X上的模糊集A与Y上的模糊集B满足蕴涵关系AB,且求:在输入A=(0