高考复习数列解答题大题训练测试题(含答案)

高考复习数列大题训练题一、解答题（共19题；共190分）1.（2018高三上·济南月考）已知等差数列中，，且前10项和．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．2.（2020·肥城模拟）记为公差不为零的等差数列的前项和，已知，.（1）求的通项公式；（2）求的最大值及对应的大小.3.（2018·绵阳模拟）已知正项数列的前项和满足：．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.4.已知数列的前项和满足，且是的等差中项，是等差数列，.（1）求数列的通项公式；（2），求数列的前项和.

5.（2020·新课标Ⅲ·理）设数列{an}满足a1=3，．（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．6.（2020·新课标Ⅰ·理）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．（1）求的公比；（2）若，求数列的前n项和．7.（2020·新高考Ⅱ）已知公比大于的等比数列满足．（1）求的通项公式；（2）求.8.（2020高二下·丽水期末）已知数列的前n项和，正项等比数列满足，且是与的等差中项．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和．9.（2020高一下·大庆期末）在等差数列中，为其前n项和，且（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和（3）设，求数列的前n项和10.（2020高一下·六安期末）记为等差数列的前n项和，已知．（1）若，求的通项公式；（2）若，求使得的n的取值范围．11.（2020高一下·太和期末）已知数列的前n项和为，且.（1）求出数列的通项公式；（2）记，求数列的前n项和.12.（2020高一下·湖州期末）设为数列的前n项和，满足，且，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）数列的前n项和为，求使得成立的n的最小值．13.（2020高一下·温州期末）已知数列满足：且，（1）证明：数列为等比数列；（2）记数列的前n项和，证明：14.（2020高一下·徐汇期末）已知数列满足，，.（1）证明：数列是等比数列；（2）若，求数列中的最小项.15.（2020高一下·上海期末）已知数列满足，.（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式.16.（2020高一下·上海期末）设数列的前n项和为.已知.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，求的前n项和.17.（2020高一下·上海期末）已知为的前n项和，是等比数列且各项均为正数，且，，.（1）求和的通项公式；（2）记，求数列的前n项和.18.（2020高一下·上海期末）在数列中，，，且；（1）设，证明是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）若是与的等差中项，求q的值，并证明：对任意的，是与的等差中项；19.（2020高一下·开鲁期末）设数列的前n项和，数列满足.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和.

答案解析部分一、解答题1.【答案】（1）解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d．由已知得解得所以数列{an}的通项公式为an＝1＋2(n－1)＝2n－1

（2）解：bn＝，所以【解析】【分析】(1)本题主要考查数列的通项公式，先设首项和公差，由题意可得，从而可得首项和公差，进而可得通项公式;(2)本题主要考查裂项相消的方法来求数列的和，由题意bn=，从而可得其前n项和.2.【答案】（1）解：设的公差为，且．由，得，由，得，于是,．所以的通项公式为．

（2）解：由（1）得因为，所以当或时,有最大值为20．【解析】【分析】（1）将已知条件转化为的形式列方程，由此解得，进而求得的通项公式.（2）根据等差数列前项和公式求得，利用配方法，结合二次函数的性质求得的最大值及对应的大小.3.【答案】（1）解：由已知，可得当时，，可解得，或，由是正项数列，故.当时，由已知可得，，两式相减得，.化简得，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故.∴数列的通项公式为.

（2）解：∵，代入化简得，显然是等差数列，∴其前项和.【解析】【分析】（1）先求a1,再消去sn得到an之间的递推。(2)化简可得bn是等差数列。4.【答案】（1）解：由题意知，当时，，又因为，且，则，所以，又成等差数列，则，所以，解得，所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列，故.设的公差为，则，解得，所以.

（2）解：由（1）得，所以，，两式相减得，整理得.【解析】【分析】(1)首先根据数列前n项和求得数列an，再依据等差数列定义求得bn.

(2)首先求得数列cn.再根据错位相减求得数列前n项和。5.【答案】（1）解：由题意可得，，由数列的前三项可猜想数列是以3为首项，2为公差的等差数列，即，证明如下：当时，成立；假设时，成立.那么时，也成立.则对任意的，都有成立

（2）解：由（1）可知，，①，②由①②得：，即.【解析】【分析】（1）利用递推公式得出，猜想得出的通项公式，利用数学归纳法证明即可；（2）由错位相减法求解即可.6.【答案】（1）解：设的公比为q，为的等差中项，，；

（2）解：设的前项和为，，，①，②①②得，，.【解析】【分析】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比q的方程，求解即可得出结论；（2）由（1）结合条件得出的通项，根据的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.7.【答案】（1）解：设等比数列的公比为q(q>1)，则，整理可得：，，数列的通项公式为：.

（2）解：由于：，故：.【解析】【分析】(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式；(2)首先求得数列的通项公式，然后结合等比数列前n项和公式求解其前n项和即可.8.【答案】（1）解：当时，，当时，，，，设数列的公比为q，由题意可得：，解得，或（舍去），，∴，；

（2）解：由（1）有，∴，，，两式相减有：，∴．【解析】【分析】（1）由可求出，设数列的公比为q，根据等比数列的通项公式和等差中项的定义列出方程，由此可求出答案；（2）由（1）有，然后根据错位相减法求和即可．9.【答案】（1）解：由已知条件得解得所以通项公式为：

（2）解：由（1）知，，∴数列的前项和

（3）解：由①②①-②得，【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式，求出首项和公差即可得到答案；（2）由的通项公式得到的通项公式，然后根据裂项相消法求前n项和；（3）由的通项公式得到的通项公式，然后根据错位相减法求前n项和；10.【答案】（1）解：设的公差为d．由得．由得．于是．因此的通项公式为

（2）解：由得，故.由知，故等价于，解得．所以的取值范围是【解析】【分析】（1）设的公差为d．由，，利用“”求解．（2）由（1）得，故，然后解不等式即可.11.【答案】（1）解：（n∈N*），可得n＝1时，S1+1＝2a1，即a1＝1，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，Sn+n＝2an，Sn﹣1+n﹣1＝2an﹣1，相减可得an+1＝2an﹣2an﹣1，可得an＝2an﹣1+1，即an+1＝2（an﹣1+1），则数列{an+1}为首项为2，公比为2的等比数列，可得an+1＝2n，即an＝2n﹣1

（2）解：前n项和为Tn＝①2Tn＝②两式相减可得﹣Tn＝2+2(22+…+2n)﹣=化简可得【解析】【分析】（1）运用数列的递推式：时，，当时，，结合等比数列的通项公式，可得所求；（2）求得，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．12.【答案】（1）解：由已知得时，，所以，，，故依题得，所以是以1位首项，3为公比的等比数列，所以

（2）解：由（1）知，，所以，所以由，即n的最小值为8【解析】【分析】（1）由和，可得，所以为等比数列，再由，，成等差数列，通过递推分别用表示，列方程可得首项为，进而写出通项公式.（2）写出，利用等比数列的前n项和公式求，对不等式进行化简可得，，即可求出n的最小值.13.【答案】（1）解：由，得，可知为等比数列，且首项为，公比为2

（2）解：由（1）得到，所以...即证明.因为.所以前1项单独验证，即当n=1时，有.综上所述，【解析】【分析】（1）将已知条件转化为，由此证得数列为等比数列.（2）由（1）求得的表达式，进而求得的表达式，利用放缩法，结合等比数列前n项和公式，证得不等式成立.14.【答案】（1）证明：，又，∴是首项为1，公比为的等比数列

（2）解：，则，①时，，则，②时，，则，∴，即【解析】【分析】（1）由得，进而可得，即可得出结果；（2）先写出的通项公式，，讨论n的情况，比较的大小即可得出结论.15.【答案】（1）证明：，，因此，数列是等比数列

（2）解：由于，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，因此，【解析】【分析】（1）利用数列的递推公式证明出为非零常数，即可证明出数列是等比数列；（2）确定等比数列的首项和公比，求出数列的通项公式，即可求出.16.【答案】解：（Ⅰ）因为，所以，，故当时，此时，即所以，（Ⅱ）因为，所以，当时，所以，当时，，所以，两式相减，得所以，经检验，时也适合，综上可得：【解析】【分析】（Ⅰ）利用数列前n项和与通项的关系求解；（Ⅱ）结合第（Ⅰ）问的结果，利用关系式求出数列的通项公式，并结合其通项的结构特征，采用错位相减法求其前n项和.17.【答案】（1）解：当时，，当时，，也适合上式，故；设等比数列的公比为，由题意可知：，因为，所以由或，因为，所以，因此，所以，

（2）解：由（1）可知：，，所以，因此，，得，，所以【解析】【分析】（1）利用公式，求出数列的通项公式；设出等比数列的公比，根据等比数列的通项公式结合已知求出公比，进而求出数列的通项公式；（2）结合（1）求出数列的通项公式，最后利用错位相减法，结合等比数列前项和公式进行求解即可.18.【答案】（1）证明：由题设（），得，即，．又，，所以是首项为1，公比为的等比数列．

（2）解：由（1），，……，（）．将以上各式相加，得（）．所以当时，上式对显然成立

（3）解：由（2），当时，显然不是与的等差中项，故．由可得，由得，①整理得，解得或（舍去）．于是．另一方面，，．由①可得，．所以对任意的，是与的等差中项【解析】【分析】（1）利用已知条件（），设，变形得出，，再利用，，结合等比数列的定义，从而证明出数列是等比数列。

（2）利用等比数列通项公式求出等比数列的通项公式，再利用累加法，进而求出数列的通项公式。