SARS传播规律的数学模型

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指导教师：张勇

参赛者：张鑫王永恒乔磊

SARS传播规律的数学模型

摘要

本文首先分析评价了附件1中SARS传播的数学模型，指出该模型可以对疫情走势进行预计,但同时也存在一定缺点，第一，混淆了累计病例数与累计确诊人数的概念；其次，对参数的确定缺乏根据；第三，预计时借助了其他地区的参数，偏差较大.

本文针对其缺点建立了一个比较完善的传播模型.该传播模型按政府开始控制的时刻分为控制前与控制后两个模型，两个模型均以潜伏期5天为周期，以一个周期为整体建立差分方程模型.再结合5月15日以前北京疫情的公开数据，协同不同的政府监控力度，对整个北京的SARS疫情状况进行了预计.预计政府的监控力度一直保持在5月10日－5月15日的水平上时，6月10日－6月15日北京将会无新增病例，最终累积病例数为2993.对卫生部门采取的措施进行了评价：若提前或延后5天采取严格的隔离措施最终累计病例数分别为1300多与5200左右.

进一步通过对人群的不同分类，建立了两个微分方程组，可分别预计出实际发病人数、不可控/可控带菌者人数与当天疑似病例数、累计确诊人数、不可控/可控带菌者人数及治愈、死亡人数，结合两者的信息就可以得到足够的信息量.但模型中的部分参数无法确定给模型求解带来困难.可以通过搜集更多的数据和资料加以解决.

本文同时就外国来京旅游人数受SARS的影响，建立了模型，估算出4、5、6、7四个月中北京地区入境旅游人数比往年同期减少了94.8万人，旅游经济损在4.74亿美元至9.48亿美元之间.并预计出在2023年10月上旬，旅游人数将恢复到正常水平.

最终给报纸写了一篇短文，说明白建立传染病数学模型的必要性与重要性.一、问题的提出

公元2023年春天，一种叫SARS的病毒从天而降，降到人类赖以生存的星球，降到中国人的头上.SARS毕竟是什么，它为什么会代给人类这么多的伤痛与如此难以“磨灭〞的印象？

SARS（SevereAcuteRespiratorySyndrome，严重急性呼吸道综合症,俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病.SARS的爆发和曼延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了大量重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预计和控制传染病曼延创造条件的重要性.现需对SARS的传播建立数学模型，具体要求如下：

（1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性.

（2）建立自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预计以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计.附件2提供的数据供参考.

（3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预计.附件3提供的数据供参考.

（4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性.二、对附件1模型的评价

该模型以某种社会环境下一个病人传染他人的平均概率K为参数，考虑了平均每个病人在被发现前后可以造成直接传染的期限L，建立了病例累积数N与时间t的函数关系.由于病毒的传播与好多因素有关，且多不易确定，所以给定量研究SARS的传播规律带来了困难.因此模型也不易完善，所以该模型在存在其合理性与实用性的同时也存在不合理性与不实用性.(一)合理性

1.该模型考虑了平均每个病人在被发现前后可以造成直接传染的期限L.

鉴于SARS传染性的强大威力，带病毒者在外自由的时间长短对疫情会有很大影响.据中国科学院遥感应用研究所提供的调查研究数据（[1]），SARS病人在1.5天后住院与在2天后住院后相比，SARS发病总人数可能会减少1500人，SARS疫情得到控制的时间可能会提前1个月；SARS病人在1.5天后住院与在2.5天后住院后相比，SARS发病总人数可能会减少2400人，SARS疫情得到控制的时间可能会提前1.5个月.由此可见对L的描述是很关键的.2.对前期描述的合理性

由于前期传染源未受控制，所以累积病例数是成指数上升的.该模型对这段时期的描述是合理的.

(二)实用性

该模型简单，机理明白，算法简单快捷，且对广东香港地区的拟和效果较好.(三)不合理性

1.将累积病例数与确诊病例数的概念混淆.该模型在进行参数的拟和时，一直采用的时公布的累积病例数，但它所描述的推得的结果是累积病例数，而累积病例数是包括了已知的病例数与未知的病例数的.

2.预计结果不确凿.通过计算，我们发现该模型的预计结果与真实偏差太大.该模

型的主要功能就是用于预计的，预计结果与真实偏差太大则使该模型的指导意义大打折扣

(1)对附件1的模型进行重建

在疫情到达高峰期后的10天，要逐步调整参数K的值.这里，我们并不知道本

模型是如何调整K值的.为了使再现的北京最终非典病例累计数达到3100左右，通过对北京计算日增病例图像地细心观测，发现这10天的调整大致分了四个阶段：第一阶段的3天K值调整后保持不变；其次阶段的三天同样如此；第三阶段的四天再调整一次K值，并保证这三次调整过程的结果不小于10天后的K值：0.0273!最终一次调整要使K值达到0.0273！通过大量的调试和人工干预，确定在北京疫情高峰期后的10天，四个阶段的K值依次为：0.081160.060870.038730.02730

这样经过137天时间，计算出北京最终非典累计病例为3101人.重现北京的疫情图如图：

北

京疫情的重现图

从图一可以看出，在有公布的实际数据时期，拟合效果很好地重现了原模型的结果，但后期的预计偏差很大.

在重现原模型的过程中，我们发现K和L，以及调整K值的天数T对预计结果影响很大；正由于如此，原模型在确定K，L，T值时，会进行大量的人工干预，通过不断调整，以达到在有公布数据时期较好的拟合效果；而后期又采用其它地区（如香港）的参数，必然使预计结果与后来的实际结果偏差很大.分析K，L，T的灵敏度，可以看到K，L，T的取值对预计结果影响很大.(2)灵敏度分析

将灵敏度分析结果罗列于表一：

表一K，L，T灵敏度检验

K0.13913*(1+5%)0.13913*(1-5%)19651290.0273*(1+5%)32051430.0273*(1-5%)3008132总累计病例4853终止天145数L15天25天T总累计7天5天2522总累计病1069例终止95天数4598病例2779205终止天134数131从表一的数据可以看到，K，L，T假使发生较小的变化，都会使预计结果发生显著改变.这说明该模型对K，L，T十分敏感，假使用该模型来分析传染病的传播，只能近似描述累积病例的变化趋势，而不能有效预计累积病例数量.3.参数分析的不合理性

(1)K值不易确定，但是经过灵敏度的分析，K值改变对结果影响很大

(2)K值的改变并非从高峰开始，而使从控制力度加大后，开始显现出效果的时期

开始.

(3)从高峰期逐步调整K值到比较小的稳定值之间经历的时间（10天）缺少具体依据.

(4)对“从高峰期逐步调整K值到比较小的稳定值〞这一过程方法表达模糊，个人根据自己的方法会得出K不同的取值.(5)参数L的确定缺乏依据(四)不实用性

1.该模型在预计北京地区的人数时要用到香港与广东地区的参数做近似代替.而实

际上由于当地政府监控力度、群众警觉程度的不痛，K值是有较大区别的，所以该模型不具有通用性.从后面的实际状况看，北京的监控力度是要大于港粤两地的.这便造成了该模型的预计值比实际值要大.

2.模型中的不确定参数多，更重要的是大量参数的值的灵敏度很高，结果受参数的

影响很大.这样模型的稳定性便不强，会造成预计结果的不够确凿.三、SARS的预计和控制模型(一)模型的目标

根据前文分析，可以发现附件1模型（以下简称“附模〞）其实是不完善的，因此有必要建立起有一个真正能够起到预计、控制传染病曼延作用的数学模型.

针对附模须改善之处有：

1.必需区别累计确诊病例，处于潜伏期人数与累计患病人数.

累计患病人数由累计确诊人数，现有疑似病例中的带菌人数相加组成，潜伏期人数不计入内

2.要确凿划分传染的几个阶段

传染病传播可以分为3个阶段：控制前：疾病自由传播，政府不进行控制

过渡期：公众意识到疾病的严重性后，政府采取控制措施之前控制后：在政府介入控制后

除了广州、香港之外，其他城市都是在SARS大肆传播之前，政府就已经采取了强有力的控制措施，可以分为控制前与控制后两个阶段.阶段的划分以政府采取措施的时间为准.

3.模型要在不借助其他地区的资料的状况下可以预计本地区状况.必需能够由前期的公开数据求得模型中所需求得的各参数.4.能够衡量政府采取的各项措施的效果.

在模型中必需有表示政府控制力度的变量.并且能够量化.5.模型中的参数必需易于求解，尽量不借助人为调控.

建立的模型中各参数由公开数据直接得到，变量不经人为调整.(二)模型的分析

要建立能够预计传染病传播的数学模型，必需对这种传染病的传播规律有足够的认识.SARS（SeverAcuteRespiratorySyndrome）是一种主要通过飞沫、与患者接触而传染的疾病，且无特效药可医治.SARS的潜伏期为2—11天，一般为4—5天，潜伏者几乎没有传染力.消毒可以有效的杀死SARS病毒.没有发现对SARS免疫的人群