数列求和7种方法(方法全,例子多)

数列求和的基本方法和技巧(配以相应的练习)利用等差、等比数列求和公式求和和法求和分段求和法(合并法求和)列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础.在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位.数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.n212n2n6n2log32log322解：由logx=1logx=log2x=123log33322由等比数列求和公式得n(利用常用公式)1x12nn列求和公式得S=n(n+1)，S=(n+1)(n+2)n2n2(利用常用公式)111n+34+64(n8)2+5050nn当n当n，即n＝8时，f(n)=max50题1.等比数列的前n项和Sn＝2n－1，则＝.4答案：二、错位相减法求和项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.nn解：由题可知，{(2n1)xn1}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{xn1}的通项之积设xS=1x+3x2+5x3+7x4+...+(2n1)xn……….②(设制错位)n①－②得(1x)S=1+2x+2x2+2x3+2x4+...+2xn1(2n1)xn(错位相减)n………………②2n+1∴S=(2n1)xn+1(2n+1)xn+(1+x)nn2462n222232n2n1解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积2n2n62n设S=+++...+…………………①n222232n2n222324+++...+23242n2n+12n222n2n+1n2n1 练习题1已知，求数列{an}的前n项和Sn.答案：练习题2的前n项和为____答案：三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原1n1nnnnnSCCCnCnnnnnn把①式右边倒转过来得SnCn(2n1)Cn1+...+3C1+C0nnnnn(反序)nnnnnnn①+②得∴nnnnnn 将①式右边反序得①+②得 题1已知函数 (1)证明：； (2)求的值.解：(1)先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边 (2)利用第(1)小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以.练习、求值：分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.11将其每一项拆开再重新组合得11naa2an1n22 nn(n+1)nn(n+1)2nn(n+1)2nn.2n1(n+1)2nn(n+1)2n当a1时，S=1an+(3n1)n＝aa1n+(3n1)nn2a12annnn项和.knkk=1将其每一项拆开再重新组合得kkk(分组) 五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解(裂项)如：(1)a=f(n+1)f(n)n111nn(n+1)nn+1 (nn(n+1)nn+1 (4)a=(2 (5)a= (5)a==[]nn(n1)(n+2)2n(n+1)(n+1)(n+2)(7)a=1=1(11)1(8)a=n=n(8)a=nn则S=11则S=nnnn1=n+1=n+1nnn11++...+1(裂项) 12n，又b=nnnnn+1n+1n+12nnn+1nn+1221111n22334nn+111解：设S=1111(裂项) (裂项) (裂项求和)＝1 练习题1. 练习题2。=答案：六、分段求和法(合并法求和)针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这Saaaa20021232002由a=1,a=3,a=2,a=aa可得123n+2n+1na=1,a=3,a=2,456a=1,a=3,a=2,a=1,a=3,a=2,89101112a=1,a=3,a=2,a=1,a=3,a=26k+16k+26k+36k+46k+56k+6∵a+a+a+a+a+a=06k+16k+26k+36k+46k+56k+6(找特殊性质项)a20021232002 123678126k+16k+26k+620002001200212002a6k+16k+26k+36k+4[例14]在各项均为正数的等比数列中，若aa=9,求loga+loga+...+loga的值.563132310解：设S=loga+loga+...+logan3132310数列的性质m+n=p+qaa=aa(找特殊性质项)mnpqS=(loga+loga)+(loga+loga)+...+(loga+loga)n3131032393536(合并求和)9356333练习、求和：，则答案：2.A.1B.-1C.0AA.5000B.5050C.10100D.20200解：并项求和，每两项合并，原式=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5050.答案：B七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来n项和，是一个重要的方法.99kk个19999(找通项及特征)(分组求和)99n＝10(10n1)＝.n解：∵(n+1)(aa)=8(n+1)[]nn+1(n+1)(n+3)(n+2)(n+4)(找通项及特征)＝4.(n+2n+4)+8(n+3n+4) (裂项)∴(n+1)(aa