2022-2023学年吉林省辽源市田家炳校高二年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年吉林省辽源市田家炳校高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知向量，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据向量的数乘以及减法运算，即可求得答案.【详解】,故选:D．2．已知两条直线，垂直，则a等于（

）A．1 B． C．0 D．0或【答案】B【分析】由两直线垂直的判断条件求解即可【详解】因为直线与垂直，所以，解得，故选：B．3．抛物线的焦点到准线的距离为（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】B【分析】利用焦点到准线的距离为，即可求解【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为，所以由抛物线可得，故选：B4．已知圆的方程为，过点的该圆的所有弦中，最短弦的长为（

）A．1 B．2 C． D．4【答案】C【分析】根据圆的几何特征，过圆内一点最短的弦是过此点且与该直径垂直的弦，然后用垂径定理即可求解【详解】设圆的圆心为，为点，由圆的方程为可得，故圆心，半径为2，所以，根据圆的几何特征，最短弦所在直线与垂直，所以最短的弦长为，故选：C5．等差数列中，，求（

）A．45 B．15 C．18 D．36【答案】D【分析】利用等差数列的性质求出，再利用等差数列的性质可得结果【详解】因为是等差数列，所以，解得，所以，故选：D6．如图，在正方体中，点E是上底面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，利用向量夹角求解.【详解】以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系如图所示，设正方体棱长为2，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：B7．已知数列满足，其中，则（

）A．2 B．4 C．9 D．15【答案】D【分析】利用构造法证明数列为等比数列，即可求解.【详解】因为，所以，即，所以数列是公比为2的等比数列，所以，所以，则，故选:D.8．设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且，则的面积等于（

）A．24 B．15 C．12 D．30【答案】A【分析】利用双曲线定义求出的三边长度，根据余弦定理求出三角形的夹角，最后通过三角形正弦定理面积公式求出面积.【详解】，根据双曲线定义：，，，，根据余弦定理：，则，.故选：A二、多选题9．已知等差数列的前n项和为，，则（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】利用等差数列的性质和前项和公式即可求解.【详解】因为为等差数列，所以，故A正确，若数列的公差为0，则，则，B错误；因为，若数列的公差为0，则，但若数列的公差不为0，则，C错误；因为，D正确，故选:AD.10．下列四个命题中真命题有（

）A．直线在轴上的截距为B．经过定点的直线都可以用方程表示C．直线必过定点D．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是【答案】CD【分析】利用截距的定义可判断A选项；取垂直于轴的直线的方程可判断B选项；求出直线所过定点的坐标可判断C选项；利用两直线平行求出的值，再利用平行线间的距离公式可判断D选项.【详解】对于A选项，直线在轴上的截距为，A错；对于B选项，经过定点且垂直于轴的直线的方程为，B错；对于C选项，对于直线方程，由可得，所以，直线必过定点，C对；对于D选项，若直线与直线平行，则，解得，故两直线方程分别为、，这两平行直线间的距离为，D对.故选：CD.三、单选题11．在棱长为3的正方体中，点在棱上运动（不与顶点重合），则点到平面的距离可以是（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】BC【分析】利用坐标法，设，可得平面的法向量，进而即得.【详解】以D为原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，设，所以，，设为平面的法向量，则有：，令，可得，则点到平面的距离为，因为，所以，所以.故选：BC四、多选题12．已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，P为C上一点，则（

）A．双曲线C的实轴长为2 B．双曲线C的一条渐近线方程为C． D．双曲线C的焦距为4【答案】ABD【分析】根据双曲线的定义与方程，结合双曲线的性质对每个选项进行判断即可【详解】由双曲线方程知：，离心率为，解得，故双曲线，对于A，实半轴长为1，实轴长为，A正确；对于B，由双曲线方程可得渐近线方程为，故一条渐近线方程为，B正确；对于C，由于可能在的不同分支上，则根据定义有，C错误；对于D，焦距为正确.故选：ABD.五、填空题13．设直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，．若直线l//平面，则实数z的值为__________．【答案】-4【分析】根据直线l//平面，则直线l的方向向量与平面的一个法向量垂直，即两向量点乘为0.【详解】若直线l//平面，则直线l的方向向量与平面的一个法向量垂直，由此可得，解得.故答案为：14．设两圆与圆的公共弦所在的直线方程为_______【答案】【分析】利用两圆的方程相减即可求解.【详解】因为圆，圆，由得，，所以两圆的公共弦所在的直线方程为.故答案为：.15．经过椭圆的左焦点，作不垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长为______．【答案】8【分析】利用椭圆的定义，即可求解周长.【详解】由椭圆，可得a＝2．由椭圆的定义可得．所以的周长．故答案为：816．已知函数，数列满足条件，且，则______．【答案】##【分析】根据递推公式一一计算可得.【详解】解：依题意，又，所以，；故答案为：六、解答题17．已知向量，.(1)求的值；(2)求向量与夹角的余弦值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据向量的坐标运算及向量模的坐标表示求解；（2）根据向量夹角的坐标表示计算即可得解.【详解】（1）∵，，∴，，∴；（2）设与的夹角为，则，，，，，∴，∴向量与夹角的余弦值为.18．已知等差数列中，(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和，并求的最小值【答案】(1)(2)，【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意列出关于的等式，联立可得，即可求解；（2）利用等差的求和公式得到，然后判断的正负，即可求得的最小值【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，所以，解得，所以；（2），数列首项为负的，公差大于零，是递增数列，令即，解得，因为，所以，令即，解得，令即，解得，所以第1项是负数，第2项是0，从第3项起变成正数，所以当或2时，取得最小值，19．圆C的圆心为，且过点．(1)求圆C的标准方程；(2)直线与圆C交M，N两点，且，求k．【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用题意可得到圆的半径为，即可求解；（2）利用几何法先求出圆心到直线的距离为，然后利用点到直线的距离即可求解【详解】（1）因为圆的圆心为，且过点，所以半径，所以圆的标准方程为（2）设圆心到直线的距离为，因为，所以，解得，所以，由圆心到直线距离公式可得，解得或．20．如图，在三棱柱中，平面为线段上的一点.(1)求证：；(2)若为线段上的中点，求直线与平面所成角大小.【答案】(1)证明见解析，(2)【分析】（1）由题意可得两两垂直，所以以为原点，分别以所在的直线为建立空间直角坐标系，利用空间向量证明即可，（2）先求出平面的法向量，然后利用空间向量的夹角公式求解即可.【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以，因为，所以两两垂直，所以以为原点，分别以所在的直线为建立空间直角坐标系，如图所示，则,设，所以，所以，所以，所以（2）因为为线段上的中点，所以，所以，,设平面的法向量为，则，令，则，设直线与平面所成角为，则，因为，所以，所以直线与平面所成角的大小为.21．已知数列的前n项和为，且，.(1)证明：为等比数列，并求的通项公式；(2)求数列的前n项和.【答案】(1)证明见解析，（）(2)【分析】（1）由题意，根据公式，可得数列递推公式（），结合等比数列的通项公式，可得答案；（2）由题意，根据错位相减法，可得答案.【详解】（1）因为，所以（），故，即（）又，故，即，因此（）故是以2为首项，3为公比的等比数列.因此（）（2）因为①故②①②，得，即.22．已知椭圆的左，右焦点分别为且经过点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若斜率为1的直线与椭圆C交于A，B两点，