2022-2023学年吉林省长春市高一年级下册学期期初考试数学试题【含答案】

2022-2023学年吉林省长春市高一下学期期初考试数学试题一、单选题1．已知集合，，则A． B． C． D．【答案】D【详解】分析：利用指数函数的性质化简集合，利用一元二次不等式的解法化简集合，逐一验证选项即可.详解：，，，故选D.点睛：本题主要考查了解一元二次不等式，求集合的补集与交集，属于容易题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.2．下列命题中的假命题是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根据全称命题和特称命题的含义，结合三角函数、指数函数、对数函数的知识依次判断各个选项即可.【详解】对于A，，，，A正确；对于B，当时，，B正确；对于C，当时，，C错误；对于D，值域为，，，D正确.故选：C.3．设，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用幂函数和指数函数的性质比较大小即可.【详解】因为在上单调递增，且，所以，即，因为在上单调递减，且，所以，即，所以，故选：A.4．函数的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出的定义域为，然后把区间端点代入，根据函数零点存在定理进行判断．【详解】的定义域为，，，，，因为，由函数零点存在定理得：零点所在的区间为．故选：B．5．下列化简正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】逆用差角正弦公式求值可判断A；倍角正弦公式化简求值可判断B；和角正切公式化简求值可判断C；同角三角函数的平方关系可判断D.【详解】对于A，，故A不正确；对于B，，故B不正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D不正确；故选：C.6．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由分段函数的单调性列不等式组求解.【详解】由题意可列，解得所以实数的取值范围是.故选：B7．将函数，的图象上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，则（

）A．图象的一条对称轴为 B．图象的一个对称中心为C．的最小正周期 D．在区间上为增函数【答案】D【分析】根据图象变换得到，然后求对称轴、对称中心、最小正周期和单调区间即可.【详解】将函数的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到，再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，即，所以函数的最小正周期为，故C项错误；由，，得的图象的对称轴为，，当时，得，故A项错误；由，，得，，即图象的对称中心为，，当时，得，故B项错误；由，，得，，当时，得，即为的增区间，故D正确.故选：D．8．定义在R上的偶函数满足，且当]时，，若关于x的方程至少有8个实数解，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据条件可得出函数是以4为周期的周期函数，作出，的图象，根据函数为偶函数，原问题可转化为当时两函数图象至少有4个交点，根据数形结合求解即可.【详解】因为，且为偶函数所以，即，所以函数是以4为周期的周期函数，作出，在同一坐标系的图象，如图，因为方程至少有8个实数解，所以，图象至少有8个交点，根据，的图象都为偶函数可知，图象在y轴右侧至少有4个交点，由图可知，当时，只需，即，当时，只需，即，当时，由图可知显然成立，综上可知，.故选：B【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．二、多选题9．下列说法正确的是（

）A．若函数的定义域为，则函数的定义域为B．函数的单调递增区间是C．函数的单调递减区间是D．幂函数在上为减函数，则的值为1【答案】AD【分析】计算抽象函数定义域得到A错误；根据对数型复合函数单调性法则，先求定义域，再判断单调性判断B；计算单调区间得到C错误；根据幂函数的定义结合单调性计算得到D正确，得到答案.【详解】解：对选项A：函数的定义域为，则函数的定义域为满足，解得，故定义域为，正确；对选项B：的定义域为，故根据复合函数单调性得函数的单调递增区间是，错误；对选项C：函数的单调递减区间是和，错误；对选项D：幂函数，则，解得或，当时，在上为增函数，排除；当，，满足条件，故，正确.故选：AD10．下列函数中，最小值为4的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用基本不等式求函数最值的条件逐项检验即可．【详解】对于A，当时，，当且仅当时，即时取得等号，而，所以函数，不满足题意，故A不正确；对于B，当时，，当为仅当，即时取等，故B正确；对于C，时，，所以，不满足题意，故C不正确；对于D，由，所以，当且仅当时，即，即取得等号，所以的最小值为4，满足题意，故D正确.故选：BD.11．如图，一圆形摩天轮的直径为100米，圆心到水平地面的距离为60米，最上端的点记为.现在摩天轮开始逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，则下列说法正确的是（

）A．点距离水平地面的高度与时间（分钟）的函数为B．点距离水平地面的高度与时间的函数的对称中心坐标为C．经过10分钟点距离地面35米D．摩天轮从开始转动一圈，点距离水平地面的高度不超过85米的时间为20分钟【答案】ACD【分析】根据题意，由条件求得，然后根据正弦型函数的性质，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】由题意可知，在分钟转过的角度为，所以以为终边的角为，所以点距离水平地面的高度与时间的关系为，故A正确；由，得，所以不是对称中心，故B错误；经过10分钟，，故C正确；由，解得，得，解得，共20分钟，故D正确.故选:ACD12．设函数，集合，则下列命题正确的是（

）A．当时，B．当时C．若集合M有三个元素，则k的取值范围为D．若（其中），则【答案】ABD【分析】解一元二次方程直接求解集即可判断A，由题设易知集合中方程无解即可判断B，画出的图象，令根据二次函数的性质及所得的图象判断CD正误即可.【详解】A：时，或，结合解析式：时有或，时有，所以，正确；B：时，由，知方程无解，则，正确；由解析式可得其函数图象如下图示：令，开口向上且对称轴为，若，则，即，有以下情况：1、，：此时，令，则在上有一个零点，∴，可得，2、，，由A知：.综上：，故C错误；若，由函数的性质及图象知：必有，.此时，，，所以，，所以，故D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：C、D选项中，画出大致图象，结合二次函数的性质判断给定集合对应的的可能取值，再结合图象判断正误.三、填空题13．已知，，是的必要不充分条件，则实数的取值范围为___________.【答案】【分析】由充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】因为，，因为是的必要不充分条件，所以.所以实数的取值范围为.故答案为：.14．如图是杭州2022年第19届亚运会会徽.名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形.设弧的长度是，弧的长度是.几何图形面积为，扇形面积为，若，则___________.【答案】8【分析】设，根据，得到，再利用扇形面积公式求解.【详解】解：如图所示：设，则，因为，所以，则，由扇形面积公式得，所以，则，故答案为：815．已知函数，则不等式在上的解集为______.【答案】【分析】根据函数的奇偶性和单调性，列出不等式，解之即可.【详解】因为的定义域为，定义域关于原点对称，又，所以函数为偶函数，当时，函数在上单调递增，且，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又因为不等式，也即，所以，则，因为，所以，故答案为：.16．已知函数，是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且.若对于任意，都有，则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】由函数的奇偶性可得，从而可求得函数的解析式，再根据，可得，令，则函数在上递增，再根据函数的单调性分和结合二次函数的单调性即可得出答案.【详解】解：因为是奇函数，是偶函数，所以，又，则，两式相加可得，若对于任意，都有，可变形为，令，则函数在上递增，当时，在上递增，符合题意，当时，则函数为二次函数，对称轴为，因为函数在上递增，所以或，解得或，综上所述，.故答案为：.四、解答题17．（1）计算求值：；（2）解不等式：.【答案】(1)7；(2).【分析】(1)根据指数幂运算和对数运算，即可求得答案；(2)因为是减函数，结合对数函数定义域，即可求得答案.【详解】(1)(2)又是减函数则，即，解得：,故原不等式的解集为.18．已知，.(1)求的值；(2)若，且，求的值.【答案】(1)；(2).【分析】(1)先利用两角差的正切公式求得角的正切值，把所给的函数式进行恒等变形，根据二倍角公式和同角三角函数的基本关系，进行弦化切，代入即得结果；(2)由，结合所给的角的范围，利用两角和与差的三角函数公式和同角三角函数的基本关系，求得，再利用和角的正切公式求解即可.【详解】（1）∵，∴，解得.∴；（2）∵，且，∴，∴，∴，又，∴，∴.∴，又∵，∴.19．已知函数.(1)求函数在区间的值域；(2)已知函数，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】(1)首先化简,再根据范围求出范围，即可得到其值域；(2)利用诱导公式和二倍角余弦公式结合分离参数得，再结合范围，即可求出右边最小值，即得到答案.【详解】（1），当时，，所以，故函数在区间的值域为.（2）因为则所以设若不等式在上恒成立，只需.当时，则，所以当，即时，所以.实数的取值范围为.20．已知函数(1)判断函数的单调性与奇偶性，并证明结论；(2)当时，解关于的不等式【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析【分析】（1）根据函数奇偶性与单调性的定义判断即可；（2）利用奇偶性定义可知为奇函数；利用诱导公式可化简所求不等式右侧部分为，结合奇偶性得到；根据单调性可得自变量大小关系，通过对于范围的讨论，解一元二次不等式求得结果.【详解】（1）解：定义域为，，为定义在上的奇函数，即；设，且，则；，，，在上为减函数.综上，函数在上为减函数，且为奇函数.（2）解：由（1）知为定义在上的奇函数，即；∴，原不等式可化为，即；由（1）知：在上为减函数，，即；①当时，由得：；②当时，由得：；③当时，由得：；综上所述：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为.21．某医院购入一种新型空气消毒剂，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的该消毒剂，空气中释放的浓度（单位：毫克/立方米）随时间（单位：小时）的变化关系为：当时，；当时，.若多次喷洒（或一次喷洒多个单位），则某一时刻空气中该消毒剂的浓度为每次投放的消毒剂（或每个单位的消毒剂）在该时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中该消毒剂浓度不低于4（毫克/立方米）时，才能起到有效杀毒的作用.(1)若一次喷洒2个单位的该消毒剂，则有效杀毒时间可达多久?(2)若第一次喷洒2个单位的该消毒剂，6小时后第二次喷洒个单位的该消毒剂，要使第二次喷洒后的4小时内能够持续有效杀毒，试求的最小值.（最后结果精确到0.1，参考数据：）【答案】(1)小时(2)1.6【分析】（1）根据喷洒2个单位的净化剂后浓度为，由求解；（2）分别求出第一次喷洒2个单位消毒剂和第二次喷洒个单位该消毒剂，接下来4个小时的浓度，则接下来4个小时内空气中该消毒剂的总浓度为，化简利用基本不等式求解.【详解】（1）一次喷洒2个单位的该消毒剂，其浓度为，当时，，即；当时，，即，则当时，能起到有效杀毒的作用，故若一次喷洒2个单位的该消毒剂，有效杀毒时间可达小时；（2）由题知，第一次喷洒的2个单位消毒剂，经6小时后，其浓度为4毫克/立方米，且接下来4个小时的浓度为，第二次喷洒个单位该消毒剂，接下来4个小时的浓度为，故接下来4个小时内空气中该消毒剂的总浓度为，令，则，因为，所以当时，接下来4个小时内空气中该消毒剂的总浓度最小，为，要符合题意，则，即，解得，又，则，故的最小值为.22．已知函数(常数)．(1)当时，函数的最小值为−1，求a的值；(2)当时，设，若对任意，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)－1；(2).【分析】(1)依题意，令，原函数转化为，其对称轴方程