北京市昌平区前锋学校2022-2023学年高二上学期期中考试 数学试题（解析版）

2022—2023年前锋学校高二上期中试卷一、选择题（每题4分）1.设直线的倾斜角为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由直线方程可得直线的斜率，再由斜率和倾斜角的关系可得所求．【详解】∵直线的斜率为，由斜率和倾斜角的关系可得，又∵，∴，故选：A.2.圆的圆心为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由圆的标准方程求解.【详解】圆的圆心为，故选：D3.已知，，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算可求解.【详解】因为,所以,即,解得,故选:A.4.若向量，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.【详解】由已知可得，故．故选：C.5.点到直线的距离是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】点到直线的距离公式求解【详解】点到直线的距离为：故选：B.6.已知直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面的位置关系是（）A. B. C. D.以上选项都不对【答案】D【解析】【分析】计算得到，得到，即直线与平面的位置关系是或，得到答案.【详解】，，则，故，故直线与平面的位置关系是或.故选：D.7.直线与圆的位置关系是（）A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断【答案】B【解析】【分析】直接由直线与圆的位置关系的解法得出答案.【详解】圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离，则直线与圆相切，故选：B.8.如图，在三棱柱中，为的中点，若，，，则下列向量与相等的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据空间向量的运算，用为基底表示出，可得选项.【详解】故选：D9.过直线：与：的交点，并与垂直的直线的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，求得交点，再根据所求直线与垂直，得到斜率，写出直线方程.【详解】由，解得，所以交点为，又所求直线与垂直，所以，所以所求直线方程为：，即，故选：B【点睛】本题主要考查直线的交点与两直线位置关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.10.设，则“直线与直线平行”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合两直线的位置关系分析判断.【详解】当直线与直线平行时，，得或，所以“直线与直线平行”是“”的必要不充分条件，故选：B11.已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由表示圆可得，点A（1，2）在圆C外可得，求解即可【详解】由题意，表示圆故，即或点A（1，2）在圆C：外故，即故实数m的取值范围为或即故选：A12.已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切，则圆的方程为A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】设圆心坐标为，根据圆与直线相切可求出，进而得到圆心和半径，于是可得圆的方程．【详解】由题意设圆心坐标为，∵圆与直线相切，∴，解得a=2．∴圆心为，半径为，∴圆C的方程为（x﹣2）2+y2=4，即．故选D．【点睛】求圆的方程时要把握两点：一是求出圆心的坐标；二是求出圆的半径，然后再根据要求写出圆的方程即可，求圆心坐标时注意圆的几何性质的应用，这样可以简化运算，提高解题的速度．13.在棱长为1的正方体中，点为棱的中点，则点到平面的距离为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由，利用等体积法求解.【详解】设点到平面的距离为h，因为，即，所以，故选：B14.已知圆和两点，，．若圆上存在点，使得，则的最小值为（）A.7 B.6 C.5 D.4【答案】D【解析】【分析】由，知动点的轨迹是以为直径的圆，又点在圆上，故点是圆与圆的交点，因此可得两圆的位置关系是相切或相交.由两圆的位置关系可以得到代数关系，从而求出的取值范围，进而找到的最小值.【详解】解：，点的轨迹是以为直径的圆，又点在圆上，故点是圆与圆的交点，因此可得两圆的位置关系是相切或相交，即，解得：．的最小值为4．故选：D．【点睛】关键点点睛：此题考查圆与圆位置关系的应用，解题的关键通过化归与转化思想，确定点的轨迹是以为直径的圆与圆有交点，从而可求出，考查了学生化归与转化思想，数形结合的解题思想及运算求解能力，属于中档题.15.设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值（）A. B. C.3 D.6【答案】D【解析】【分析】根据动直线方程求出定点的坐标，并判断两动直线互相垂直，进而可得，最后由基本不等式即可求解.【详解】解：由题意，动直线过定点，直线可化为，令，可得，又，所以两动直线互相垂直，且交点为，所以，因为，所以，当且仅当时取等号.故选：D.二、填空题（每题5分）16.①已知，，则___________②空间向量，，若，则___________【答案】①.②.【解析】【分析】①求出向量的坐标，利用空间向量的模长公式可求得的值；②利用空间向量共线坐标表示可求得的值，再利用空间向量的模长公式可求得的值.【详解】解：①由已知可得，因此，；②因为，则，解得，则，因此，.故答案为：①；②.17.①若三点共线，则的值为___________②直线，若，则与之间的距离为___________【答案】①.②.【解析】【分析】①利用经过两点的直线的斜率公式及三点共线的斜率相等即可求解.②利用两条直线平行的条件及两条平行直线间的距离公式即可求解；【详解】①，因为，所以，因为三点共线，所以，即，解得，所以的值为.②由于直线，且，所以，且，解得，且，所以，转化为，所以与之间距离为.故答案为：；.18.①坐标系中，经过三点的圆的方程为___________②过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程为___________【答案】①.②.【解析】【分析】①设所求圆的一般方程为，将三个点的坐标代入圆的一般方程，可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，可得出圆的方程，进而可求得圆心坐标和半径.②首先设圆的标准方程为，根据题意得到，再解方程即可.【详解】①设所求圆的一般方程为，由题意可得，解得，所以，所求圆的方程为②设圆的标准方程为，由题知：，所以标准方程为.故答案为:，19.①两条垂直直线与的交点到原点的距离为___________②过点（1，0）且与直线平行的直线方程是___________【答案】①.；②..【解析】【分析】①由两直线垂直列方程求出，然后两直线方程联立求出交点坐标，再利用两点间的距离公式可求得结果；②根据题意设所求直线为，然后将点（1，0）代入求出的值，从而可求出直线方程.【详解】①因为直线与垂直，所以，解得，所以直线为，即，由，得，所以两直线交于点，所以交点到原点的距离为；②根据题意设所求直线为，因为直线过点（1，0），所以，得，所以所求直线方程为，故答案为：；.20.①圆心为（1，5）.且与x轴相切的圆的方程为___________②已知圆与圆）外切，则a=___________【答案】①.②.【解析】【分析】①根据题意可知：圆的半径为，进而写出圆的方程即可；②根据两圆外切，圆心距等于两圆半径之和即可求出结果.【详解】①因为圆心为（1，5），且与x轴相切，所以圆的半径为，故所求圆的方程为.②因为圆与圆）外切，所以，解得：.故答案为：①；②.21.①直线和圆交于两点，若，则的值为___________②圆，直线，当变化时，截得圆C弦长的最小值为2，则=___________【答案】①.5②.【解析】【分析】①求出圆心到直线的距离，由计算即可，②先出圆心到直线的距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值求出的值【详解】①由圆的圆心到直线得距离：，又所以=25，故答案为：5.②由圆的圆心到直线的距离为，则弦长为：若要弦长最小，则所以故答案为：三、解答题22.直线经过点，且满足下列条件，求相应l的方程（1）过点；（2）与直线垂直.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求斜率，在利用点斜式写出直线的方程；（2）先设与已知直线垂直的直线方程，把点代入求出参数即可得.【小问1详解】因为直线经过，两点，所以，所以所求方程为即【小问2详解】设与直线垂直得直线方程为：又经过，所以所以所求方程为23已知向量，，.（Ⅰ）当时，若向量与垂直，求实数和的值；（Ⅱ）若向量与向量，共面，求实数的值.【答案】（Ⅰ）实数和的值分别为和.（Ⅱ）【解析】【分析】(Ⅰ)根据可求得,再根据垂直的数量积为0求解即可.(Ⅱ)根据共面有,再求解对应的系数相等关系求解即可.【详解】解：(Ⅰ)因为,所以.且.因为向量与垂直,所以即.所以实数和的值分别为和.(Ⅱ)因为向量与向量，共面,所以设（）.因为,所以所以实数的值为.【点睛】本题主要考查了空间向量的基本求解方法,包括模长的运算以及垂直的数量积表达与共面向量的关系等.属于基础题.24.在正四棱柱ABCD—中，P为B1C1的中点.（1）求异面直线AC与BP所成的角（2）求直线AC与平面ABP所成的角（3）求二面角的余弦值（4）求点B到平面APC的距离.【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】【分析】建系设点，利用空间直角坐标，结合求空间角和距离公式求解.（1）异面直线与所成的角,利用公式求得；（2）平面的法向量,则与平面所成的角为，由公式求得；（3）分别得到平面与平面的法向量，由公式即可求得结果.（4）平面的法向量，则B到平面的距离求得.【小问1详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系.，，，.，，，∴∴异面直线与所成的角为.【小问2详解】设平面的法向量，则，化为，令，解得，.∴.设直线与平面所成角为θ，则，∴直线与与平面所成的角为.【小问3详解】由（2）中可知平面的一个法向量，且由图可知平面的一个法向量设二面角为，则由图可知法向量所成角即为二面角，即二面角的余弦值为【小问4详解】设平面的法向量，则，∴，令，解得，.∴.∴点B到平面的距离.25.已知点，，线段AB是圆M的直径．（1）求圆M的方程；（2）过点且与x轴不垂直的直线l与圆M相交于D，E两点，且，求直线l的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据点，，线段AB是圆M的直径，写出圆心和半径求解；（2）根据（1）的结论，利用圆的弦长公式求解.【小问1详解】解：由点，，线段AB是圆M的直径，所以圆心M的坐标为，半径，∴圆M的方程为；【小问2详解】由（1）可知圆M的圆心，半径为2．设N为DE中点，则，，则．由已知得l的斜率存在时，设l的方程为，即，则圆心到直线的距离为，解得，故直线l的方程为，即．直线l的方程为.26.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为3的正方形，PO⊥底面ABCD，.点在棱上，；（1）当，求直线与平面所成角的正弦值；（2）当取何值时，二面的正弦值为.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，取的三等分点,使得，连接，于是由题知，又PO⊥底面ABCD，所以两两互相垂直，分别以它们所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，写出坐标，求出平面的法向量，则与平面的法向量所成角的余弦值就为直线与平面所成角的正弦值（2）设，分别求出平面与平面的法向量，根据向量的面面角公式，结合已知，整理方程解出即可.【小问1详解】由，取的三等分点,使得，连接,因为底面ABCD是边长为3的正方形，PO⊥底面ABCD，，所以两两互相垂直，分别以它们所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示则因为所以所以又设平面的一个法向量为：由取，所以法向量为：所以所以当，直线与平面所成角的正弦值为【小问2详解】设，则，设平面的一个法向量为由取，所以法向量为：由设平面的一个法向量为由取，所以法向量为：由二面的正弦值为可得：整理得即所以（舍去），，所以所以当时，二面的正弦值为27.已知直线，圆.（1）证明：直线l与圆C相交；（2）设l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程；（3）在（2）的条件下，设圆C在点A处的切线为，在点B处的切线为，与的交点为Q.试探究：当m变化时，点Q是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）点Q恒在直线上，理由见解析.【解析】【分析】（1）求出直线过定点，得到在圆内部，故证明直线l与圆C相交；（2）设出点，利用垂直得到等量关系，整理后即为轨迹方程；（3）利用Q、A、B、C四点共圆，得到此圆的方程，