竞赛金牌得主谈心得体会

本文格式为Word版，下载可任意编辑——竞赛金牌得主谈心得体会27届IMO数学竞赛全国总决赛6个满

分得主之一谈数学竞赛

竞赛，终止了。

作为一个过来人，我想略略说说我对奥数的看法。说奥数，我觉得必需先从数学本身说起。

首先，数学是最严谨的一门学科，没有之一。数学不需要试验，只有极少的几条公理，任何一条数学结论都能通过最基础且显而易见的公理结合严密的规律推理来证明。同时，数学又是理科中最基础的学科，同样也没有之一。在理科的各个领域，都不可避免地会用到数学。而数学，又是拿来为各个学科服务的。

而奥林匹克数学，它不需要学生把握超纲的知识，而是通过熟练把握已有知识并灵活运用而解题。它拼的不是知识的长度，而是知识的宽度。奥数题的题目常人寻常都还都看得懂。奥数题题无定法，却又往往能一题多解，条条大路通罗马。要学好它不能单靠着所谓的刷书刷题来完成，而更需要及时理解、总结和把握思想、技巧，所以它是最能训练我们思维能力的一项活动。像这样的比赛，才是真正意义上的奥赛，而不是比谁看得多，背得多的——考试。

我认为，数学的精华在于思想。而之所以学奥数，关键也正是学它的思想。

数学有好多基本的思想（数学竞赛中有大量应用）。有些还原原本本地源于生活。学好竞赛数学，领会他的思想并能熟练运用是关键。

譬如观测与猜想：这可以说是最基本的思想，而观测与猜想也绝不局限于数学。当我们还小，好奇地看着周遭万物时，我们也就有了这个思想了。而到了长大之后，这个思想仍旧帮助我们去发现结论。著名数学家G.波利亚曾说过，先猜后证——发现之道。通过对简单状况的探讨，猜测一般状况下的结论。猜想还确定了证明方向，为用归纳法证明和其他各种证明铺平了道路。

又如从整体考虑问题：这是一个在生活中很重要的想法。我们解决生活中的问题，需以大局为重。虽然数学中我们往往化“整〞为“零〞简化问题，（当然，化整为零逐个击破也是一种重要思想）可是对于一些操作类的问题，往往局部的结论并不好找，但假使从整体上观测，通过诸如不变量（半不变量），奇偶分析之类的方法，这题就迎刃而解。

再如数形结合，其实我们每日都在将数字和图形结合——使用坐标轴。“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞？数缺形时少直观，形少数时难入微〞华老先生这首诗，生动地说明白数形结合的重要性。我们往往是“由形入数〞，拿来算几何题。而有时，一个灵光一现的由数入形的解法也能让我们拍案叫绝。

解奥数题，不过就是在某种思想的大方向下，运用某些方法技巧的过程。而且，有好多题往往可以从多个角度入手，不同的思想就产生不同的解法，这就是奥数题往往有本质上的一题多解的原因。

奥林匹克数学有着相当的思维难度，所以，多少人对数学是既爱又恨。个人认为，奥数之路，从下往上，有四道坎：

首先的一道坎是代数。在小学，奥数主要是代数应用。它和一般数学最大不同之处在于它的逆向思维。方程就是运用逆向思维的一个典型例子。逆向思维是奥数的入门。一道常规的数学题可能是这样的：甲筐有50个苹果，从甲筐拿出10个苹果到乙筐，那么甲筐苹果个数就是乙筐两倍，问乙筐原来有多少个苹果？而一道奥数题可能是这样：甲筐有50个苹果，乙筐有10个苹果，问要从甲筐拿出多少个苹果到乙筐，甲筐苹果个数就是乙筐两倍？前面一题顺着条件描述就能得到答案，但

后面一题就不行。逆向思维是奥数的入门。在这第一步，就拦住了不知多少人。迈过这道坎的人，学小学奥数就没有什么障碍了，大约有能在华杯赛获奖的水平。在中学的数学竞赛中，代数一直就是重头戏，代数不够好还是蛮吃亏的。另外必要的代数思维也是上到中学转攻其他学科竞赛的基础。

其次坎是几何。中学的奥赛（特别初中），几何占了相当的比重。这个阶段要比代数思维更难一层，但是又比不上数论组合。几何需要我们分析点线圆之间的内在关系，这是题目往往刻意隐蔽的——大多数的时候是通过去掉线段和圆来隐蔽。要迈过这关，需要对图形有良好的感觉，看出“线〞外之“隐〞。譬如这题：B，C为一个定圆上的两个定点，A为定圆上动点，作切AB于A的圆与切AC于A的圆。求证：两圆根轴过定点（如左图）。左图难度的题不算太低，但是

假使是右图那样，辅助线都已经连好，那就是一道初中水平的题了。基本学通几何的同学，横扫初中竞赛不成问题，之后到高中时大约也有全

国高中数学联赛120~150分以上的水平了，也就说，在好多省份能拿到一等奖。高中联赛一二等奖之间的分水岭寻常就是那道几何题。

再下一坎是组合。在高中数学联赛和好多高中竞赛当中，组合寻常是压轴题。数学没有定法，而组合又是数学中最没有定法的分支之一。组合没有什么公式定律（虽然有些定理，但是适用范围一般较窄）几乎全凭思想。偏偏，组合涉及的思想和方法却是最多的：抽屉原理、算两次、染色赋值、化归、归纳??往往在你灵光一现般地想到思路之后，这题就变得十分简单。它难就是难在，你没有多少固定的套路去解决它，大量题解法还很不常规。如这题：给定r>2，求最大的n，使得可以将一个n×n表格中的单位正方形r染色，使得对任意1≤i≠j≤n和任意1≤j≠k≤n，位于i行j列的单位正方形与位于j行k列的单位正方形不同色？这道题，估计没什么人能想到它和有限集中三大著名定理之一

的Sperner定理有关系吧。你苦思冥想绞尽脑汁无功而返，一看答案却短短数行，让你拍案叫绝。还有组合最迷人的——组合构造。它要求我们有丰富的想象力。它要我们不断地摸索，在上一个失败举例的废墟中找到不满足条件的原因所在，不断改善构造。一些好的构造，简直让人大开眼界！组合构造是那么巧妙却又总是合情合理，让人拍手称快。在这个层面的奥数，真正考到了我们的思想和创造力。迈过这关，个人认