2023高考数学专题一：函数的性质专题【教师原创】

2023高考数学专题一：函数的基本性质一、函数的单调性函数的单调性函数的单调性反映了函数图像的走势，高考中常考其一下作用：比较大小，解不等式，求最值。定义：（略）定理1：那么上是增函数；上是减函数.定理2：（导数法确定单调区间）若，那么上是增函数；上是减函数.1.函数单调性的判断(证明)(1)作差法(定义法)(2)作商法(3)导数法2.复合函数的单调性的判定对于函数和，如果函数在区间上具有单调性，当时，且函数在区间上也具有单调性，则复合函数在区间具有单调性。3.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断对于两个单调函数和，若它们的定义域分别为和，且：(1)当和具有相同的增减性时，①的增减性与相同，②、、的增减性不能确定；(2)当和具有相异的增减性时，我们假设为增函数，为减函数，那么：①的增减性不能确定；②、、为增函数，为减函数。4.奇偶函数的单调性奇函数在其定义域内的对称区间上的单调性相同，偶函数在其定义域内的对称区间上的单调性相反。二、函数的对称性函数的对称性是函数的一个基本性质,对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能够更简捷的使问题得到解决,对称关系同时还充分体现数学之美。1.函数的图象的对称性（自身）:定理1:函数的图象关于直对称特殊的有：①函数的图象关于直线对称。②函数的图象关于轴对称（奇函数）。③函数是偶函数关于对称。定理2：函数的图象关于点对称特殊的有：函数的图象关于点对称。函数的图象关于原点对称（奇函数）。函数是奇函数关于点对称。定理3：（性质）①若函数y=f(x)的图像有两条铅直对称轴x=a和x=b(a不等于b),那么f(x)为周期函数且2|a-b|是它的一个周期。②若函数y=f(x)的图像有一个对称中心M(m.n)和一条铅直对称轴x=a,那么f(x)为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。③若函数y=f(x)图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2|a－b|是其一个周期。④若一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线y=x对称。2.两个函数图象的对称性:①函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.②函数与函数的图象关于直线对称.特殊地:与函数的图象关于直线对称③函数的图象关于直线对称的解析式为④函数的图象关于点对称的解析式为⑤函数y=f(x)与a－x=f(a－y)的图像关于直线x+y=a成轴对称。函数y=f(x)与x－a=f(y+a)的图像关于直线x－y=a成轴对称。函数y=f(x)的图像与x=f(y)的图像关于直线x=y成轴对称。3．奇偶函数性质对于两个具有奇偶性的函数和，若它们的定义域分别为和，且：（1）满足定义式子（偶）（奇）（2）在原点有定义的奇函数有(3)当和具有相同的奇偶性时，假设为奇函数，那么：①函数、也为奇函数；简单地说：奇函数±奇函数=奇函数，偶函数±偶函数=偶函数，奇函数×奇函数=偶函数，

偶函数×偶函数=偶函数，

奇函数×偶函数=奇函数.②、简单地说：奇函数±奇函数=奇函数，偶函数±偶函数=偶函数，奇函数×奇函数=偶函数，

偶函数×偶函数=偶函数，

奇函数×偶函数=奇函数.③两个偶函数之和、差、积、商为偶函数(4)当和具有相异的奇偶性时，那么：①、的奇偶性不能确定；②、、为奇函数。（6）任意函数均可表示成一个奇函数与一个偶函数的和。（7）一般的奇函数都具有反函数，且依然是奇函数，偶函数没有反函数（8）图形的对称性关于轴对称的函数（偶函数）关于原点对称的函数（奇函数）（9）若是偶函数，则必有若是奇函数，则必有（10）若为偶函数，则必有若是奇函数，则必有（11）常见的奇偶函数三、函数的周期性函数的周期性反映了函数的重复性，在试题中它的主要用途是将大值化小，负值化正，求值。1.周期性的定义对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有都成立，那么就把函数叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。如果非零常数是函数的周期，那么、（）也是函数的周期。2.函数的周期性的主要结论：结论1：如果（），那么是周期函数，其中一个周期结论2：如果（），那么是周期函数，其中一个周期结论3：如果定义在上的函数有两条对称轴、对称，那么是周期函数，其中一个周期结论4：如果偶函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，其中一个周期结论5：如果奇函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，其中一个周期结论6：如果函数同时关于两点、（）成中心对称，那么是周期函数，其中一个周期结论7：如果奇函数关于点（）成中心对称，那么是周期函数，其中一个周期结论8：如果函数的图像关于点（）成中心对称，且关于直线（）成轴对称，那么是周期函数，其中一个周期结论9：如果或，那么是周期函数，其中一个周期结论10：如果或，那么是周期函数，其中一个周期结论11：如果，那么是周期函数，其中一个周期函数与不等式【考点精要】考点一.一元二次不等式及其应用。主要考查一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系。当一元二次不等式的解集是或R的情况的等价命题：的解集是R或。考点二.绝对值不等式。。去掉绝对值符号的方法主要有：公式法、分段讨论法、平方法、几何法等。考点三.二元一次不等式组与简单的线性规划。了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等知识点。考查用线性规划的方法解决两种重要的实际问题：一是给定一定数量的人力、物力资源，怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，怎样统筹安排能使完成这项任务耗费的人力、物力等资源最小。考点四.不等式的性质。一般不直接命题，往往与指数函数、对数函数、幂函数等结合进行考查。如：（2023·湖南1）若，则（）考点五.利用不等式考查函数的性质。如考查函数的单调性、周期性、参数的范围等。此类题既可以是选择题、填空题也可以是解答题，考查的范围比较广。如：（2023·江苏11）已知函数，则满足不等式的取值范围是。考点六.利用函数的单调性、恒成立问题解不等式。此类问题多出现解答题中，这类问题较难把握，其关键是找到（列出）不等式（组），再解不等式（组），其中参变量是一种常用的策略：恒成立。考点七.函数的定义与函数的奇偶性。利用函数的定义与函数的奇偶性考查函数的相关性质。如设函数是定义在R上的奇函数，且函数的图像关于直线对称，则。考点八.函数的奇偶性、对称性。以函数的周期性为依托，综合考查函数的奇偶性、对称性等各种性质，以及对思维能力、推理能力、运算能力的考查。（广东）设函数在上满足，，且在闭区间上，只有。（Ⅰ）试判断函数的奇偶性；（Ⅱ）试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论。巧点秒拨1.利用函数的定义域解决有关问题时，一定注意函数与函数的定义域是不同的。2.利用换元法求函数的值域时要注意替代量的取值范围，如：而不是任意实数。3.求函数零点，有时不需要求出零点的具体值，仅需要知道零点的个数即可，这时可利用导数判断函数在各个区间上的单调性与各端点的函数值的符号即可。4.不等式的恒成立问题与函数最值有密切的关系，解决不等式恒成立问题，通常先分离参数，再转化为最值问题来解：恒成立；恒成立。函数的图象和性质课堂例题一、函数图象的分析和判断例1(1)设a<b，则函数y＝(a－x)(x－b)的图象可能是()类型二：构造函数解决不等式问题例2（1）函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为(2)．设，，则（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则．设函数是偶函数，当时，，则的大小为（按由小到大的顺序）.(4)．已知函数.（I）若，求的值；（II）若对于恒成立，求实数的取值范围.(5)．为实数），，（1）若f(－1)=0，且函数的值域为，求表达式；（2）在（1）的条件下，当是单调函数，求实数k的取值范围；例3（1）已知函数若存在实数，当时，恒成立，则实数的最大值为.（2）设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是.设,是二次函数，若的值域是，则的值域是.（4）设函数的定义域为，若存在非零实数使得对任意，有，且，则称在上的“龙族函数”．现在已知是定义在上的奇函数，当时，，且为上的“4龙族函数”，那么实数的取值范围是.类型三：函数的性质（对称性、奇偶性、周期性、单调性）判断对称性的问题：例3：判断函数对称性命题的正误有以下四个命题：定义在R上的函数y=f(x)，对任意的实数x，都有f(x-1)+f(1-x)=2，则函数y=f(x)的图象关于点（0,1）对称。定义在R上的函数y=f(x)，对任意的实数x，都有f(x-1)=f(1-x)，则函数y=f(x)的图象关于y轴对称。同一坐标系中，实数集上的函数y=f(x-1)与实数集上的函数y=f(1-x)的图象关于x=1对称。同一坐标系中，实数集上的函数y=f(x+1)与实数集上的函数y=f(1-x)的图象关于x=0对称。其正确的命题是.判断函数的奇偶性例4：（2023年全国1卷）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则（）(A)是偶函数(B)是奇函数(C)(D)是奇函数练习：设，、，且＞，则下列结论必成立的是（）A.＞B.+＞0C.＜D.＞3．[2023·新课标全国卷Ⅰ]设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x都有f(x＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为()⑴解方程:(x＋8)2001＋x2001＋2x＋8＝0⑵解方程：⑴解：原方程化为(x＋8)2001＋(x＋8)＋x2001＋x＝0即(x＋8)2001＋(x＋8)＝(－x)2001＋(－x)构造函数f(x)＝x2001＋x原方程等价于f(x＋8)＝f(－x)而由函数的单调性可知f(x)是R上的单调递增函数于是有x＋8＝－xx＝－4为原方程的解⑵两边取以2为底的对数得于是f(2x)＝f(x2＋1)易证：f(x)世纪函数，且是R上的增函数，所以：2x＝x2＋1解得：x＝1函数周期性的问题例5、已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x＋6)＋f(x)＝2f(3)，y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，且f(4)＝4，则f(2012)＝()A．0B．－4C．－8D．－16练习1．已知定义在R上的函数f(x)满足feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))＝－f(x)，且函数y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))为奇函数，给出三个结论：①f(x)是周期函数；②f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，0))对称；③f(x)是偶函数．其中正确结论的个数为()A．3B．2C．1D．0其中所有正确结论的序号是。练习2.(2023·高考天津卷)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f(logeq\s\do9(\f(1,2))a)≤2f(1)，则a的取值范围是()A．[1，2]B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))D．(0，2]【思路点拨】(1)先确定y＝－3|x|的奇偶性及单调性，再验证．练习3.(1)(2023·高考山东卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x＜－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x＜3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2012)＝()A．335B．338C．1678D．2012(2)(2023·高考江苏卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．类型四：交点和所有交点横坐标的和例6、(1)(新课标2023、12)函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于（）（A）2(B)4(C)6(D)8(2)(新课标2023、12)已知函数y=f(x)的周期为2，当x时f(x)=x2,那么函数y=f(x)的图像与函数y=的图像的交点共有()（A）10个（B）9个（C）8个（D）1个类型五：分段函数问题例7（13年11）已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2xx≤0,ln(x＋1)x＞0))，若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是()A、（－∞，0]B、（－∞，1]C、[－2，1]D、[－2，0]【解析】∵||=，∴由||≥得，且，由可得，则≥-2，排除Ａ，Ｂ，当=1时，易证对恒成立，故=1不适合，排除C，故选D.类型六：三次函数的问题：已知函数f(x)＝x3－x＋c定义在[0，1]上，x1，x2∈[0，1]且x1≠x2.⑴求证：|f(x1)－f(x2)|＜2|x1－x2|；⑵求证：|f(x1)－f(x2)|＜1.证明：⑴|f(x1)－f(x2)|＝|x13－x1＋x23－x2|＝|x1－x2||x12＋x1x2＋x22－1|需证明|x12＋x1x2＋x22－1|＜2………………①x12＋x1x2＋x22＝(x1＋≥0∴－1＜x12＋x1x2＋x22－1＜1＋1＋1－1＝2∴①式成立于是原不等式成立⑵不妨设x2＞x1由⑴|f(x1)－f(x2)|＜2|x1－x2|①若x2－x1∈(0，]则立即有|f(x1)－f(x2)|＜1成立.②若1＞x2－x1＞，则－1＜－(x2－x1)＜－∴0＜1－(x2－x1)＜(右边变为正数)下面我们证明|f(x1)－f(x2)|＜2(1－x2＋x1)注意到：f(0)＝f⑴＝f(－1)＝c|f(x1)－f(x2)|＝|f(x1)－f⑴＋f(0)－f(x2)|≤|f(x1)－f⑴|＋|f(0)－f(x2)|＜2(1－x2)＋2(x2－0)(由⑴)＝2(1－x2＋x1)＜1综合⑴⑵，原命题得证.已知x＝是方程x4＋bx2＋c＝0的根，b，c为整数，则b＋c＝__________.解：(逆向思考：什么样的方程有这样的根？)由已知变形得x－∴x2－2x＋19＝99即x2－80＝2x再平方得x4－160x2＋6400＝76x2即x4－236x2＋6400＝0∴b＝－236，c＝6400b＋c＝6164已知f(x)＝x2＋ax＋b(－1≤x≤1)，若|f(x)|的最大值为M，求证：M≥.解：M＝|f(x)|max＝max{|f⑴|，|f(－1)|，|f(－)|}⑴若|－|≥1(对称轴不在定义域内部)则M＝max{|f⑴|，|f(－1)|}而f⑴＝1＋a＋bf(