模糊控制的数学基础

本文格式为Word版，下载可任意编辑——模糊控制的数学基础从中可见，随着试验次数n的增加，27岁对“青年人〞的频率基本稳定在0.78附近，近似可取?A?27??~0.78。

②例证法

此法是扎德教授于1972年提出的。基本思想—从模糊子集A~的有

?A?x?的值，估计出论域U上A的隶属函数。

~~例如：取论域U是实数域R中的一部分[0,100],A是U上―较大的数‖，虽

~然A是U上的模糊子集。为确定?A?x?的分布，选定几个语言真值（即一句话为

~~真的程度）中的一个，来回复[0，100]中的某数是否算―较大‖。假使语言真值分为―真的‖、―大致真的‖、―半真半假‖、―大致假的‖、“假的〞。把这些语言真值分别用[0，1]之间的数字表示，即分别为1，0.75，0.5，0.25和0。对[0，100]用的

??个不同的数都作为样本进行询问，就可得A的模糊分布?A?x?的离散表示法。

~~③专家评分法（德尔菲法）

该法40年代以来就已广泛应用于经济与管理科学的各个领域，典型的例子是在体操比赛中对运动员的评分，“技术好〞是运动员集上的一个模糊，所有评委打分的平均值（有时去掉一个最高分和一个最低分）就是运动员“技术好〞的隶属度。

这种方法也可以用来求模糊分布，在应用时，为了区别专家的学术水平和经验的多少，还可以采用加权平均法。

§2—2模糊子集的特性及运算法则

前面已探讨过普通集合的基本运算，下面对模糊子集的运算另作定义。

一、模糊子集的运算法则①Fuzzy子集的包含与相等

设A、B为论域U上的两个模糊子集，对于U中的每一个元素x，都有

~~?A?x???B?x?，则称A包含B，记作A?B。

~~~~~~假使，A?B且B?A，则说A与B相等，记作A=B。或者，若对所有x?U，

~~~~~~~~1

都有?A?x?=?B?x?，则A=B。

~~~~②模糊子集的并、交、补运算

设A、B为论域U上的两个模糊子集，规定A?B、A?B、A的隶属函

~~~~~~~?数分别为?A~?B~、?A~?B、?A,并且对于U的每一个元素x都有

?~?A~?B~?x???A?x???B?x?=max[?A?x?,?B?x?]—

~A,B的并

~~~~~?A~?B~?x???A?x?~~??B?x?=min[?A?x?,?B?x?]

~~—A,B的交

~~~?A~??x??1–?A?x?—

~~A的补

~eg,设论域U=?x1,x2,x3,x4?，A、B是论域U上的两个模糊集。已知

A=

~0.3x10.5x1?0.5x21x2?0.7x30.8x3?0.4x4

B=

~??

利用模糊子集运算可得

A=

~?0.7x10.5x1?0.5x20.8x3?0.3x31x4?0.6x4

B=

~???

0.4?0x40.4?0x40.5x10.3x11x20.5x20.8x30.4x40x4A?B=

~~0.3?0.5x10.3?0.5x1?0.5?1x20.5?1x2?0.7?0.8x30.7?0.8x3?=

???

A?B=

~~???=

??0.7x3?

③模糊子集的代数运算

代数积：?A~?B~=?A??B

~~代数和：?A~???B???A~~B=?1~??~~~?A??B?1???~~~?A??B?1??~~

环和：?A~?B~=?A+?B﹣?A??B

2

依取举例数据：A?B=

~~0.3?0.5x10.3?0.5x1?0.5?1x20.5?1x2?0.7?0.8x30.7?0.8x3?0.4?0x40.4?0x4

A+B=

~~???

0.4?0?0x4A?B=

~~0.3?0.5-0.15x1?0.5?1?0.5x2?0.7?0.8?0.56x3?

④模糊子集运算的基本性质

1）幂等律A?A=AA?A=A

~~~~~~2）交换律A?B=B?AA?B=B?A

~~~~~~~~3）结合律（A?B）?C=A?（B?C）

~~~~~~（A?B）?C=A?（B?C）

~~~~~~4）分派律（A?B）?C=（A?C）?（B?C）

~~~~~~~（A?B）?C=（A?C）?（B?C）

~~~~~~~5）吸收律（A?B）?A=A（A?B）?A=A

~~~~~~~~6）同一律A?U=UA?U=A

~~~A??=AA??=?

~~~7)复原律（A）?=A

~?~8)对偶率（A?B）?=A?B

~~~~??（A?B）?=A?B

~~~~??普通集合的补余律在Fuzzy集中不成立。A?A?UA?A??

~??~~~二、模糊集合与普通集合的联系

模糊集合是通过隶属函数定义的，假使约定：当x对于A的隶属函数程度达

~到或超过?者就算做A的成员，那么模糊子集A就变成了经典子集A?。例如，―高

~~~个子‖是一个模糊集合，而―身高1.75m以上的人‖都是一个经典集合，这便引出

3

了截集的概念。

1、截集（?水平截集）设A?F?U?,0???1

~?（1）A????x?A?x????

~?~?称A?为A的?截集，它是一个经典集合，?称为水平。

~~?（2）A????x?A?x????

?~?~?称A?为A的?强截集。

?~~?截集和?绝截集具有如下性质：

?A?B?=A?B?A?B?=A?B

?A?B?=A?B?A?B?=A?B~~???~~~~???~~~~??????~~??????

~~~~????A??A?A??A?

~~??~~2、分解定理

设A为论域U上的一个模糊子集，A?是A的?截集，???0,1?，则有如下

~~~分解定理成立

A=

~???0,1???A?

~其中?A?表示x的一个模糊子集，称为?与A?的“乘积〞，其隶属函数规定为

??,x?A???A??x?=?

0,x?A??下面从图解的角度理解分解定理。

右下图画出了不同水平的??A?x?的图形，当?取遍?0,1?闭区间所有的值时，

????0,1???A?按模糊子集求运算法则，也就是取各???0,1?点隶属函数的最大值，再连

~成一条曲线，这就与?A?x?曲线重合。

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分解定理提供了用经典集合构造模糊集合的可能性，它沟通了模糊集合与经典集合的联系。

eg.设A=

~0.5x1?0.6x2?1x3?0.7x4?0.3x5，x??0,1?，取?截集，于是

1x31x31x21x11x1A1??x3?

~A1?~

1x41x31x21x2A0.7??x3,x4?

~A0.7?~?

1x41x31x3A0.6??x2,x3,x4?

~A0.6?~??

1x41x4A0.5??x1,x2,x3,x4?

~A0.5?~???

1x5A0.3??x1,x2,x3,x4,x5?

~A0.3?~????

由分解定理又可构成原来的模糊子集。

A=

~???0,1???A?=A1+0.7A0.7+0.6A0.6+0.5A0.5+0.3A0.3

~~~~~~=

1x3??0.70.7????x?x?4??3??0.60.60.6????x?x?x?34??2??0.50.50.50.5????x?x?x?x?234??1?

?0.30.30.30.30.3????x?x?x?x?x?

2345??1