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文档简介

本文格式为Word版，下载可任意编辑——每日一题型7恒成立之分开参数最值法每日一题型7恒成立之分开参数最值法在数学问题研究中经常碰见在给定条件下某些结论恒成立问题．这类问题涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考察学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．因此也成为历年高考的一个热点．

分开参数最值法主要通过两个基本思想解决“恒成立问题〞

思路1、x?D,f(x)??a,b?

m?f(x)在x?D上恒成立?m?bm?f(x)在x?D上恒成立?m?am?f(x)在x?D上恒成立?m?bm?f(x)在x?D上恒成立?m?a

思路2、x?D,f(x)??a,b?

m?f(x)在x?D上恒成立?m?bm?f(x)在x?D上恒成立?m?am?f(x)在x?D上恒成立?m?bm?f(x)在x?D上恒成立?m?a

先看看几道例题：

1．函数，

，若对任意

恒成立，求实数的取值范围。

，

恒成立，恒成立，

，只需

解：若对任意即对

，

考虑到不等式的分母

在

时恒成立而得.

22a??x?2x?x?2x??3所以a??3即而

2.已知当a+cos2x0,(t[-1,1])恒

则二次函数的对称

轴为t=1,f(x)在[-1，1]内单调递减。只需f(1)>0,即

>a-2.(下同)

3.(2023·德州一模)已知函数12

f(x)＝lnx－ax－2x.

2

(1)若函数f(x)在x＝2处取得极值，求实

数a的值；

(2)若函数f(x)在定义域内单调递增，求实数a的取值范围；

11

(3)当a＝－时，关于x的方程f(x)＝－x

22＋b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．

ax＋2x－1

解：(1)f′(x)＝－(x>0)，∵x

x＝2时，f(x)取得极值，∴f′(2)＝0，解得a3

＝－，经检验知符合题意．

4

(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，依题意f′(x)≥0在x>0时恒成立，即ax＋2x12

－1≤0在x>0恒成立，即a≤[(－1)－

x1]min(x>0)，

12

当x＝1时，(－1)－1取最小值－1，

x∴a的取值范围是(－∞，－1]．

11123

(3)a＝－，f(x)＝－x＋b，即x－x＋

2242lnx－b＝0.

2

2

123

设g(x)＝x－x＋lnx－b(x>0)，

42

（x－2）（x－1）则g'(x)?0＝.

2x当x?(0,1),g'(x)?0，g(x)单调递增.当x?(1,2),g'(x)?0，g(x)单调递减.当x?(2,4),g'(x)?0，g(x)单调递增.∴g(x)微小值＝g(2)＝ln2－b－2，g(x)极大值＝g(1)5＝－b－.

4

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