热学教程习题参考解（第六章）

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第六章习题

6-1.有人声称设计出一热机工作于两个温度恒定的热源之间，高温柔低温热源分别为400K和250K；当此热机从高温热源吸热2.5×107cal时，对外作功20kW﹒h，而向低温热源放出的热量恰为两者之差，这可能吗？

解：此热机的效率应为??1??T2T1??1??250400??37.5%，故当热机从高温热源吸热

Q1?2.5?107cal时，能提供的功为W?Q1??2.5?107?0.375?9.38?106cal，同时向低温热源放出热量为Q2?Q1?W?2.5?107?9.38?106?1.562?107cal。这样，倘若此题所设计的热机能够实现，它对外的作功值20kw·h?1.728?107cal显然超过了此卡诺热机可能的最大输出功9.38?106cal，所以设计这样的热机是不可能的。

6-2．设有1mol的某种单原子理想气体，完成如下图的一个准静态循环过程，试求：(1)经过一个循环气体所作的净功；(2)在态C和态A之间的内能差；(3)从A经B到C过程中气体吸收的热量。(答:(1)314J;(2)600J;(3)1157J)

解：如下图，1mol单原子气体完成的是圆形准静态循环过程。在p?V图上，描述此圆的方程为

习题6-2图??p22p0??2????VV0??2??1,其中的

p0?105Pa,V0?10?3m3。

（1）经过一个循环过程，气体所做的功等于描述此循环过程的圆面积，即

?p0V0?314J；

（2）与A和C点的温度为TA??pAVAR???2p0V0R?和TC??pCVCR???6p0V0R?，故两点之间的内能差为?UCA?UC?UA?CV?TC?TA??6p0V0?600J，其中的定容热容

CV??32?R；

（3）依据热力学第一定律，气体在ABC过程中吸收的热量Q??U?W，其中的内能增量?U已由（2）求得；而过程中所做的功可由过程曲线下所包含的面积求得：

W??12??p0V0?4p0V0?557J，故Q?1157J；（4）循环最高和最低温度分别发生在p1?p02???22，V1?V02?????22??

和p2?p02???22，V2?V02?????22

??所以相应的最高温度值为：T1??p1V1R???p0V0R?2?最低温度值为T2??p2V2R???p0V0R?2???22??2?88.2K，

??22??2?20.1K；

（5）此循环效率为???WQ12?，式中的循环功已由（1）求得W?314J，而循环吸热将发生在气体从最低温度T2升至最高温度T1之间，故

Q12??3R2??T1?T2???32??8.31??88.2?20.1??0.3699?37%。

6-3．一定量理想气体作卡诺循环,热源温度T1=400K,冷却器温度为T2?280K.若已知:p1=10atm,V1=0.01m3,V2=0.02m3,?=1.4,试求:(l)p2,p3,p4及V3,V4;(2)一个循环中气体作的功;(3)从热源吸收的热量;(4)循环的效率.(答:(1)p2?5atm，p3?1.43atm，103J;(3)7.0×103J;(4)30%)p4?268atm，V3?4.9?10-2m3,V4?2.45?102m3;(2)2.1×

解：(1)先由等温过程方程，可得p2?p1?V1V2??5atm；再应用绝热过程方程，并考虑到绝热指数??1.40可得V3?V2?T1T2?1???1??2?10?2?400280?2.5?4.9?10?2m3,和

p3?p2?V2V3???1.43atm。而p4?p3?V3V4??2.86atm,。再由p1V1??p4V4?，可计算得V4?2.45?10?2m3；

（2）卡诺循环功为W??R?T1ln?V2V1??T2ln?V3V4????p1V1?p2V2?ln2?2.1?103J；（3）从高温热源吸收的热量为Q??RT1ln?V2V1??p1V1ln2?7?103J；（4）循环效率???WQ???2.17??30%。

6-4．一卡诺机,高温热源的温度为400K,在每一循环中在此温度下吸入418J的热量，并向低温热源放出334.4J的热量.试求:(l)低温热源的温度是多少?(2)此循环的效率是多少?(答:(1)320K;(2)20%)

解：（1）低温热源的温度T2?T1?Q2Q1??400??334.4418??320K；（2）循环效率为??1??T2T1??1??320400??20%6-5．如下图，有1mol理想气体完成的循环过程，其中CA为绝热过程。A点的状态参量为?T,V1?、B点的状态参量为?T,V2?和绝热指数?均为已知。(l)气体在

习题6-5图习题6-7图

A→B，B→C两过程中和外界交换热量吗？是放热还是吸热？(2)求C点的状态参量；(3)此循环是否为卡诺循环？求循环效率。

(答:(1)AB吸热，BC放热；(2)Vc?V2，Tc?T?V1V2???1；pcVc?RTc；(3)不是。

??1??1??1?1??V1V2???1ln?V2V1?)。

解：（1）AB吸热过程，BC放热过程；（2）VC?V2，TC?T?V1V2????1?????，pC??RTCVC?；

（3）此循环不是卡诺循环。在此循环的等温过程中，气体吸热，1mol气体吸收的热量为Q?RTln?V2V1?，对外作功为W?RTln?V2V1???RT???1???VV????1??1，故可

12得循环效率为

?1??1??V1V2????WQ??1?????1???ln?VV????21???1?????。?6-6.若可逆卡诺循环中的工作物质不是理想气体,而听从状态方程p?v?b??RT.试证明此卡诺循环的效率仍为??1??T2T1?.

解：由气体的状态方程p?v?b??RT可见，这种气体的分子有体积，但没有引力，是一种刚性球，所以这种气体的内能仍应只与温度有关，而与气体的体积无关。事实上，由内能公式得到的结果：

??u?v?T?T??p?T?v?p??TR?v?b???p?0，

也说明白这一点。故由热力学第一定律可知，等温过程中系统吸收（或放出）的热量Q应等于系统对外（或外界对系统）所做的功W：

Q?W??V2pdV??V211VVV?bRT。dV?RTln2V?bV1?b由气体内能只与温度有关这一性质，还可以证明：对于这种气体，理想气体的摩尔热容公式C?p?C?V?R依旧成立。所以，将热力学第一定律应用于绝热过程，可得：

dU?pdV?C?VdT?RTTdVdV?C?VdT?C?p?C?V?0，V?bV?b??

积分后，得绝热过程方程为T?V?b???1?T0?V0?b???1?const，式中的??C?pC?V是绝热指数。现在我们可以写出，在温度为T1和T2的等温过程中，气体所吸收和放出的热量分别为：Q1?RT1ln??V4?bV?b和Q2?RT2ln1。V3?bV2?b?ln??V1?b??V2?b???T2???1??ln??V?b??V?b???T43??1???。??Q2??T??1??2故得此卡诺循环效率为??1???T?Q??1?1?其中用到公式

V2?bV3?b，这是由于依据绝热过程方程，可以写出：?V1?bV4?b??1T2?V2?b???1?T1?V3?b???1和T2?V1?b??T1?V4?b???1。

6-7.设燃气涡轮机内工质进行如下图的循环过程,其中1-2,3-4为绝热过程;2-3，4-1为等压过程.若??p2p1,试证此循环的效率?为:

T4?T1?1??T3?T2?1????1????????1?.

解：此燃气涡轮机的循环效率为??1??Q1Q2??1?Cp?T4?T1?Cp?T3?T2?。

1?????1????考虑到在绝热过程中T3?p1?T4?p1?T1?p12,T2p12，

??因此有

T3?T2?p2?????T4?T1??p1??1????。

?1????1??????故可得

??1?T4?T1?1??T3?T2

其中?是绝热指数；???p2p1?。

6-8．设有一以理想气体为工作物质的热机循环,如下图.由等压过程CA、等容过程AB和绝热过程BC所组成。若已知pA,pB,VA,VC和绝热指数?.证明此热机的循环效率为:

习题6-8图习题6-9图??1??{??VCVA??1??VCVB???1}.

解：由于热机循环效率为???WQ1??1??Q2Q1?，

??

其中Q1?CV?TB?TA?为气体在等体过程AB中所吸收的热量；Q2?Cp?TC?TA?是气体在等压过程中放出的热量，

?Q2??TCTA??1?VCVA??1。TC?TA?所以可得????????Q??TBTA??1?VCVA???1TB?TA?1??TC由于对于理想气体我们有??T?A??VC???????VA???；??TB??pB??pB??VC再应用绝热过程方程，可得??T?????p??????p?????A??A??C??VB??VC??????V??。??A???Cp??Q2??VCVA??1，其中?????故可得到需证的结果??1???C??是绝热指数。?Q??1???VV???1?V??1?CA6-9.如下图的理想气体为工质的热机循环,其中AB和CD是等压过程,BC和DA是绝热过程.已知B点和C点的温度分别为T2和T3.证明:此热机循环的效率为

??1??T3T2?.

解：与题6-6类似，可以证明此热机循环效率为

??1??Q2Q1??1??T3?TD?T?1??TD?1?3?T2?TA?T2?1??TA?T3?T3???。?1????T2???T2??1???1?????1??在证明过程中用到绝热过程方程TA考虑到在等压过程pA?TDpD,T2?p1B?T3pC。

中pA?pB,pD?pC，因此可以得到?TAT2???TDT3?，故可得上列等式。

6-10.一圆筒装有压强和温度分别为2atm和300K的氧气,容积为3L.使氧气经历以下过程：等压加热到500K；等容冷却到250K；等压冷却到150K；等容加热到300K。(1)在p?V图上画出四个过程,并计算每个过程终态的p和V值；(2)计算氧气在一个循环中所作的净功；