决胜高考之4函数的奇偶性

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高考数学总复习之4函数的奇偶性

1.函数奇偶性的定义：

2.显函数与隐函数奇偶性的判断：3.奇偶函数的图像特征：4.函数单调性与奇偶性的应用：

函数的奇偶性：

1.对于函数f(x)，其定义域关于原点对称：假使_______________________，那么函数

f(x)为奇函数；

假使_______________________________，那么函数f(x)为偶函数.

2.奇函数的图象关于__________对称，偶函数的图象关于_________对称.

3.奇函数在对称区间的增减性；偶函数在对称区间的增减性.

4.函数与、y=af（x）有一致的奇偶性；

5.在公共区间上，两个奇函数（或偶函数）的和、差任为奇函数（或偶函数）；两个奇函数（或偶函数）的积、商为偶函数；

6.非0常数函数为偶函数；0函数既是奇函数，又是偶函数；7.奇函数若在原点有定义，则f（0）=0

例1、（1）假使定义在区间[3?a,5]上的函数f(x)为奇函数，则a=_____

（2）若f(x)?2x?2?xlga为奇函数，则实数a?_____

（3）若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x?(0,??)时，f(x)?x(1?3x)，那

么当x?(??,0)时，f(x)=_______

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1?x2

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1x2例2、判断以下函数的奇偶性

（1）f(x)?

例3.已知函数f(x)在(－1，1)上有定义,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(

明f(x)为奇函数

|x?2|?2；（2）f(x)?lgx2?lg；（3）f(x)?(1?x)1?x1?x

x?y1?xy),试证

例4.设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，

f(2a2+a+1)0,f(x)=

函数

exa?aex是R上的偶函数，(1)求a的值；(2)证明f(x)在(0，+∞)上是增

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一．选择题：

1以下判断正确的是（）

Ax2?2x1?x函数f(x)?x?2是奇函数B函数f(x)?(1?x)1?x是偶函数

C函数f(x)?x?x2?1是非奇非偶函数D函数f(x)?1既是奇函数又是偶函数

2.已知函数f(x)?(m?1)x2?(m?2)x?(m2?7m?12)为偶函数，则m的值是（）

A1B2C3D4

3若偶函数f(x)在???,?1?上是增函数，则以下关系式中成立的是（）

A3f(?2)?f(?1)?f(2)Bf(?1)?f(3?2)?f(2)

Cf(2)?f(?1)?f(33?2)Df(2)?f(?2)?f(?1)

4假使奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，那么f(x)在区间??7,?3?上是（A增函数且最小值是?5B增函数且最大值是?5

C减函数且最大值是?5D减函数且最小值是?5

5设f(x)是定义在R上的一个函数，则函数F(x)?f(x)?f(?x)在R上一定是（）

A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数

6.若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则函数F(x)?f(x)?f(x)的图象关于（）（A）x轴对称（B）y轴对称（C）原点对称（D）以上均不对7函数f(x)?x(x?1?x?1)是（）

A是奇函数又是减函数B是奇函数但不是减函数

C是减函数但不是奇函数D不是奇函数也不是减函数

8.函数F(x)?(1?22x?1)f(x)(x?0)是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x)（）

（A）是奇函数（B）是偶函数

（C）可能是奇函数也可能是偶函数（D）不是奇函数也不是偶函数

3

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1x4

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x二．填空题：

1.以下五个函数：（1）y?（5）y?log2(x?（2）y?x?1；（3）y?2；（4）y?log(x?0)；

2x；

2x?1)，其中奇函数是______，偶函数是______，非奇非偶函数是_________

2.已知函数f(x)对一切实数x,y都有f(x?y)?f(x)?f(y)，则f(x)为（奇、偶）函数3.函数y?ax2?bx?c是偶函数的充要条件是___________

4.若函数f(x)?(k?2)x2?(k?1)x?3是偶函数，则f(x)的递减区间是

5设奇函数f(x)的定义域为??5,5?，若当x?[0,5]时，f(x)的图象如

右图,则不等式f(x)?0的解是

6.已知f(x)?ax7?bx5?cx3?dx?5，其中a,b,c,d为常数，若f(?7)??7，则f(7)?_______

7.已知函数y?f(x)在R是奇函数，且当x?0时，f(x)?x2?2x，则x?0时，f(x)的解析式为_______________

三．解答题：

1已知函数f(x)的定义域为??1,1?，且同时满足以下条件：（1）f(x)是奇函数；（2）f(x)在定义

域上单调递减；（3）f(1?a)?f(1?a)?0,求a的取值范围

2

22设a为实数，函数f(x)?x?|x?a|?1，x?R,探讨f(x)的奇偶性。

[提醒：分a=0和a≠0探讨]

4

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x?y1?xy例3已知函数f(x)在(－1，1)上有定义,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(

f(x)为奇函数

),试证明

命题意图此题主要考察函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和规律推理能力

知识依托奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想

错解分析此题对思维能力要求较高，假使“赋值〞不够确凿，运算技能不过关，结果很难获得

技巧与方法对于(1)，获得f(0)的值进而取x=－y是解题关键；对于(2)，判定

x2?x11?x1x2的范围是焦

点

证明(1)由f(x)+f(y)=f(

x?y1?xy),

令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f(

x?x1?x2)=f(0)=0

∴f(x)=－f(－x)∴f(x)为奇函数(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减

令00,1－x1x2>0，∴又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)0,

3a－2a+1解之，得02

又a2－3a+1=(a－∴函数y=(

1232)2－54

32)a2?3a?1的单调减区间是［

12，+∞］

32结合0ex)a2?3a?1的单调递减区间为［，3)

例3设a>0,f(x)=

a?aex是R上的偶函数，(1)求a的值；(2)证明f(x)在(0，+∞)上是增函数

(1)解依题意，对一切x∈R,有f(x)=f(－x),

即

exa?aex?1ae1ax+aex整理，得(a－

1a)(ex－

1ex)=0

因此，有a－

=0,即a2=1,又a>0,∴a=1

(2)证法一（定义法）设0＜x1＜x2,

则f(x1)－f(x2)=ex?ex?121ex1?1ex2?(ex2?e1)