椭圆和双曲线的类似的基本题型

椭圆和双曲线的类似的基本题型BXYOF2AF11、①（椭圆）已知椭圆，为焦点，BXYOF2AF1解：如图所示：2、AF1dBF2m-dOYX②（双曲线）已知双曲线，为焦点，AF1dBF2m-dOYX解：注：以上两题是比较类似的，都用到了第一定义，而且这个结果可以在选择和填空中直接应用。2、①（椭圆）求过点且与椭圆有相同的焦点的椭圆的标准方程解法一：由题可设所求椭圆方程为，则有，所以所求方程为：解法二：由题知椭圆的焦点坐标为，而欲求椭圆和它有相同的焦点，故可设欲求椭圆的标准方程为：，则有：，所以所求方程为：②求过点且与双曲线有相同的焦点的椭圆的标准方程解法一：由题可设欲求双曲线的标准方程为：，则有：，所以欲求双曲线的标准方程为：解法二：由题知双曲线的焦点坐标为，而欲求双曲线与它有相同的焦点，故可设欲求双曲线的标准方程为：，则有：，所以欲求双曲线的标准方程为：注：以上两题属于共焦点的同类曲线问题，虽然用了两种解法，但是原理都是一样的，即利用有相同的焦点坐标。但是值得体会的是椭圆和双曲线对这类题目的解法也有很多相似之处。3、①（椭圆）求过点的椭圆的标准方程解：设欲求椭圆的方程为，则依题意有可解得：，从而所求椭圆的标准方程为：②（双曲线）求过点的双曲线的标准方程解：设欲求双曲线的方程为，则依题意有可解得：从而所求双曲线的标准方程为：注：以上两题虽然是求两个不同的标准方程，但是我们可以发现，在用待定系数法对方程的假设上，两个是一样的，只是条件有所不同，并且这两个方程这样写出并没有规定所求曲线的焦点在哪个轴上，如果用常规解法，则要讨论焦点在X轴上和焦点在Y轴上两种情形，而用这种设法就可以避免这类讨论。这是解这类有曲线上两点确定，不能判断焦点所在的位置的标准方程的很简洁的方法。而且针对椭圆和双曲线，两者又有很多相似的地方，值得回味。4、①（椭圆）已知椭圆，为焦点，为椭圆上一点，试证：PF1PF1F2XYO而②（双曲线）已知双曲线，为焦点，为双曲线上一点，F1FF1F2OYP证明：XX而注：以上两题的结论在今后的选择和填空中可以直接应用，而且在历年的高考中都有直接应用的题目。5、①求椭圆被点平分的弦所在的直线方程解：设，则有：①；②①–②得：③而代入③式，得：④而④恰好是弦所在直线得斜率值，所以直线得方程为：即：⑤，而由点在椭圆内部可知⑤即为所求。②求双曲线被点平分的弦所在的直线方程解：设，则有：eq\o\ac(○,1)；eq\o\ac(○,2)①–②得：③而代入③式，得：④而④恰好是弦所在直线得斜率值，所以直线得方程为：即：⑤再将⑤与双曲线方程联立消去得：，可知判别式所以，所求直线与双曲线有两个不同的交点，满足题意，即⑤式为所求。注：以上两题也可以用常规解法来做，椭圆和双曲线的解法也类似，但是计算过程相对麻烦许多，而且道理也简单易懂，在此略去不写了。这种解法由于是将点的坐标设而不求，代入方程作差，利用中点坐标公式巧妙的求出直线斜率，从而简捷的解决问题。这种方法称为“点差法”。但是这种方法对于椭圆只需要验证题目中给出的中点在椭圆内部就可以保证所求直线为所求。而对于双曲线，则要在求出直线方程后与双曲线方程联立，用判别式来判断所求直线是否与双曲线有两个不同的交点。如果有则是所求直线，若没有，则所求方程不满足。这些验证是必要的，尤其是对双曲线，因为有时用这种方法得到的直线和双曲线根本就没有交点。这里就不举例了。MF1XY.PNF2O图16、①（椭圆）已知椭圆内有一点MF1XY.PNF2O图1解：由题可知椭圆的离心率为，如右图1：M图2FM图2F1XY.PNOF2所以：，故最小值是当三点共线（见图2），并且当点在之间时取得。此时点的纵坐标和点的纵坐标相同为，将代入椭圆方程可得：，舍去负值，得点坐标为即为所求。F1F2OY.P图1MN②（双曲线）已知双曲线，有一点，F1F2OY.P图1MN解：由题可知双曲线的离心率为，如右图1：有：所以：，故最小值F1NF2OY.F1NF2OY.P图2M间时取得。此时点的纵坐标和点的纵坐标相同为，将代入双曲线方程可得：，舍去负值，得点坐标为即为所求。注：这两道题采取都是用了“转化法”，参看题目中的倍数都是离心率的倒数,从而