人教A版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系复习小结 导学案

第一章坐标系考情分析本节内容在高考中主要考查对极坐标概念的理解，点的极坐标和直角坐标的区别和相互转化，考查直线和圆极坐标方程的理解和应用，并且熟练进行转化。基础知识1.平面直角坐标系下的伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．2．极坐标系在平面内取一个定点O，由O点引一条射线Ox，一个单位长度及计算角度的正方向(通常取逆时针方)，合称为一个极坐标系．O点称为极点，Ox称为极轴．平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对（称为点M的极坐标，ρ称为极径，θ称为极角．3．极坐标与直角坐标的转化设M为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面的关系式成立：顺便指出，上式对ρ<0也成立．这就是极坐标与直角坐标的互化公式．4、空间直角坐标与柱坐标的变换公式是空间直角坐标与球坐标的变换公式是题型一极坐标和直角坐标的互化【例1】设点A的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))，直线l过点A且与极轴所成的角为eq\f(π,3)，则直线l的极坐标方程为________________．【变式1】在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为(1，－eq\r(3))．若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是________．题型二圆的极坐标方程的应用【例2】在极坐标系中，若过点(1,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cosθ于A、B两点，则|AB|＝________.【变式2】在极坐标系中，P，Q是曲线C：ρ＝4sinθ上任意两点，则线段PQ长度的最大值为________．题型三极坐标方程的综合应用【例3】如图，在圆心的极坐标为A(4,0)，半径为4的圆中，求过极点O的弦的中点的轨迹．【变式3】从极点O作直线与另一直线ρcosθ＝4相交于点M，在OM上取一点P，使|OM|·|OP|＝12，求点P的轨迹方程．重难点突破【例4】在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosφ，,y＝sinφ，))(φ为参数)，曲线C2的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝acosφ，,y＝bsinφ，))(a＞b＞0，φ为参数)．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ＝α与C1，C2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝eq\f(π,2)时，这两个交点重合．(Ⅰ)分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；(Ⅱ)设当α＝eq\f(π,4)时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α＝－eq\f(π,4)时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．巩固提高1．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosα，,y＝sinα))(α为参数)．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ－eq\f(π,4))＝2eq\r(2).点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．2．在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝sinα，,y＝2cos2α－2))(α为参数)，曲线D为极坐标方程为ρsin(θ－eq\f(π,4))＝－eq\f(3\r(2),2).(1)将曲线C的参数方程化为普通方程；(2)判断曲线C与曲线D的交点个数，并说明理由．3．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4－2t，,y＝t))(t为参数)，椭圆C的方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝sinθ))(θ为参数，θ∈R.)试在椭圆C上求一点P，使得P到直线l的距离最小．4．经过点M(eq\r(10)，0)作直线l，交曲线C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝2sinθ))(θ为参数)于A，B两点，若|MA|，|AB|，|MB|成等比数列，求直线l的方程．5．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)cosα,y＝sinα))(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点