概率论与数理统计第一章

技大概率论与数理 主讲教师 技大学数学与统计学1课程内 随 及其概 量及其分 量及其分 量的数字特 大数定律与中心极限定 样本及抽样分 参数估2第一章随 与概随 的关系、运算及性条件概率、全概率 的独立3随机试验与随机试验可在相一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现事先知道例E1:抛一枚硬币，观察出现 4二（随机 ,简称“ ”.记作A、B、C等.基 复 必 不可 5本空间与样本点样本空间：随机试验E的所有可能结果组成的集，记Ω1H,T观察 出现的情况,Ω1Ω2样本点：样本空间中的元素，记为6的关系、运算和（集合）包含与相的的的

AA=B(ABBA （A、B至少有一个发生A∩B或AB（A、B同时发生ABAB（A发生且B不发生7A互斥(互不相容

B对立(逆 AB=且A 记=1A、B互不相A∪B记做 nAinAiAini,iiii8二 的运算1、交换律2、结合律：3、分配律ABA ABA

k

Akk9例设A,B,C为三 ,用A,B,C表示如下。A发生而B与C都不发A与B都发生而C不发所有这三 同时发这三 恰好发生一这三 恰好发生二这三 至少发生一

ABCABCABCABCABCABABCABCABCABCABCABC 的概率及 公理化设为一样本空间,F是由的一些子集所组成集合族。如果F满足如下性1）若AF,则A若AiF(i1,2,),则Aii则称F为域；F中的元素称 ，称(,F)为可测空间封闭概率公理化定设E是随机试验,Ω是它的样本空间，并设F是Ω上的σ代数，即（Ω，F)是一个可测空间。对于E的每一AF赋予一个实数,记为P(A),称为 （1）非负性0≤P(A)（2）规范性：（3）可列可加性：AA,两两互不相 P(An)P(An 概率的性（1）有限可加性

A1,An两两互不相 P(Ak)P(Ak k

kP(A)1P( ：单调性BAP(Bn ：P(∪)=P(A)+P(B)P(AB)；一般的，P(AAA)P(A)P(AA)n

1i

P(AAA)(1)n1P(AAA A,B的概率分别为三种情况下P(BA)的值.

11求在 AAB(1)A与B互斥;(2)AB;(3)PAB)1解P(BA)P(BA)P(B)P( 故(1)P(BA)P(BP(Φ1或由图示P(BAP(B)1(2)P(BA)P(B)P(A)1/21/31/（3）P(BA)P(B)P(AB)1/21/83/例2、已知PAP(B)0.5,证明PABPAB证明 P(AB) P(A 1P(A1P(A)P(B)P(AB)P(例3已知PAB0.6P(B)0.3求PAB)解：PAB)PAB)PAABPAPP(AB)P(A)P(B)P(PAPAB0.60.3 PAB0.3机 上 下 返 结束例4、

P(Ai)1,i1,2,,

P(Ai)iPAi1PAi0i1,2,P(A1A2An i P(A) P(AA)i

P(AAA)(1)n1P(AAA 1i 1 n P(Ai)ni概率的统计定义（频率PAnA(n较大nnA A在n次重复试验中出现的次数注：1.满足非负性，规范性，可列可加性大数定理n足够大，频率稳定于概率2.古典型概率（等可的概率古典概（1）有限性1,2,,n（2）等可能性：P(P(P(1 定义1,2,,n为古典概型E下的本空间 A

}定a a PPA)＝mAn注：满足非负性，规范性，可列可加性生日同 解P(A)1P(A)1365364(365n解365365AnA1 人 1-3*10-几何型概率（等可 的概率如果每个发生的概率只与构成该区域的长在几何概型中，A的概率的计算如下P(A)

A的度量(长度、面积或体积.Ω的度量(长度、面积或体积注：满足非负性，规范性，可列可加性例1、从区间(0,1)中任取两个数,则两数之积小xyxy4(14(1,14 解：所取的两个数设为X,Y,则0X1,0Y1X,Y等可能落入正方形0x1,0yPP(XY1)4

1/

(111

11ln 解：以xy0x5,0yΩ{(x,y):0x5,0y

54 21 记“两人会面” AA{(x,y)Ω:|xy|

的度量Ω的度量

543

y=x-1252142 1

古典概古典概几何概有限每个基等可每个基的发生的0概率的252在平面上画有等距离的一族平行线，平行线间的距离经2a，向平面任意投2l(la)的针，试求此针典以M表示针的中x表示针投在平面上之后点M最近的一条平行线的距离，以表示针与此直线的交角 ,x):0≤≤，0≤x{相交}=A={x0≤≤，0≤x≤l

xA

ol

x=lsin P(A)

(MonteCarlo)随机模拟 的统计估经 用A发生的频率赏

n代替P(A),得P(A)Wolf(1850年)投针5000次，得≈3.1596；Smith(1855)投P(A)1.4.条件概率1.4.条件概率 的独立件概定义设A、B为两随 ，P(B)>0，则BABP(ABABAP(B)为B发生AΩ条件下，A发生的条件概率计算方 1定2缩减的样例根据气象资料统计，某四月份吹东风的A={吹东风}B={下雨}，则P(B|APAB)8308,P( 9/ 故吹东风与下雨之间有密切关P(A|B)P(AB)P(B)

P(ABC)P(A)P(

P(C

AB).P(AAA)P(A)P(

A)P(

AA P(AB)P(B)P(A|P(AB)P(AB)P(B)P(A|P(AB)P(A)P(B|P(B)袋中有5个球：3个红球，2个白球。现每次解：P(A1A2)P(A1)P(A2/A1)3 5 P(AAA

357

P(A2)P(A1A2 P(A1A2)P(352 概划分的

B2i. …A1A2是的一个划分指AAΦ i nΩnΩi ii全概

P(B)P(Ai)P(B|Ainin ∵P(B)P(B)P(BAi)P(BAiii inni

P(BA)

P(Ai)P(B|Ainin“MAXAM”是第2阶段的结果,设为P(A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|P(A|B)

P(A|B)2

C2P(B) 2C2

P(B)5 P(A)3例 123解：BP(B|Ai

P(Ai PP(B)P(B|1)P(1)P(B|A2)P(A2)P(B|A3)P(0.020.150.010.80.030.05四设A1A2An是的一个划分，则iP(A|B)i

P(Ai)P(B|Ain

，i1,2,,P(Aj)P(B|AjjPP(Aii)i)AiB) P(B|AiP(Ai)1×2×3×PP(A|B)P(B|A)P(A1110.02B1测时，带菌者呈阳性的概率为0.95，而不带菌 P(B|AP(B|A2)P(A2)P(B|A1)1)P(1)0.950.10.010.9BB

0.95

根据以往的临床记录,某种诊断 验具有如下的效果:以A表示“试验诊断被检验 ”,C表示“被诊断者的确患有癌,P(A|C)0.95,P(A|C)0.95.现在对自然人群进行普查,设被试验的人患有 0.005,即P(C)0.005,试求P(C|A).解

A)P(C)PP(C)P(ACP(C)P(AC)P(C)P(AC

0.0050.950.995即平均1000个被诊断患癌的人中大约只有87人患 P(A)P(A|B)P(AB)P(AB)P(A)P(B)，P(B)P(B)两 的独定义若P(AB)=P(A)P(B)，则 A与B相互独立性设P(B)0,AB独立PA|BPAB独立ABABAB独立多 的独定义称A1，A2，…，An相互独立