2019年重庆高考数学试卷含答案

2019年重庆市高考数学试卷含答案一、选择题.某人连续投篮5次，其中3次命中，2次未命中，则他第2次，第3次两次均命中的概率是( ).已知回归直线方程中斜率的估计值为L23,样本点的中心(45),则回归直线方程为()A.>?=1.23x4-0.08 B.y=0.08x4-1.23C.》=L23x+4 D,y=1.23x+5.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入分别为14,18,则输出的。=()44TOC\o"1-5"\h\zA.0 B.2 C.4 D.14.(1+2x2)(1+4)4的展开式中/的系数为A.12 B.16 C.20 D.24.设刃>0,函数y=sin(/x+g)+2的图象向右平移f■个单位后与原图象重合，则力的最小值是2 4 3A.— B.— C.— D,33 3 2.若角。的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是()A.sin(a十b.cos(a+')c.sin(4+a) d.cos(4+a).已知向量4=(6,1),坂是不平行于x轴的单位向量，且= 则6=()

A.B.C.D.(LO)8.。=5,b=3,则sinA：sinB的值是（）A.3A.B.C.D.(LO)8.。=5,b=3,则sinA：sinB的值是（）A.3B.—53C.一7D.9.若为虚数单位，且（a+i）i=b+i,则D.10.若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100B.7000元A.65007C.在如图的平面图形中，己知B.7000元A.65007COM=1QN=2,4MON=120\BM=23,CN=2福,则BCOM的值为B.-9D.B.-9D.0=。；+6，,则（）B.当〃=；,4]0>10D.当/?=_4,40〉10A.-15C.—6.设a,〃wR,数列｛4｝中，q=4,a“+iA.当〃=；,4]0>10C.当/?=一2吗0>10二、填空log,x,x>0.设函数/（x）={iog：（_x）,x<o,若/（〃）>/（—。），则实数。的取值范围是

.若不等式|3x-“<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则〃的取值范围是.事件46,C为独立事件，若P（A.8）=±P（后•C）=Lp（A-8，）=L则6 8 8P（B）=.已知椭圆L+L=i的左焦点为尸，点夕在椭圆上且在x轴的上方，若线段尸尸的中9 5点在以原点。为圆心，|。门为半径的圆上，则直线P/的斜率是..在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2,则它们的面积比为1：4,类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2,则它们的体枳比为上.在极坐标系中，直线Pcos£+夕sin£=〃（4>0）与圆夕=2cos8相切，则19.20.三、1 ?19.20.三、1 ?若4"=5〃=100，则2（一+:）= .ab已知向量不与B的夹角为60°,|2|二2,IB|=1,则+2b1=解答题如图,直三棱柱ABC-ABC1中,D,E分别是AB,BBi的中点.(I)(I)证明：BCi//平面AiCD;(II)设AAi=AC=CB=2,AB=2四,求三棱锥C-AiDE的体枳.(II).我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行调查，通过抽样，获得某年100为居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照（005）,（0.5,1）,…（4，今国分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图的Q的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由：（3）估计居民月用水量的中位数..如图：在A4BC中，4=闻，c=4,cosC=-^-.（1）求角A；（2）设。为A5的中点，求中线CD的长..一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为“，b,c.（I）求"抽取的卡片上的数字满足a+〃=c”的概率；（0）求"抽取的卡片上的数字。，b,c不完全相同〃的概率..已知函数/（月="?+火2+云+j过曲线y= 上的点P（1J（1））处的切线方程为y=3x+l.（1）若函数/（X）在工二一2处有极值，求/（x）的解析式；（2）在（1）的条件下，求函数y=/（x）在区间［—3』上的最大值..如图所示，在四面体PABC中，PC_LAB,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点，求证：（DDE〃平面BCP；⑵四边形DEFG为矩形.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题A解析：A【解析】【分析】基本事件总数n=C；C；=10,他第2次，第3次两次均命中包含的基本事件个数m=C；C；C；=3,由此能求出他第2次，第3次两次均命中的概率，得到答案.【详解】由题意某人连续投篮5次，其中3次命中，2次未命中，因为基本事件总数n=C；C；=10,他第2次，第3次两次均命中包含的基本事件个数m=C：C；C：=3,——所以他第2次，第3次两次均命中的概率是p=T=历.故选:A.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及排列、组合等知识的应用，其中解答中根据排列、组合求得基本事件的总数和第2次、第3次两次均命中所包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.A解析：A【解析】【分析】由题意得在线性回归方程$=加+4中B=L23，然后根据回归方程过样本点的中心得到〃的值，进而可得所求方程.【详解】设线性回归方程»=加+〃中，由题意得B=L23，・・？=L23x+4.又回归直线过样本点的中心（4,5）,*•5=1.23x4+。，**a=0.08»・•・回归直线方程为y=1.23X+0.08.故选A.【点睛】本题考查线性回归方程的求法，其中回归直线经过样本点的中心时解题的关键，利用这一性质可求回归方程中的参数，也可求样本数据中的未知参数，属于基础题.

B解析：B【解析】【分析】【详解】由a=14»b=18.a<b,则b变为18-14=4,由a>b,则a变为14-4=10,由a>b,则a变为10-4=6,由a>b,则a变为6-4=2,由aVb,则b变为4-2=2,由a=b=2,则输出的a=2.故选B..A解析：A【解析】【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数.【详解】由题意得好的系数为C：+2C：=4+8=12,故选A.【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数.C解析：C4乃4乃—个单位后3函数y=sincox+-+2的图象向右平移\ 3))'=sin[w(4r./)'=sin[w(4r./+—+2=smwx+7t4W7F+2所以有3

3

故选C6.D4卬乃〜 3k八,.3k3 =2k兀w=——,/w>0:.k>1/.w=——>—解析：D【解析】【分析】利用诱导公式化简选项，再结合角。的终边所在象限即可作出判断.

【详解】解：角。的终边在第二象限，sina十［)=cosavo,A不符;costa+yl=-sui6r<0,B不符;sin(i+<z)=-sincvo,C不符；cos(4+a)=-cos。>0,所以，D正确故选D【点睛】本题主要考查三角函数值的符号判断，考查了诱导公式，三角函数的符号是解决本题的关键.B解析：B【解析】【分析】设B二(尤,)，)()，WO),根据题意列出关于x、y的方程组，求出这两个未知数的值，即可得出向量B的坐标.【详解】设5=(x,y)，其中y#o，则=JJx+y=由题意得《厂+厂=]由题意得《厂+厂=]5/3x+y=V3,户工01x=一2L,即族=y至2故选：B.【点睛】根据向量数量枳和模建立方程组是解题的关键，考查方程思想本题考查向量坐标的求解,的应用以及运算求解能力，属于基础题.根据向量数量枳和模建立方程组是解题的关键，考查方程思想A解析：A【解析】由正弦定理可得:本题选择A选项..C解析：C【解析】【分析】利用更数乘法的运算法则化简原式，利用织数相等的性质可得结果.【详解】因为(a+i)i=b+i,即—1+ai=b+i,因为。］£凡，为虚数单位，所以。=11=-1,故选C.【点睛】本题主要考查复数的乘法运算以及更数相等的性质，属于基础题..D解析：D【解析】【分析】设目前该教师的退休金为x元，利用条形图和折线图列出方程，求出结果即可.【详解】设目前该教师的退休金为x元，则由题意得：6000x15%-xxl0%=100.解得x=8000.故选D.【点睛】本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题，属于基础题.C解析：C【解析】分析：连结MN,结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：如图所示，连结MM由瓶=2MA.CN=2NA可知点M,N分别为线段AB.AC上靠近点A的三等分点，则BC=3MN=3(0可-OM),由题意可知：OM2=12=1^西•丽=lx2xcosl20"=-l，结合数量枳的运算法则可得：^OM=3(ON-OM\OM=3ONOM-3OM2=-3-3=-6.本题选择c选项.N点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义：利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用.A解析：A【解析】【分析】对于B,令/一4+1=0,得入=；,取q=g,得到当时，«io<lO；对于C,令炉-入-2=0,得入=2或入=T,取m=2,得到当b=-2时，<7io<lO；对于。，令F-TOC\o"1-5"\h\z入-4=0,得之=上2叵，取4J+旧,得到当b=-4时，"ioVIO；对于A,2 1 22 24 4 4 216216a.. — 1 3 %、 3当心4时，-^-=« 2^.1+-=-,由此推导出上〉(-)从而% +「22 % 2、729、内0>——>10.64【详解】对于8,令X?—4+工=o,得入=L,4 2取4=！，；•d=工,・・・，a=—<10,12一2 2，当｝=9时，QioVlO,故8错误：4对于C，令戈2-入-2=0,得入=2或入=-1,取〃1=2,，。2=2,…，a〃=2V10,.•.当〃=-2时，r/io<lO,故C错误；对于。，令F-入-4=0,得％」一旧,

hui+4"^ .i+5/17* 1+\/TTTOC\o"1-5"\h\z取兄=——--,••〃，=——--,…，an=——--<10,1 2 2 2当〃=-4时，moVlO,故。错误；对于A,a^=cr+ ,a.=(a2+-)2+->-,- 22 3 2 24,4 ，八一9 1 17a4=(a+cr+—Y+—>一+—=一>14 216216当〃24时,at2.—>(-)\A«io>—>10.故A正确.4 2 64故选A.【点睛】遇到此类问题,组>3故选A.【点睛】遇到此类问题,不少考生会一筹莫展,利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论。的可能取值，利用“排除法”求解.二、填空题13.【解析】【分析】【详解】由题意或或或则实数的取值范围是故答案为解析：(-L0)u(L+8)【解析】【分析】【详解】由题意/(〃)>/(一。)=><a>0log.a>由题意/(〃)>/(一。)=><a>0log.a>log】a或<a<0log】(-a)>log2(-a)=><4>01或a>—aa<01 na>l或一1<4<0,则实数。的取值范围是(一1、0)。(1,+8),故答案为—>—aa(一1,0)51，+°°).

14.【解析】【分析】【详解】由得由整数有且仅有123知解得解析：（5,7）【解析】【分析】Z?-4 b+4 Z?-4 b+4 <x< 3/?—40<——<1由整数有且仅有1,2,3由整数有且仅有1,2,3知〈IA,解得5Vb<7rA+43< <43.【解析】【分析】【详解】分析：根据独立事件的关系列出方程解出详解：设因为所以所以所以点睛：本题主要考查相互独立事件的概率的乘法公式及对立事件的概率关系属于中档题解析：|【解析】【分析】【详解】分析：根据独立事件的关系列出方程，解出P（B）.详解：设P（A）=a,P（B）=b,P（C）=c,因为尸=,1ab=-6(l-b)c=g皿=；所以a=t，b==,c=e3 2 4所以P（B）=；点睛：本题主要考查相互独立事件的概率的乘法公式及对立事件的概率关系，属于中档题..【解析】【分析】结合图形可以发现利用三角形中位线定理将线段长度用坐标表示成圆的方程与椭圆方程联立可进一步求解利用焦半径及三角形中位线定理则更为简洁【详解】方法1：由题意可知由中位线定理可得设可得联立解析：岳【解析】【分析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.【详解】方法1：由题意可知|OF|=|OMI=c=2,由中位线定理可得卢娟=21|=4,设P(x,y)可得(x-2)2+/=16,联立方程二+22=1TOC\o"1-5"\h\z9 53 21可解得工二一大/=-7(舍)，点尸在椭圆上且在工轴的上方，2 2岳I_■\ Y求得P—»25，所以kpF=—j—=a/T52方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知|。/1=1。〃1=。=2,由中位线定理可得|”|二2|QM|=4,即〃一%=4=＞七=一一厉求得「~?."2 ，所以心尸=十=灰.2【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.17.1：8【解析】考查类比的方法所以体积比为1:8

解析：解析：1：8【解析】考查类比的方法,=J1=7L，TL=7x1=1,所以体积比为1：8.考查类比的方法,匕处,邑/…28.【解析】【分析】根据将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程再根据圆心到直线距离等于半径解出【详解】因为由得由得即即因为直线与圆相切所以【点睛】（1）直角坐标方程化为极坐标方程只要运用公式及直接代入并化解析：1+&【解析】【分析】根据"=V+ =pcos<9,）-=夕sin夕将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程，再根据圆心到直线距离等于半径解出。.【详解】因为0?=x2+y2,x=pcqs0,y=°sin£,由pqqsO+psin0=a(ci>0),得x+y=a(a>0),因为直线与圆相切，所以由夕=2cos〃，得"=2pcos。，BPx1+y2=2x,即(x-l):+y?=1,因为直线与圆相切，所以a=1± •/a>0,/.a=l+JT.【点睛】（1）直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式x=pcos8及），=夕sin夕直接代入并化简即可；（2）极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如0cos仇。sinap?的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以（或同除以）夕及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验..【解析】【分析】根据所给的指数式化为对数式根据对数的换地公式写出倒数的值再根据对数式的性质得到结果【详解】则故答案为【点睛】本题是一道有关代数式求值的问题解答本题的关键是熟练应用对数的运算性质属于基解析：2【解析】【分析】根据所给的指数式，化为对数式，根据对数的换地公式写出倒数的值，再根据对数式的性质，得到结果.【详解】•.•4"=5〃=100，a=log4100,/?=log5100,2・.・一十7=log1004+2log1005=log0a100=1,ab(12、则2一+了=2I。b)故答案为2【点睛】本题是一道有关代数式求值的问题，解答本题的关键是熟练应用对数的运算性质，属于基础题.20.【解析】【分析】【详解】•・•平面向量与的夹角为・•・・・•故答案为点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式(2)常用来求向量的模解析：2召【解析】【分析】【详解】•・•平面向量口与6的夹角为60°,冏=2,内=1•*ci-b=2xlxcos60°=1.,B+2可=+尸=J片+4无6+(25>="+4+4=24故答案为点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式.(2)同=病方常用来求向量的模.三、解答题(I)见解析(II)^c-\de~—^—^y/6x.y/3xy/2=1【解析】试题分析：(I)连接ACl交AiC于点F,则DF为三角形ABCi的中位线，故DF〃BC1.再根据直线和平面平行的判定定理证得BCi〃平面AiCD.(II)由题意可得此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形，由D为AB的中点可得CD_L平面ABB【Ai.求得CD的值，利用勾股定理求得AiD、DE和AiE的值，可得AiD_LDE.进而求得S/XAiDE的值，再根据三棱锥C-A]DE的体枳为;・Saaide・CD,运算求得结果试题解析：(1)证明：连结AJ交A】C于点F,则F为AJ中点又D是AB中点，连结DF,则BJ〃DF.3分因为DFu平面AiCD,BJ不包含于平面AiCD,4分所以BJ〃平面AiCD.5分H(2)解：因为ABC-AiBiJ是直三棱柱，所以AA」CD.由己知AC=CB,D为AB的中点，所以CD_LAB.又AAmAB=A,于是CD_L平面ABBA.8分由AAi=AC=CB=2,AB=2%用得NACB=90。，CD二我，A把二两，DE=j5A]E=3,故AiD2+DE2=AiE2,即DE±AiD10分所以三菱锥C-AiDE的体积为：VC-A}DE=iXXXX\,1=1*建分考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积(1)(1=0.3； (2)36000；(3)2.04.【解析】【分析】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力.第(I)问，由高x组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为1,计算出a的值；第(H)问，利用高x组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率x样本容量=频数，计算所求人数：第(III)问，将前5组的频率之和与前4组的频率之和进行比较，得出2SXV2.5,再估计月均用水量的中位数.【详解】(I)由频率分布直方图，可知：月均用水量在00.5)的频率为0.08x0.5=0.04.同理，在[0.5』)，[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5)等组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由1-(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06^0.04^0.02)=0.5xa+0.5xa,解得a=0.30.(H)由(I)100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000x0.12=36000.(III)设中位数为x吨.因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5,而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5所以2<x<2.5.由0.50x(x-2)=0.5-0.48,解得x=2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.【考点】频率分布直方图

【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力.在频率分布直方图中，第n个小矩形的面积就是相应组的频率，所有小矩形的面积之和为I,这是解题的关键，也是识图的基础.(1)A=7；(2)y/2【解析】【分析】（1）通过cosC求出sinC的值，利用正弦定理求出sinA即可得角A；（2）根据sin5=sin（A+C）求出smB的值，由正弦定理求出边〃，最后在MC。中由余弦定理即可得结果.【详解】(1),**cosC=— sinC=y/l—cos2C=由正弦定理sinAsiiiCVlO_4，即siiiA2 -由正弦定理sinAsiiiCVlO_4，即siiiA2 -得sinA=走，・・・cosC=_无＜0，为钝角,2 5A为锐角,故A=J.4(2):5=)一(4+C),/•sm5=sm(A+C)=smAcosC+cosAsmC=邑n邑还=叵.2 5 10b_V10由正弦定理得siiiBsiiiA,即由正弦定理得siiiBsiiiAIo"T在AACQ中由余弦定理得:CO?二心+AC2-2AOACcosA=2+4—2x&x2x¥=2，・・・。。="【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考杳三角函数知识的运用，属于中档题.【解析】试题分析：（1）所有的可能结果（〃，"c）共有3x3x3=27种，而满足〃+人=。的(a,b,c)共计3个，由此求得“抽取的卡片上的数字满足4+b=c〃的概率；(2)所有的可能结果共有3x3x3=27种，用列举法求得满足“抽取的卡片上的数字。、b、c完全相同”的共计三个，由此求得“抽取的卡片上的数字。、b、c完全相同”的概率，再用1减去此概率，即得所求.试题解析：(1)所有的可能结果(内瓦c)共有3x3x3=27种，而满足。+6=「的(。也。)有(1,1,2)、(1,2,3)、(2,1,3)共计3个3 1故”抽取的卡片上的数字满足a+b=c〃的概率为—=-279(2)所有的可能结果c)共有3x3x3=27种满