微分方程模型传染病

微分方程模型传染病第1页，共57页，2023年，2月20日，星期四May.05,2003adiseasethathasrockedAsianmarkets,ruinedthetouristtradeofanentireregion,nearlybankruptedairlinesandspreadpanicthroughsomeoftheworld'slargestcountries.第2页，共57页，2023年，2月20日，星期四第3页，共57页，2023年，2月20日，星期四问题描述传染病的传播过程分析受感染人数的变化规律预报传染病高潮到来的时刻预防控制传染病蔓延5.1传染病模型三类人已感染者(Infective,病人)未感染者(Susceptible，易感染者)移出者(Removed，治愈免疫，隔离，死亡等)第4页，共57页，2023年，2月20日，星期四已感染人数(病人)i(t)每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为Malthus模型假设若有效接触的是病人，则不能使病人数增加必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?短期预测模型第5页，共57页，2023年，2月20日，星期四Logistic模型（SI模型）区分已感染者(infective)和未感染者(易感染者susceptible)假设1）总人数N不变，病人和健康人的比例分别为2）每个病人每天有效接触人数为,且使接触的健康人致病建模~日接触率AIDS等第6页，共57页，2023年，2月20日，星期四1/2tmii010ttm~传染病高潮到来时刻(日接触率)tmLogistic模型所有人被感染??t=tm,di/dt最大感染无治愈模型Logistic模型第7页，共57页，2023年，2月20日，星期四SIS模型传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染增加假设伤风、痢疾等3）病人每天治愈的比例为~日治愈率建模~日接触率1/~感染期~一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。有治愈无免疫模型SusceptibleInfectiveSusceptible第8页，共57页，2023年，2月20日，星期四SIS的解析解试试看：解析解怎样求？dsolve('Dy=lemda*y*(1-y)-mu*y','y(0)=i0','t')第9页，共57页，2023年，2月20日，星期四SIS模型i0i0接触数=1~阈值感染期内有效接触感染的人数不超过病人数1-1/i0思考：Logistic模型(SI模型)如何看作SIS模型的特例？idi/dt01>10ti>11-1/i0t1di/dt<0第10页，共57页，2023年，2月20日，星期四SIR模型传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者肝炎、SARS等假设1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为2）病人的日接触率,日治愈率,

接触数=/建模需建立的两个方程有治愈有免疫模型SusceptibleInfectiveRemoved第11页，共57页，2023年，2月20日，星期四SIR模型无法求出的解析解！！！在相平面上研究解的性质思考：r(t)的方程？R0=λS/=S表示平均每个病人总传播人数。R0<1,传染病不蔓延第12页，共57页，2023年，2月20日，星期四SIR模型消去dt相轨线的定义域相轨线(有解析解)11si0D在D内作相轨线的图形，进行分析第13页，共57页，2023年，2月20日，星期四si101DSIR模型相轨线及其分析传染病蔓延传染病不蔓延s(t)单调减相轨线的方向P1s0imP1:s0>1/

i(t)先升后降至0P2:s0<1/

i(t)单调降至01/~阈值P3P4P2S0第14页，共57页，2023年，2月20日，星期四SIR模型预防传染病蔓延的手段(日接触率)卫生水平(日治愈率)医疗水平传染病不蔓延的条件——s0<1/的估计降低s0提高r0>1-1/

提高阈值1/降低(=/),群体免疫第15页，共57页，2023年，2月20日，星期四疫情实证分析(Kermack,P143图)1904—1905年，孟买及西北部各省和旁遮普邦发生瘟疫，平均每周死亡1.8万人。r-孟买死亡人数。第16页，共57页，2023年，2月20日，星期四SARS疫情的实证分析与Kermack同样的方法王铎,赵宵飞.SARS疫情的实证分析和预测[J].北京大学学报(医学版),2003,5(S):72-74.第17页，共57页，2023年，2月20日，星期四一句话小结不同的领域可以共享相同或类似的数学模型，但所关注的问题会有所不同；不能求得解析解的方程仍可用相轨线办法分析解的性质。第18页，共57页，2023年，2月20日，星期四进一步的问题考虑出生和死亡因素的传染病模型考虑潜伏期的传染病模型SEIR考虑被动免疫的传染病模型MSIR考虑随机接触率的传染病模型SSIR参考/wiki/Epidemic_model第19页，共57页，2023年，2月20日，星期四补充习题理论证明P143第1~3行。在SIR模型中考虑出生与死亡的因素。假设全体人群以相同出生率生育婴儿，且婴儿为易感人群。死亡率与出生率相等，从而人群总数不变。试建立数学模型描述疾病的流行特征，并分析传染病不蔓延的条件。第20页，共57页，2023年，2月20日，星期四房室系统的概念二房室模型的建立模型求解不同给药方式分析参数估计技巧进一步推广5.4

药物在体内的分布与排除

（药物动力学之房室模型）第21页，共57页，2023年，2月20日，星期四药物进入机体形成血药浓度(单位体积血液的药物量)血药浓度需保持在一定范围内——给药方案设计

药物在体内吸收、分布和排除过程——药物动力学

建立房室模型(CompartmentalModels)房室——机体的一部分，药物在一个房室内均匀分布(血药浓度为常数)，在房室间按一定规律转移本节讨论二室模型——中心室(心、肺、肾等)和周边室(四肢、肌肉等)药物动力学之房室系统第22页，共57页，2023年，2月20日，星期四第23页，共57页，2023年，2月20日，星期四中心室周边室给药排除模型假设中心室(1)和周边室(2),容积不变药物在房室间转移速率及向体外排除速率，与该室血药浓度成正比药物从体外进入中心室，在二室间相互转移,从中心室排出体外模型建立第24页，共57页，2023年，2月20日，星期四复习：常系数齐次线性方程组通解(n=2)(1)两个不等的实数特征根,,(2)两个相等的实数特征根=,(3)两个共轭复数特征根i,第25页，共57页，2023年，2月20日，星期四线性常系数非齐次方程对应齐次方程通解模型建立可证明：特征方程有两个不相等负根(习题5)第26页，共57页，2023年，2月20日，星期四几种常见的给药方式1.快速静脉注射t=0瞬时注射剂量D0的药物进入中心室,血药浓度立即为D0/V1给药速率f0(t)和初始条件第27页，共57页，2023年，2月20日，星期四2.恒速静脉滴注t>T,c1(t)和c2(t)按指数规律趋于零(解的公式？)药物以速率k0进入中心室0Tt££t<T（充分大）,c1(t)C1,c2(t)C2第28页，共57页，2023年，2月20日，星期四详解方程非其次项是常数，所以设解非其次项也是常数，令方程的通解为代入方程，比较两边e-t,e-t以及常数项系数得到6式，删去冗余两式得由后两式解得由前两式得再利用初始条件c1(0)=0,c2(0)=0解得(可利用Matlab的符号工具箱)第29页，共57页，2023年，2月20日，星期四t>T以后，静脉注射停止第30页，共57页，2023年，2月20日，星期四吸收室中心室3.口服或肌肉注射相当于药物(剂量D0)先进入吸收室，吸收后进入中心室吸收室药量x0(t)错！怎样确定A,B,E?C2(t)的公式？第31页，共57页，2023年，2月20日，星期四第32页，共57页，2023年，2月20日，星期四参数估计技巧各种给药方式下的c1(t),c2(t)取决于参数k12,k21,k13,V1,V2t=0快速静脉注射D0,在ti(i=1,2,n)测得c1(ti)由较大的用最小二乘法定A,由较小的用最小二乘法定B,为什么不4个参数一起拟合？第33页，共57页，2023年，2月20日，星期四进入中心室的药物全部排除参数估计技巧第34页，共57页，2023年，2月20日，星期四房室模型建模小结分析各房室的关联；建立线性微分方程组模型；写出微分方程组的通解；用初始条件和代入方程求得特解；用观测数据估计模型参数参数估计可用分解技巧，简化计算，使结果更可靠。第35页，共57页，2023年，2月20日，星期四进一步的问题多房室系统模型非线性房室模型随机房室模型房室模型在其他领域的应用其他注射方式下的参数估计问题(思考：恒速静脉滴注情形的参数估计技巧？)第36页，共57页，2023年，2月20日，星期四参考阅读/models.php周晓芳,陈小全,周鲁,生理房室模型药物动力学的研究进展,预防医学情报杂志2002年06期陈增敬,关于血浆中放射性钙C^47α浓度的计算公式,数理统计与应用概率，1995年10卷3期第37页，共57页，2023年，2月20日，星期四补充习题3给出P155-156口服或肌肉注射情形下二房室模型的解。提示：

第38页，共57页，2023年，2月20日，星期四补充习题4在北美的五大湖中，安大略湖处于伊利湖的下游，安大略湖不仅接受伊利湖来的水，还要接受非伊利湖流入的水，已知流入安大略的水有5/6是伊利湖流出的。试建模描述这两个湖的污染情况。假设除去控制不了由伊利湖自安大略湖的流动外，流入伊利湖和安大略湖的所有污染都暂时被停止了。试计算把安大略净化到50%以及5%所需要的时间。

第39页，共57页，2023年，2月20日，星期四人口模型介绍PDE建模人口预测人口控制与计划生育几个人口发展指数参考文献5.6人口预测和控制

(偏微分方程模型)第40页，共57页，2023年，2月20日，星期四研究人口模型的意义人口控制人口系统工程社会保障寿险精算种群生态学第41页，共57页，2023年，2月20日，星期四人口模型概述宏观模型:总人口,不考虑年龄，Malthus模型,Logistic模型(第一章)微观模型：考虑年龄结构1930's,Lotka积分方程模型1940's,Leslie差分方程模型(第七章)1960's,Verhulst偏微分方程模型1970's,Pollard随机方程模型

第42页，共57页，2023年，2月20日，星期四考虑年龄分布只考虑自然出生与死亡，不计迁移人口发展方程人口PDE建模和预测第43页，共57页，2023年，2月20日，星期四人口发展方程一阶偏微分方程为什么没有考虑出生率？第44页，共57页，2023年，2月20日，星期四人口预测~已知函数（人口调查）~出生率（控制人口手段）0tr解释：从现在t=0看，10年以后年龄r小于t=10岁的人的密度由将来的出生率决定；年龄大于10岁的人的密度由现在的人口分布决定证明作为习题第45页，共57页，2023年，2月20日，星期四出生率f(t)的模型~总和生育率（平均每个育龄妇女生育胎数）h~生育模式0第46页，共57页，2023年，2月20日，星期四人口预测：发展方程+出生率模型第47页，共57页，2023年，2月20日，星期四人口指数1）人口总数2）平均年龄3）平均寿命t时刻出生的人，死亡率按(r,t)计算的平均存活时间4）老龄化指数控制生育率控制N(t)不过大控制(t)不过高时刻存活的比例第48页，共57页，2023年，2月20日，星期四补充习题5验证P164(7)式为P163方程(5)的解。第49页，共57页，2023年，2月20日，星期四人口红利制造中国30年经济奇迹人口问题造成中国70年的贫穷第50页，共57页，2023年，2月20日，星期四胡鞍钢：“一对夫妇一个孩儿”该结束了第51页，共57页，2023年，2月20日，星期四“一对夫妇一个孩儿”该结束了

第52页，共57页，2023年，2月20日，星期四调整人口生育政策势在必行

少子化.妇女总和生育率的过快下降，明显低于正常的人口生育更替水平。在1995年前后我国0至14岁少儿人口绝对数达到了最高峰，大约为3.34亿人，2008年的时候减少到2.52亿人。老龄化。根据联合国人口署的预测，到2020年我国60岁以上人口将占到总人口的16.7%，2050年将进一步上升到31.1%，大大高于届时的世界平均水平(21.9%)。劳动人口缺乏.15至59岁劳动人口大约在2015