2022届高考数学一轮复习第七章立体几何第四节空间中的垂直关系课时规范练理含解析新人教版

第四节空间中的垂直关系[A组根底对点练]1．设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，如此a⊥b的一个充分不必要条件是()A．a⊥c，b⊥cB．α⊥β，a⊂α，b⊂βC．a⊥α，b∥αD．a⊥α，b⊥α解析：对于选项C，在平面α内存在c∥b，因为a⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；选项AB中，直线a，b可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；选项D中一定推出a∥b.答案：C2．平面α，β，直线l.假如α⊥β，α∩β＝l，如此()A．垂直于平面β的平面一定平行于平面αB．垂直于直线l的直线一定垂直于平面αC．垂直于平面β的平面一定平行于直线lD．垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直解析：垂直于平面β的平面与平面α重合、平行或相交，故A不正确；垂直于直线l的直线假如在平面β内，如此一定垂直于平面α，否如此不一定，应当选项B不正确；垂直于平面β的平面可能垂直于直线l，应当选项C不正确；由面面垂直的判定定理知，垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直，应当选项D正确．答案：D3．(2021·某某某某模拟)如下列图，在四面体ABCD中，AB⊥AC，BD⊥AC，那么D在平面ABC内的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：由AB⊥AC，BD⊥AC，又AB∩BD＝B，如此AC⊥平面ABD，而AC⊂平面ABC，如此平面ABC⊥平面ABD，因此D在平面ABC内的射影H必在平面ABC与平面ABD的交线AB上．答案：A4．三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面α，β，如此如下命题正确的答案是()A．假如m∥n，n⊂α，如此m∥αB．假如α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，如此n⊥αC．假如l⊥n，m⊥n，如此l∥mD．假如l⊥α，m⊥β且l⊥m，如此α⊥β解析：假如m∥n，n⊂α，如此m∥α或m⊂α，应当选项A不正确；假如α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，如此n与α相交或n∥α或n⊂α，应当选项B不正确；假如l⊥n，m⊥n，如此l与m相交、平行或异面，应当选项C不正确；假如l⊥α，m⊥β且l⊥m，如此由直线与平面垂直的性质定理和平面与平面垂直的判定定理知α⊥β，应当选项D正确．答案：D5．(2020·某某某某模拟)如下列图，在正四面体P­ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC解析：因BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，选项A结论成立；易证BC⊥平面PAE，BC∥DF，所以选项BC结论均成立；点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心，不在中位线DE上，应当选项D结论不成立．答案：D6．直线PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任一点，如此如下关系中不正确的答案是()A．PA⊥BCB．BC⊥平面PACC．AC⊥PBD．PC⊥BC解析：AB为直径，C为圆上异于A，B的一点，所以AC⊥BC.因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC.因为PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，从而PC⊥BC.答案：C7．(2020·某某某某模拟)m，n，l是不同的直线，α，β是不同的平面，在如下命题中：①假如m⊥n，l⊥n，如此m∥l；②假如m⊂α，n⊂β，m⊥n，如此α⊥β；③假如m∥l，m⊥α，l⊂β，如此α⊥β；④假如α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，如此m⊥β.其中正确命题的序号为()A．①③B．③④C．②④D．①③④解析：如正方体同一个顶点的三条棱，满足①的条件，但三条棱都相交，故①错；如下列图，α∥β，故②错；因为m∥l，m⊥α，如此l⊥α，又l⊂β，所以α⊥β，故③正确；由面面垂直的性质知，④正确．故正确的命题为③④.答案：B8．如下列图，在三棱锥D­ABC中，假如AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，如此如下命题中正确的答案是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE解析：因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理，DE⊥AC，由于DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.答案：C9．(2019·高考卷)l，m是平面α外的两条不同直线．给出如下三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________________________．解析：把其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，共有三种情况．对三种情况逐一验证．①②作为条件，③作为结论时，还可能l∥α或l与α斜交；①③作为条件，②为结论和②③作为条件，①为结论时，容易证明成立．答案：假如l⊥m，l⊥α，如此m∥α(答案不唯一)10．在如下四个正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，如此在各个正方体中，直线BD1与平面EFG垂直的是________．(填序号)解析：如下列图，在正方体中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，易知E，F，G，M，N，Q六个点共面，直线BD1与平面EFMNQG垂直，并且选项①②③中的平面与这个平面重合，满足题意，只有选项④中的直线BD1与平面EFG不垂直，不满足题意．答案：①②③11．如下列图，△ABC和△BCE是边长为2的正三角形，且平面ABC⊥平面BCE，AD⊥平面ABC，AD＝2eq\r(3).证明：DE⊥BC.证明：取BC的中点F，连接AF，EF，BD，DF，因为△BCE是正三角形，所以EF⊥BC.又因为平面ABC⊥平面BCE，且交线为BC，所以EF⊥平面ABC.又因为AD⊥平面ABC，所以AD∥EF，所以D，A，F，E共面．易知在正三角形ABC中，AF⊥BC，AF∩EF＝F，所以BC⊥平面DAFE.又因为DE⊂平面DAFE，故DE⊥BC.12．如下列图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，点E，F分别为BB1，AC的中点．(1)求证：BF∥平面A1EC；(2)求证：平面A1EC⊥平面ACC1A1.证明：(1)连接AC1交A1C于点O，连接OE，OF，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，四边形ACC1A1为平行四边形，所以OA＝OC1.又因为F为AC中点，所以OF∥CC1且OF＝eq\f(1,2)CC1.因为点E为BB1中点，所以BE∥CC1且BE＝eq\f(1,2)CC1，所以BE∥OF且BE＝OF，所以四边形BEOF是平行四边形，所以BF∥OE.又因为BF⊄平面A1EC，OE⊂平面A1EC，所以BF∥平面A1EC.(2)由(1)知BF∥OE，因为AB＝CB，F为AC中点，所以BF⊥AC，所以OE⊥AC.又因为AA1⊥底面ABC，而BF⊂底面ABC，所以AA1⊥BF.由BF∥OE，得OE⊥AA1，而AA1，AC⊂平面ACC1A1，且AA1∩AC＝A，所以OE⊥平面ACC1A1.因为OE⊂平面A1EC，所以平面A1EC⊥平面ACC1A1.[B组素养提升练]1．(2020·某某某某七校联考)如下列图，六棱锥P­ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABCDEF，如此如下结论不正确的答案是()A．CD∥平面PAFB．DF⊥平面PAFC．CF∥平面PABD．CF⊥平面PAD解析：选项A中，∵CD∥AF，AF⊂平面PAF，CD⊄平面PAF，∴CD∥平面PAF成立；选项B中，∵六边形ABCDEF为正六边形，∴DF⊥AF.又∵PA⊥平面ABCDEF，∴PA⊥DF，∴DF⊥平面PAF成立；选项C中，CF∥AB，AB⊂平面PAB，CF⊄平面PAB，∴CF∥平面PAB；而选项D中CF与AD不垂直．答案：D2．在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是AC1，A1B1的中点，点P在其外表上运动，如此总能使MP与BN垂直的点P的轨迹的周长等于________．解析：分别取BB1，CC1的中点E，F，连接AE，EF，FD，如此BN⊥平面AEFD，过点M作平面α，使α∥平面AEFD，如此平面α与正方体外表的交线即为点P的轨迹，该轨迹为矩形，其周长与矩形AEFD的周长相等，又矩形AEFD的周长为2＋eq\r(5)，所以所求轨迹的周长为2＋eq\r(5).答案：2＋eq\r(5)3．(2020·某某某某质量检测)如下列图，三棱柱ABC­A1B1C1，侧面ABB1A1为菱形，侧面ACC1A1为正方形，平面ABB1A1⊥平面ACC1A1.(1)求证：A1B⊥平面AB1C；(2)假如A1B∩AB1＝O，AB＝2，∠ABB1＝60°，求三棱锥C1­COB1的体积．解析：(1)证明：因为平面ABB1A1⊥平面ACC1A1，侧面ACC1A1为正方形，所以AC⊥平面ABB1A1，所以A1B⊥AC.因为侧面ABB1A1为菱形，所以A1B⊥AB1，又AC∩AB1＝A，所以A1B⊥平面AB1C.(2)因为A1C1∥AC，A1C1⊄平面AB1C，AC⊂平面AB1C，所以A1C1∥平面AB1C.连接A1C(图略)，如此三棱锥C1­COB1的体积等于三棱锥A1­COB1的体积．因为A1B⊥平面AB1C，所以A1O为三棱锥A1­COB1的高．因为AB＝2，∠ABB1＝60°，侧面ABB1A1为菱形，所以AB1＝2，A1B＝2eq\r(3)，所以OB1＝1，OA1＝eq\r(3)，所以S△COB1＝eq\f(1,2)OB1·CA＝eq\f(1,2)×1×2＝1，所以V三棱锥C1­COB1＝V三棱锥A1­COB1＝eq\f(1,3)A1O·S△COB1＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×1＝eq\f(\r(3),3).4．(2021·某某某某模拟)如下列图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝eq\f(π,3)，△PAD是等边三角形，F为AD的中点，PD⊥BF.(1)求证：AD⊥PB；(2)假如E在线段BC上，且EC＝eq\f(1,4)BC，能否在棱PC上找到一点G，使平面DEG⊥平面ABCD？假如存在，求出三棱锥D­CEG的体积；假如不存在，请说明理由．解析：(1)证明：连接PF，∵△PAD是等边三角形，F是AD的中点，∴PF⊥AD.∵底面ABCD是菱形，∠BAD＝eq\f(π,3)，∴BF⊥AD.又PF∩BF＝F，∴AD⊥平面BFP，又PB⊂平面BFP，∴AD⊥PB.(2)能在棱PC上找到一点G，使平面DEG⊥平面ABCD.由(1)知AD⊥BF，∵PD⊥BF，AD∩PD＝D，∴BF⊥平面PAD.又BF⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PAD.又平面ABCD∩平面PAD＝AD，且PF⊥AD，∴PF⊥平面ABCD.连接CF交DE于点H，过H作HG∥PF交PC于点G，∴GH⊥平面ABCD.