概率论习题全部

本文格式为Word版，下载可任意编辑——概率论习题全部习题一

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习题一

1.用集合的形式写出以下随机试验的样本空间与随机事件A：

（1）掷两枚均匀骰子，观测朝上面的点数，事件A表示“点数之和为7〞；

（2）记录某电话总机一分钟内接到的召唤次数，事件A表示“一分钟内召唤次数不超过3次〞；

（3）从一批灯泡中随机抽取一只，测试它的寿命，事件A表示“寿命在2000到2500小时之间〞.

2.投掷三枚大小一致的均匀硬币，观测它们出现的面.（1）试写出该试验的样本空间；

（2）试写出以下事件所包含的样本点：A={至少出现一个正面}，B={出现一正、二反}，C={出现不多于一个正面}；

（3）如记Ai={第i枚硬币出现正面}（i=1，2，3），试用A1,A2,A3表示事件A，B，C.3.袋中有10个球，分别编有号码1～10，从中任取1球，设A＝{取得球的号码是偶数}，B＝{取得球的号码是奇数}，C={取得球的号码小于5}，问以下运算表示什么事件：

（1）A?B；（2）AB；（3）AC；（4）AC；（5）AC；（6）B?C；（7）A?C.3??1??14.在区间[0,2]上任取一数，记A??x?x?1?，B??x?x??，求以下事件的表

2??2??4达式：（1）A?B；（2）AB；（3）AB，（4）A?B.

5.用事件A，B，C的运算关系式表示以下事件：

（1）A出现，B，C都不出现；（2）A，B都出现，C不出现；（3）所有三个事件都出现；

（4）三个事件中至少有一个出现；（5）三个事件都不出现；（6）不多于一个事件出现；（7）不多于二个事件出现；

（8）三个事件中至少有二个出现.

6.一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三个产品，设Ai表示事件“第i次抽到废品〞，试用Ai的运算表示以下各个事件：

（1）第一次、其次次中至少有一次抽到废品；（2）只有第一次抽到废品；（3）三次都抽到废品；

（4）至少有一次抽到合格品；（5）只有两次抽到废品.

7.接连进行三次射击，设Ai={第i次射击命中}（i＝1，2，3），试用A1,A2,A3表示下述事件：

（1）A={前两次至少有一次击中目标}；

（2）B={三次射击恰好命中两次}；

2工程数学概率统计简明教程（其次版）

（3）C={三次射击至少命中两次}；（4）D={三次射击都未命中}.

8.盒中放有a个白球b个黑球，从中有放回地抽取r次（每次抽一个，记录其颜色，然后放回盒中，再进行下一次抽取）.记Ai={第i次抽到白球}（i＝1，2，?，r），试用{Ai}表示下述事件：

（1）A={首个白球出现在第k次}；（2）B={抽到的r个球同色}，

其中1?k?r.

*9.试说明什么状况下，以下事件的关系式成立：（1）ABC=A；（2）A?B?C?A.

习题二

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习题二

1.从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率.

2.一口袋中有5个红球及2个白球.从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后，再从这袋中任取一球.设每次取球时口袋中各个球被取到的可能性一致.求：

（1）第一次、其次次都取到红球的概率；

（2）第一次取到红球、其次次取到白球的概率；（3）两次取得的球为红、白各一的概率；（4）其次次取到红球的概率.

3.一个口袋中装有6只球，分别编上号码1～6，随机地从这个口袋中取2只球，试求：（1）最小号码是3的概率；（2）最大号码是3的概率.

4.一个盒子中装有6只晶体管，其中有2只是不合格品，现在作不放回抽样.接连取2次，每次随机地取1只，试求以下事件的概率：

（1）2只都是合格品；

（2）1只是合格品，一只是不合格品；（3）至少有1只是合格品.

5.从某一装配线上生产的产品中选择10件产品来检查.假定选到有缺陷的和无缺陷的产品是等可能发生的，求至少观测到一件有缺陷的产品的概率，结合“实际推断原理〞解释得到的上述概率结果.

6.某人去银行取钱，可是他忘掉密码的最终一位是哪个数字，他尝试从0～9这10个数字中随机地选一个，求他能在3次尝试之中解开密码的概率.

7.掷两颗骰子，求以下事件的概率：（1）点数之和为7；（2）点数之和不超过5；（3）点数之和为偶数.

8.把甲、乙、丙三名学生随机地分派到5间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住8人，试求这三名学生住在不同宿舍的概率.

9.总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位秘书，求以下事件的概率：（1）事件A={其中恰有一位精通英语}；（2）事件B={其中恰有两位精通英语}；（3）事件C={其中有人精通英语}.

10.甲袋中有3只白球，7只红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球，现从两个袋中各取一球，求两球颜色一致的概率.

11.有一轮盘游戏，是在一个划分为10等份弧长的圆轮上旋转一个球，这些弧上依次标着0～9十个数字.球中止在那段弧对应的数字就是一轮游戏的结果.数字按下面的方式涂色：0看作非奇非偶涂为绿色，奇数涂为红色，偶数涂为黑色.事件A={结果为奇数}，事件B={结果为涂黑色的数}.求以下事件的概率：

（1）P(A)；（2）P(B)；（3）P(A?B)；（4）P(AB).

12.设一质点一定落在xOy平面内由x轴，y轴及直线x+y=1所围成的三角形内，而落在这三角形内各点处的可能性相等，即落在这三角形内任何区域上的可能性与这区域的面积成正比，计算这质点落在直线x=

1的左边的概率.313.甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6h，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必需等待的概率.

4工程数学概率统计简明教程（其次版）

14.已知A?B，P(A)?0.4，P(B)?0.6，求：

（1）P(A),P(B)；（2）P(A?B)；（3）P(AB)；（4）P(BA),P(AB)；（5）P(AB).15.设A，B是两个事件，已知P（A）=0.5，P（B）=0.7，P(A?B)=0.8，试求：P（A-B）与P（B-A）.

*16.盒中装有标号为1~r的r个球，今随机地抽取n个，记录其标号后放回盒中；然后再进行其次次抽取，但此时抽取m个，同样记录其标号，这样得到球的标号记录的两个样本，求这两个样本中恰有k个标号一致的概率.

习题三

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习题三

1.已知随机事件A的概率P(A)?0.5，随机事件B的概率P(B)?0.6及条件概率

P(BA)?0.8，试求P(AB)及P(AB).

2.一批零件共100个，次品率为10％，每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求第三次才取得正品的概率.

3.某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项投资都做的概率为0.19.

（1）已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？（2）已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？

4.罐中有m个白球，n个黑球，从中随机抽取一个，若不是白球则放回盒中，再随机抽取下一个；若是白球，则不放回，直接进行其次次抽取，求其次次取得黑球的概率.

5.一个食品处理机制造商分析了好多消费者的投诉，发现他们属于以以下出的6种类型:

保质期内保质期后擦伤18％12％投诉原因凹痕13％22％外观32％3％假使收到一个消费者的投诉，已知投诉发生在保质期内，求投诉的原因是产品外观的概率.

6.给定P(A)?0.5，P(B)?0.3，P(AB)?0.15，验证下面四个等式：

P(AB)?P(A)；P(AB)?P(A)；P(BA)?P(B)；P(BA)?P(B).

7.已知甲袋中装有6只红球，4只白球，乙袋中装有8只红球，6只白球.求以下事件的概率：（1）随机地取一只袋，再从该袋中随机地取一只球，该球是红球；（2）合并两只口袋，从中随机地取1只球，该球是红球.

8.设某一工厂有A，B，C三间车间，它们生产同一种螺钉，每个车间的产量，分别占该厂生产螺钉总产量的25％、35％、40％，每个车间成品中次货的螺钉占该车间出产量的百分比分别为5％、4％、2％.假使从全厂总产品中抽取一件产品，（1）求抽取的产品是次品的概率；（2）已知得到的是次品，求它依次是车间A，B，C生产的概率.

9.某次大型体育运动会有1000名运动员参与，其中有100人服用了违禁药品.在使用者中，假定有90人的药物检查呈阳性，而在未使用者中也有5人检验结果显示阳性.假使一个运动员的药物检查结果是阳性，求这名运动员确实使用违禁药品的概率.

10.发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“*〞和“—〞.由于通信系统受到干扰，当发出信号“*〞时，收报台未必收到信号“*〞，而是分别以概率0.8和0.2收到信号“*〞和“—〞.同样，当发出信号“—〞时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“—〞和“*〞.求：（1）收报台收到信号“*〞的概率；（2）当收报台收到信号“*〞时，发报台确是发出信号“*〞的概率.

*11.甲袋中有4个白球6个黑球，乙袋中有4个白球2个黑球.先从甲袋中任取2球投入乙袋，然后再从乙袋中任取2球，求从乙袋中取到的2个都是黑球的概率.

12.设事件A,B相互独立.证明：A,B相互独立，A,B相互独立.

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独立使用，则求有效寿命U?max(X,Y)的密度函数.

18.设随机变量X，Y相互独立，且都听从区间（0，1）上的均匀分布，记Z是以X，Y为边长的矩形的面积，求Z的密度函数.

*19.设随机变量X，Y相互独立，且都听从区间（0，1）上的均匀分布，求Z?密度函数.

（提醒：使用FZ(z)?P(Z?z)?P(Z?zY?y)fY(y)dy?X与Y的独立性.）

X的Y??P(X?yz)dy，其中用到

01习题七

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习题七

1.设随机变量X的分布律为

X-101216212概率131611214求：（1）E(X);（2）E(?X?1);（3）E(X);（4）D(X).

2.设随机变量X听从参数为?的泊松分布（??0），且已知E((X?2)(X?3))?2，求?的值.

3.设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，试求X2的数学期望E(X2).

4.国际市场每年对我国某种出口商品的需求量X是一个随机变量.它在[2000，4000]（单位：吨）上听从均匀分布.若每售出一吨，可得外汇3万美元，若销售不出而积压，则每吨需保养费1万美元.问应组织多少货源，才能使平均收益最大？

5.一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率相应为0.1，0.2，0.3.假设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，试求X的数学期望E(X)和方差D(X).

6.设随机变量X有分布律:

pk?P(X?k)?pqk?1(k?1,2,?),

其中0?p?1,q?1?p，称X听从具有参数p的几何分布，求E(X)和D(X).（提醒：

??1?2???由幂级数逐项求导的性质可知?kqk?1???qk????,

1?qk?1?k?0????3?????1??k??q?q?2??)????1?q??k?0????1?q???k(k?1)qk?1?k?2?

127.设随机变量X的密度函数为f(x)?e?x，求:（1）E(X);（2）E(X)的值.

2?2(1?x),0?x?1,8.某商店经销商品的利润率X的密度函数为f(x)??求E(X)，

0,其他,?D(X).

9.设随机变量X听从参数为?的泊松分布，求E(X?1).

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工程数学概率统计简明教程（其次版）

10.设随机变量X听从参数为p的几何分布，求E(Y).M?0为整数，Y?max(X,M)，*11.设随机变量X有分布律：

?M??N?M?????k??n?k??pk?P(X?k)?,k?0,1,2,?,n?M，其中n?M?min(n,M).?N????n???n?n?n?1?n(n?1)?n?2???提醒:使用????????.?

mm?1m?2mm(m?1)????????*12.将已写好n封信的信纸随机地装入已写好的n个收信人的对应地址的信封，若有

一封信的信纸的收信人与信封一致时，称之为有一个配对.今X为n封已随机装好的信的配对数，求E(X),D(X).

n??1,第i封信配对,(i?1,2,?,n),有X??Xi,先求E(Xi),E(XiXj)??提醒:记Xi??0,其他i?1??及cov(Xi,Xj),使用公式D(X)=?D(Xi)?2?i=1i?1nn?1?cov(X,X).?1j?j?j?1?n

?e1?x,x?0,13.设随机变量X的概率密度为f(x)??求E(X)，E(2X)，E(X?e?2X)，

?0,x?0,D(X).

14.设随机向量(X,Y)的联合分布律为:

YX0100.30.410.20.1求E(X),E(Y),E(X?2Y),E(3XY),D(X),D(Y),cov(X,Y),?X,Y.

15.盒中有3个白球和2个黑球，从中随机抽取2个，X，Y分别是抽到的2个球中的白球数和黑球数，求X与Y之间的相关系数?X,Y.

16.设随机变量X,Y相互独立，它们的密度函数分别为?2e?2x,x?0,?4e?4y,y?0,fX(x)??fY(y)??求D(X?Y).

,x?0,,y?0,00??*17.设随机变量X1,?,Xn独立，具有公共的（0，1）上的均匀分布，令Y?minXi,1?i?n求E(Y),D(Y).

习题七

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?????1??xxe,?*18.设随机变量X有密度函数f(x)???(?)?0,?x?0,，（??0，??0为常数）其他则称X听从具有参数的伽玛分布，记为X~?（?，?），其中?(?)=（?，?）??0y??1e?ydy.

有性质：对任意实数x，有?(x?1)?x?(x)，特别对正整数n有?(n?1)?n!.今设

Y~?(?1,?)，Z~?(?2,?)，且Y与Z相互独立，W???Z??1??提醒:使用独立性,有E(W)?E?E(Z)E????.???Y??Y???Z，求E(W)Y*19.设随机变量X听从参数为（a，b）的贝搭分布，即有密度

??(a?b)a?1x(1?x)b?1,0?x?1,?f(x)???(a)?(b)求E(X),D(X).[提醒：已知贝搭函数

?0,其他,?1??(?)?(?)???1??1提醒:已知贝搭函数?(?,?)?t(1?t)dt,有关系式?(?,?)=.???0?(?+?)??????20.验证：当(X,Y)为二维连续型随机变量时，按公式E(X)??公式E(X)??布密度，即

证明：E(X)??????????xf(x,y)dydx及按

xf(x)dx算得的E(X)值相等.这里，f(x,y),f(x)依次表示(X,Y),X的分

??????????xf(x,y)dydx??xf(x)dx

????21.设二维随机变量(X,Y)听从在A上的均匀分布，其中A为x轴，y轴及直线x+y+1=0所围成的区域，求：（1）E(X);（2）E(?3X?2Y);（3）E(XY)的值.

?12y2,0?y?x?1,22.设随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)??求E(X)，E(Y)，0,其他.?E(XY)，E(X2?Y2)，D(X)，D(Y).

23.设随机变量X,Y相互独立，且E(X)?E(Y?)，1D(X)?2，D(Y)?3.求：（1）E(X),E(Y)；（2）D(XY).

24.袋中有2个外形完全一致的球，其中??个标有数字k（k=0，1，?，n），从中不放回抽取m次（每次取1个），以X表示取到的m个球上的数字之和，求E（X）.

n22?n??k?20

工程数学概率统计简明教程（其次版）

（提醒：记Xi=第i次抽到的球上的数字，则X??X,E(X)??E(X).）

iii?1i?1mm25.设D(X)?25，D(Y)?36，?(X,Y)?0.4，求：（1）D(X?Y);（2）D(X?Y).26.设随机变量X,Y相互独立，且X~N(1,1)，Y~N(?2,1)，求

E(2X?Y),D(2X?Y).

27.设随机变量X的方差为2.5，利用切比雪夫不等式估计P(X?E(X)?7.5)的值.28.设随机变量X和Y的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5，根据切比雪夫不等式估计P(X?Y?6)的值.

29.在次品率为

1的一大批产品中，任意抽取300件产品，利用中心极限定理计算抽取6的产品中次品件数在40与60之间的概率.

30.有一批钢材，其中80%的长度不小于3m.现从钢材中随机取出100根，试用中心极限定理求小于3m的钢材不超过30根的概率.

31.有3000个同龄的人参与某保险公司的人寿保险，保险期限为1年.假设在1年内每人的死亡率为0.1％，参与保险的人在投保日须交付保费10元，被保险人在保险期间死亡时家属可以从保险公司领取2000元.试用中心极限定理求保险公司蚀本的概率.

32.某种电器有100个独立的电源可供使用.每个电源的寿命听从均值为10h的指数分布，求这个电器的使用总寿命大于1200h的概率.

1?x?,0?x?1,?33.设随机变量X的概率密度为f(x)??求X的中位数.2其他,??0,

习题十二

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（2）给出火灾损失y关于距消防站距离x的最小二乘回归直线；

?；（3）求回归模型随机误差的标准误差估计?*（4）作出平方和分解并列出方差分析表；

（5）作回归系数b的显著性T检验，取显著性水平为5%.

4.一家保险公司十分关心其总公司营业部加班的状况，决定认真调查一下现状.经过10周时间，收集了每周加班工作时间的数据和签发的新保单数目，x为每周签发的新保单数目，y为每周加班工作时间（h）（假定每周加班时间听从正态分布）

序号12345新保单数x8252151070550480每周加班时间y3.51421序号678910新保单数x92013503256701215每周加班时间y34.51.535（1）构造每周加班工作时间y关于每周签发的新保单数目x的散点图，该散点图是否提醒两者之间存在线性关系？

（2）给出每周加班工作时间y关于每周签发的新保单数目x的最小二乘回归直线；*

（3）作回归系数b的显著性F检验，并列出方差分析表；（4）给出b的置信水平为90%的置信区间；

（5）该公司预计下一周签发新保单x0?1000张，给出需要的加班时间的置信水平为95%的预计区间.

5.为研究某一大都市报开设周日版的可行性，获得了35种报纸的平日和周日的发行量信息（以千为单位）.数据如下表所示:

序号123456789101112131415161718平日发行量x391.952516.981355.628238.555391.952537.78733.775198.832252.624206.204231.177449.755288.571185.7361164.388444.581412.871272.28周日发行量y488.506798.198235.084299.451488.506559.0931133.249348.744417.779344.522323.084620.752423.305202.6141531.527553.479685.975324.241序号1920212223242526272829303132333435平日发行量x781.7961209.225825.512223.748354.843515.523220.465337.672197.12133.239374.009273.844570.364391.286201.86321.626838.902周日发行量y983.241762.015960.308284.611407.76982.663557440.923268.06262.048432.052