数学建模知识课件1p sxjmo

6.2统计模型

一.关于随机数据

实际问题中的测试数据不可避免地叠加有随机测试误差,

随机数据：受到大量随机因素的综合影响,呈现很强的随机性的数据变量.

随机数据所代表的变量之间的关系呈现不确定性,这类变量关系不能用一个简单的函数来精确描述.

从数据的形成来看一般分为两大类:静态数据和动态数据

回归分析是基于静态数据的建模方法.时间序列分析是基于静态数据的建模方法.

回归分析方法与时间序列分析方法描述的是不同类型数据所代表的统计相依关系.二、回归分析法建模6.2节建立了描述氮肥施肥量与土豆产量间变量关系的经验模型

问题能否对模型进行改进？

分析将氮肥施肥量数据和土豆的产量数据视为非随机数据.实际数据不可避免地含有随机误差.1.回归模型

数据散布图中的点在“真实”的函数曲线上下波动.

在模型中考虑数据随机误差的影响,可建立以下统计模型其中ε视为随机误差.其它未知的、未考虑的因素以及随机因素的影响所产生.

回归分析法是一种研究变量间相关关系的统计方法.

将作为考察目标的变量称为因变量(记为Y),而将影响它的各个变量称为自变量或可控变量,记为(X1，X2，...XP)

对可控变量X1，X2，...

Xk的一组观察值为x1,x2.,…,xk,若Y的条件数学期望：存在，称为Y关于X1，X2，...XP的回归函数.称为Y

对

X1，X2，...Xk的回归方程.注回归函数是确定性的函数.称为Y

对

X1，X2，...Xk的回归模型.理想的模型应当有:

1)E(ε)=0;2)D(ε)=E(ε2)=σ2尽可能小.σ2

是用回归函数近似因变量Y产生的均方误差

建立模型涉及三个问题：1)确定对因变量Y影响显著的自变量；2)

确定回归函数(x)的类型；3)对参数进行估计.2.回归函数类型的估计确定实际问题中，通常未知回归函数形式.选择某个函数称作为其估计函数,记为为Y关于X1，X2，...XP的经验回归方程.回归分析的基本思想：

根据自变量X1，X2，...Xk与因变量Y的观察值去估计回归函数.

类似于6.2节的方法,依据问题的背景并借助于数据散点图分析或机理分析等手段选择适当类型,确定或假定回归函数的形式.3.多元线性回归模型

其中是未知参数，P＞1,称为P元正态线性回归模型

,称为回归系数.理论成熟

通常回归函数是非线性函数,由维尔斯脱拉斯定理,连续函数f(x)可由多项式函数逼近.在多项式回归模型将Y关于X的多项式回归模型转化成为Y关于Ui=Xi,i=1,2,…P的多元线性回归模型.

给定可控变量的N组试验数据,

对Y做N次独立的观察（试验），试验结果记为Y1，Y2，…，YN，则有如下的结构式(称为样本模型)：i=1,2,…,N,其中P＞1，N＞P，应满足回归假定:(1)相互独立，同服从正态分布N(0,σ2)；(2)自变量之间不存在完全的或接近完全的线性关系性.，记多元线性回归数学模型的矩阵形式为Y=Xβ+ε

其中Y称为因变量向量,X为（数据的）结构矩阵或设计矩阵,是待估参数向量,ε是随机扰动误差向量.(1)ε～N(ON×1,σ2IN×N),即ε的分量相互独立同分布,且;(2)X是非随机矩阵，且是对称满秩矩阵.

数据特点:这类数据是若干相关现象在某个特定时间点上所处状态组成的,反映一定时间或地点等客观条件下各相关现象之间存在的内在联系.

模型特点:基于静态数据建立的不含时间变量的统计模型.三、关于时间序列分析法

时间序列分析的主要任务：1）根据观察数据的特点为数据建立尽可能合理的统计模型;2）用模型的统计特性去解释数据来源系统的统计规律，以期达到预测或控制的目的.

时间序列分析法的研究对象是时间序列数据(动态类数据).

动态数据:数量指标在不同时间点上的数值,按照时间的先后顺序排列而成的数列,当其受到各种随机因素影响,表现出某种随机性.

如经济领域中每年的产值、国民收入、商品销售量、商品的价格变化等；变量通常是时间排序,随时间而变的时间序列

社会领域中某地区的人口数、医院患者数随时间推移的变化数据；

在自然领域的太阳黑子数、月降水量、某地区的月平均温度等.共同的特点：

序列中的数据依赖于时间,其取值依赖于时间的变化.

时间序列是所研究系统是历史行为的客观记录,它包含了系统的结构特征及其运行规律.

时间序列的有本质特征：具有动态性（记忆性），即相邻观察值具有很强的依赖性.

从统计的观点来看是指系统的现在行为与其历史的相关性

从系统的观点来看,是指系统的记忆性,就是在某一时刻进入系统的输入对系统后继行为的影响.

例一个患者在t时刻服用镇痛药，可视为神经系统在t时刻有镇痛药剂量输入数据Wt

，经神经系统后产生效果，得到输出效果数据Xt.

输入Wt神经系统输出Xt镇痛药精神状态

若药只在下一时刻有效,此后无效,即t时刻服药,t+1时刻精神状态很好,t+1以后又恶化.

此系统的输入只影响下一时刻的行为,而对以后的行为不发生作用，称系统具有一阶动态性(或记忆性).常见时间序列模型:

线性模型

p

阶自回归模型AR(p);q次滑动平均模型MA(q);自回归滑动平均模型ARMA(p,q)

建立时间序列模型的动态思想是认为现象的未来行为与现在的行为有关.时间序列模型是系统记忆性的具体描述.

非线性模型如乘积季节模型ARIMA(p,r,q)等.

续例若患者效果时间序列具有一阶动态性,即指t时刻的输出主要和前一时刻相关.可以建立一阶自回归模型AR(1)

其中是白噪声序列.

问题与因变量Y关于可控变量X的一元线性回归样本模型进行比较.二者的区别:(1)回归模型需要可控变量X的一组确定性变量值和相应的因变量的观察値,而AR(1)模型用的是随时间变化的随机变量的观察値;(2)回归模型描述的是一个随机变量对另一个(随机或非随机)变量的相依关系,而AR(1)模型描述的是时间序列自身当前与过去値的依存关系;(3)回归模型是在静态的条件下进行研究,而AR(1)模型是在动态条件下研究;(4)回归模型的建立必须满足回归假定残差项相互独立而且具有的相同分布,从而也应相互独立；而AR(1)模型描述的时间序列其相邻时刻上的随机变量存在一定的相关关系.