2023年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题以及参考答案

2023年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案考试时间2023年3月13日9∶00－11∶00满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．在平面直角坐标系中，已知点，点在轴正半轴上且。将沿直线折叠得，则点的坐标为（）A．B．C．D．2．若实数，满足，，且，则（）A．18B．12C．9D．63．若关于的方程只有一个实数根，则符合条件的所有实数的值的总和为（）A．B．C．D．4．如图，在中，，，，为的内心，连接并延长交于点。记的面积为，的面积为，则（）A．B．C．D．5．已知，为实数，且满足，记的最大值为，最小值为，则（）A．B．C．D．二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．在平面直角坐标系内有两点，，若一次函数的图像与线段有公共点，则的取值范围为。7．如图，在中，为边上一点，为线段上一点，延长交于点。若，，则。8．设，，，…，是个互不相同的正整数，且，则的最大值是。9．如图，是的直径，是的切线，交于点，若，则。10．若正整数，，满足方程组，则的最大值为。三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）11．若关于的方程有两个不相等的整数根，求的值。12．如图，为的垂心，圆为的外接圆。点、为以为圆心、长为半径的圆与圆的交点，为线段的垂直平分线与圆的交点。求证：（1）垂直平分线段；（2）。13．对于整数，用表示所有小于的素数的乘积。求满足条件的所有正整数。14．在一个（行，列，）的表格的每个方格内填上适当的正整数，使得：（1）每一列所填的数都是1，2，3，…，的一个排列；（即在每一列中，1，2，3，…，这个数出现且仅出现1次）（2）每一行个的数和都是34。当上述的填数方式存在时，求的所有可能取值。2023年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案考试时间2023年3月13日9∶00－11∶00满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．在平面直角坐标系中，已知点，点在轴正半轴上且。将沿直线折叠得，则点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】如图，设轴于点。依题意，，。所以，，，。因此，点的坐标为。2．若实数，满足，，且，则（）A．18B．12C．9D．6【答案】A【解答】依题意，，为方程的两个不同实根。因此，由韦达定理得，，。。或解：。3．若关于的方程只有一个实数根，则符合条件的所有实数的值的总和为（）A．B．C．D．【答案】D【解答】方程化为………………①若方程①有两个相等实根，则，。时，方程①的根，符合要求。若是方程①的根，则，，此时，方程①的另一个根为，符合要求。若是方程①的根，则，，此时，方程①的另一个根为，符合要求。所以，符合条件的有，，，其总和为。4．如图，在中，，，，为的内心，连接并延长交于点。记的面积为，的面积为，则（）A．B．C．D．【答案】C（第4题）【解答】依题意，（第4题）由为的内心知，。所以，由等比定理知，。5．已知，为实数，且满足，记的最大值为，最小值为，则（）A．B．C．D．【答案】C【解答】由，得，。∵，当且仅当，即，，或，时等号成立。∴的最小值为，的最小值为，即。∵，当且仅当，即，或，时等号成立。∴的最大值为，的最大值为，即。∴。或解：由，得，。设，若，则；时，，将代入，得，即，………………①由，解得。将代入方程①，解得，；代入方程①，解得，。∴的最大值为，最小值为。因此，，，。二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．在平面直角坐标系内有两点，，若一次函数的图像与线段有公共点，则的取值范围为。【答案】(个人觉得还要补充，因为是一次函数)【解答】易得直线对应的一次函数的解析式为。由，得………………①依题意，方程①有的解。∴，且，解得。故的取值范围为。或通过作图求解。7．如图，在中，为边上一点，为线段上一点，延长交于点。若，，则。【答案】（第7题）【解答】如图，过点作交的延长线于点，则。（第7题）又由，知。∴。∴。∴。8．设，，，…，是个互不相同的正整数，且，则的最大值是。【答案】63【解答】依题意，，，，…，。∴。于是，，。又当，，，…，，时，。∴所求的最大值为63。9．如图，是的直径，是的切线，交于点，若，则。【答案】【解答】由为的直径知，。设，则，。（第9题）由条件易得（第9题）∴，，即。结合，得。（或由射影定理得，即）∴，解得或（舍去）。∴，。10．若正整数，，满足方程组，则的最大值为。【答案】84【解答】由，得。结合，，为正整数得，，于是。∴，，。∴当，，或，，时，有最大值84。三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）11．若关于的方程有两个不相等的整数根，求的值。【解答】设，是方程两个不相等的整数根，则，。∴，均为整数。因此，为整数。……5分∴为完全平方数。设（为整数，且）。则。于是，。……10分由于，奇偶性相同，且。∴或。解得或。……………15分经检验，符合要求。∴或。…………20分另解：设，（）是方程两个不相等的整数根。则。两式相减，得。由，得，。……5分将代入①，得。∴。……10分由于，为整数，且，因此，或。∴或。……………15分当时，；时，。∴或。…………20分12．如图，为的垂心，圆为的外接圆。点、为以为圆心、长为半径的圆与圆的交点，为线段的垂直平分线与圆的交点。求证：（1）垂直平分线段；（2）。【解答】（1）解法一：如图，连结，，。由为的垂心知，。（第12题）由、、、四点共圆，得。（第12题）∴。……………5分又，，∴，。∴垂直平分线段。……10分解法二：作点关于直线的对称点。连结，，。则，点在以为圆心、长为半径的圆上。……5分又，为的垂心，∴，、、、四点共圆。因此，点也在圆上。∴、两点重合。因此，、关于直线对称，即垂直平分线段。……………10分（2）连结，。依题意有。结合为线段的垂直平分线与圆的交点，知为圆的直径。∴。又由（1），以及为的垂心知，，。因此，、、三点共线。∴。……15分∴。∴。∴。……20分或：通过，证明。或通过证明四边形等腰梯形，证明。13．对于整数，用表示所有小于的素数的乘积。求满足条件的所有正整数。【解答】解法一：若，则整除，但不能整除。因此，不符合要求。故，。………………10分若，则，由，得。…………15分若，则，由，得正整数不存在。若，则，由，得正整数不存在。若，则，由，得正整数不存在。∴满足条件的正整数只有1个，。…20分解法二：由，得。由于是偶数，但不是4的倍数，因此，是奇数。………………5分若，则含有奇数的素数因子，即为奇素数，且整除。由知，整除。由此整除1024，矛盾。故，，即，且为奇数。……10分∵时，，∴。又，。∴。即，5，7，9，11。…15分将，5，7，9，11分别代入验证，时，，，不符合要求。时，，，不符合要求。时，，，不符合要求。时，，，不符合要求。时，，，符合要求。∴满足条件的正整数只有1个，。…20分14．在一个（行，列，）的表格的每个方格内填上适当的正整数，使得：（1）每一列所填的数都是1，2，3，…，的一个排列；（即在每一列中，1，2，3，…，这个数出现且仅出现1次）（2）每一行个的数和都是34。当上述的填数方式存在时，求的所有可能取值。【解答】依题意，每列个数的和为，共列。又每行个数的和为34。所以，，。……5分又。所以，，，，。当时，每一行1个数的和互不相同，与（2）矛盾，即符合条件的填数方式不存在。舍去。记为第行，第列所填写的数。当时，令，。即当第1列自上而下各行所填的数依次为1，2，3，…，33；第2列自上而下各行所填的数依次为33，32，31，…，1时，符合要求。………10分当时，令，，，。即当第1列自上而下各行所填的数依次为1，2，3