反证法规律原理 孙贤忠

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即证“完备性前提下的原命题的逆否命题〞

：孙贤忠（湖南省长沙市第七中学邮编：410003）

：说明反证法的定义、规律依据、证明的一般步骤、种类，摸索其在中学数学中的应用。这实际上就是在证“完备性前提下的原命题的逆否命题〞了。一个命题：若A则B为真，这只是简单的形式，由于若A则B为真，其本身就还含有所有的已知定义,定理,大家都知道的事实，乃至正确的规律推理等等一切必需为真的系统性条件为真，否则绝不可能推出结论B为真。

：反证法证明矛盾逆否命题一反证法出现

反证法（ProofsbyContradiction，又称归谬法、背理法），是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说明假设不成立，原命题得证。

反证法常称作Reductioadabsurdum，是拉丁语中的“转化为不可能〞，源自希腊语中的“?ει?τοαδυνατονπαγωγη〞，阿基米德经常使用它。

二反证法所依据的规律思维规律

反证法所依据的是规律思维规律中的“矛盾律〞和“排中律〞。在同一思维过程中，两个相互矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是规律思维中的“矛盾律〞；两个相互矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A〞，这就是规律思维中的“排中律〞。反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律〞，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论〞必为假。再根据“排中律〞，结论与“否定的结论〞这一对立的相互否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以规律思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。

反证法是“间接证明法〞一类，是从反方向证明的证明方法，即：确定题设而否定结论，从而得出矛盾。法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若确定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾〞。具体地讲，反证法就是从反论题入手，把命题结论的否定当作条件，使之得到与条件相矛盾，确定了命题的结论，从而使命题获得了证明。

在应用反证法证题时，一定要用到“反设〞，否则就不是反证法。用反证法证题时，假使欲证明的命题的方面状况只有一种，那么只要将这种状况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法〞；假使结论的方面状况有多种，那么必需将所有的反面状况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法〞。

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反证法在数学中经常运用。当论题从正面不简单或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓\正难则反\。三反证法所依据的规律基础

牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一〞。一般来讲，反证法常用来证明正面证明有困难,状况多或繁杂,而逆否命题则比较浅显的题目，问题可能解决得十分干脆。

反证法的证题可以简要的概括为“否定→得出矛盾→否定〞。即从否定结论开始，得出矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是辩证的“否定之否定〞。应用反证法的是：

欲证“若P则Q〞为真命题，从相反结论出发，得出矛盾，从而原命题为真命题。反证法的证明主要用到“一个命题与其逆否命题同真假〞的结论，为什么？这个结论可以用穷举法证明：

某命题：若A则B，则此命题有4种状况：

1.当A为真，B为真，则A→B为真，﹁B→﹁A为真；2.当A为真，B为假，则A→B为假，﹁B→﹁A为假；3.当A为假，B为真，则A→B为真，﹁B→﹁A为真；4.当A为假，B为假，则A→B为真，﹁B→﹁A为真；∴一个命题与其逆否命题同真假

与若A则B先等价的是它的逆否命题若﹁B则﹁A

假设﹁B,推出﹁A,就说明逆否命题是真的,那么原命题也是真的.

但实际推证的过程中,推出﹁A是相当困难的,所以就转化为了推出与﹁A一致效果的内容即可,这个一致效果就是与A(已知条件)矛盾,或是与已知定义,定理,大家都知道的事实等矛盾.

这实际上就是在证“完备性前提下的原命题的逆否命题〞了。一个命题：若A则B为真，这只是简单的形式，由于若A则B为真，其本身就还含有所有的已知定义,定理,大家都知道的事实，乃至正确的规律推理等等一切必需为真的系统性条件为真，否则绝不可能推出结论B为真。

这样就有命题：若A则B为真，应当完备成命题：若A且C（定义）且D（定理）且E（正确的规律推理）且F(客观事实)以及且……则B。于是逆否命题就是:若﹁B,则﹁A或﹁C（定义）或﹁D（定理）或﹁E（正确的规律推理）或﹁F(客观事实)以及或﹁……，逆否命题至少有一个，证出一个就可以了。

在数学的证明中，经常运用反证法。在命题规律推理中，反证法是证明一个公式是某个前提集合的有效结论的逆否命题。设A1，A2，…，Am是命题公式，假使A1?A2?…?Am是可满足的，称A1，A2，…，Am是相容的。假使A1?A2?…?Am是矛盾式，

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称A1，A2，…，Am是不相容的。假使要证A1?A2?…?Am?C

只需证明A1?A2?…?Am?C是重言式。而A1?A2?…?Am?C??(A1?A2?…?Am)?C??(A1?A2?…?Am??C)

由此可知A1?A2?…?Am?C为重言式，当且仅当A1?A2?…?Am??C是矛盾式。

从而得到如A1，A2，…，Am，?C不相容（即?C??(A1?A2?…?Am)这就是A1?A2?…?Am?C的逆否命题得证），则C是A1，A2，…，Am的有效结论。

因此我们可以把?C作为附加前提推出矛盾来，从而可以得到C是A1，A2，…，Am的有效结论。这种方法称为反证法，也是反证法的规律基础。

例如：﹁B→﹁A为真，就是﹁B且A且C（定义）且D（定理）且E（正确的规律推理）且F(客观事实)以及……→﹁A且C（定义）且D（定理）且E（正确的规律推理）且F(客观事实)以及……这就是推出与已知条件矛盾的情形，所以若A则B为真（即原命题为真），

当然也可以是另外的情形，如：﹁B且A且C（定义）且D（定理）且E（正确的规律推理）且F(客观事实)以及……则A且C（定义）且﹁D（定理）且E（正确的规律推理）且F(客观事实)以及……，这就是推出与定理矛盾的情形，所以若A则B为真（即原命题为真）等等。四反证法步骤：

（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立。（若﹁B为真）（2）从这个命题出发，经过推理证明得出矛盾。（即推出﹁A或﹁C（定义）﹁

D（定理）或﹁E（正确的规律推理）或﹁F(客观事实)以及或﹁……为真）（3）由矛盾判断假设不成立，从而确定命题的结论正确。（即A→B为真）

五反证法在简易规律中适用题型：

（1）唯一性命题（2）否定性题

（3）“至多〞，“至少〞型命题

⒈基本命题，即学科中的起始性命题。此类命题由于已知条件及能够应用的定理、

公式、法则较少，或由题设条件所能推得的结论很少，因而直接证明入手较难，此时应用反证法简单奏效。如平面几何、立体几何等，在依照公理

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化方法来建立起它的科学体系时，最初只是提出少量的定义、公理。因此，起始阶段的一些性质和定理很难直接推证，它们多数宜于用反证法来证明。例1求证两条直线假使有公共点，最多只有一个。证明：假设它们有两个公共点A，B，这两点直分别是a，b那么A，B都属于a，A，B也都属于b，由于两点决定一条直线，所以a，b重合（这否定了两条直线这个条件）所以命题不成立，原命题正确，公共点最多只有一个。⒉否定式命题，即结论中含有“不是〞、“不可能〞、“不存在〞等词语的命题。此类命题的反面比较具体，适于应用反证法。例2AB、CD为圆两条相交弦，且不全为直径，求证：AB、CD不能相互平分。证明：假设弦AB、CD被P点平分，由于P点一定不是圆心，连接OP，则有OP?AB,OP?CD，即过一点P有两条直线与OP垂直，这与垂线性质矛盾（这否定了垂线性质定理），所以弦AB、CD不能被P平分。例3证明函数y=cosx不是周期函数。证明：假设函数