函数的应用-2018年高考数学（理）之高频+含解析

解密04函数的应用

解雷高考

高考考点命题分析三年高考探源考查频率

2017课标全国HI6

函数的零点高考对函数应用的考查主★★★★

2017课标全国川11

要是函数零点个数的判断、零点

所在的区间.近几年全国卷考查

函数模型及其应用较少，但也要

函数模型及其应2016四川5

引起重视.★★

用2015四川13

对点解解

考点1函数的零点

题组一函数零点（方程的根）所在区间的判断

调研1在下列区间中，函数If㈤=力+以一3的零点所在的区间为

【答案】C

【解析】因为/'（》）=d+4>0,/（!）=/一2<0,/（；］=&-1>0,所以零点所在的区间为图，故

选C.

运♦.**•二运―富,•♦运•，嗨窸冬•♦。运°」sg。.♦冬..。亳.«融•♦魂

☆技巧点拨☆

确定函数的零点（方程的根）所在的区间时，可以利用零点的存在性定理转化为判断区间两端点对应的函数

值是否异号来确定，也可以利用数形结合法，通过画函数图象与无轴的交点来确定.

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题组二函数零点个数的判断

调研2函数依）=2"+，。92M的零点个数为

A.回B.臼

。0D.目

【答案】C

【解析】画出三国与匹瓯回的图象（如图所示），它们有2个交点，所以函数国的零点个数为2.故

选C.

::小运."。.♦运J。*：：：@「.*窿♦尸域♦常。•♦运J。亳：：：腐•.源

☆技巧点拨☆

函数零点个数的判断方法

（1）解方程法：令/1々）=0,如果能求出解，则有几个解就有几个零点.

（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a,切上是连续不断的曲线，且/1（a）•/'（份<0,还

必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）才能确定函数有多少个零点或零点值所

具有的性质.

（3）数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中

交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

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题组三函数零点的应用问题

[log/,尤>0

调研3已知函数国1={5,若关于国的方程?㈤=1有两个不等的实数根,则实数因的取值范围是

2\x<0

A.|（0,+8）|B.1（-8,1]

c.1(1,+3D.西

【答案】I)

log)x,x>0

【解析】作出网到={2的图象如图所示，在|xe(-8⑼时,国是增函数，值域为国；在

2x,x<0

k*0,+oo1时，的是减函数,值域是|(-8,+由图知，方程『(x)=M有两个不等的实数根,则有Ie(0,1』.

故选D.

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☆技巧点拨☆

高考对函数零点的考查多以选择题或填空题的形式出现，有时也会出现在解答题中.常与函数的图象

及性质相结合，且主要有以下几种常见类型及解题策略.

1.已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围

根据函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步：

①判断函数的单调性：

②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；

③解不等式，即得参数的取值范围.在求解时，注意函数图象的应用.

2.已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围

一般情况下，常利用数形结合法，把此问题转化为求两函数图象的交点问题.

3.借助函数零点比较大小或直接比较函数零点的大小关系

要比较Ha)与/'(6)的大小，通常先比较f(a)、/"(6)与0的大小.若直接比较函数零点的大小，则可有

以下三种常用方法：

①求出零点，直接比较大小；

②确定零点所在区间；

③同一坐标系内画出函数图象，由零点位置关系确定大小.

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考点2函数模型及其应用

题组一二次函数模型的应用

调研1近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”

计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定,每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：

甲城市收益团与投入攻单位:万元）满足叵亘座三目乙城市收益正与投入叱单位：万元）满足4+彳,设

甲城市的投入为国（单位:万元），两个城市的总收益为国（单位:万元）.

（1）当甲城市投资50万元时,求此时公司总收益；

（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？

【解析】（1）当EH为时,此时甲城市投资50万元，乙城市投资70万元，

所以总收益-6+：x70+2=43.5（万元）.

（2）由题知，甲城市投资国万元，乙城市投资面三]万元，

所以画=3必-6+；（120-了）+2=-夕+3必+26

依题意得血蜜力,解得画M三画，

故国1=~-/1+3必+26（40<x<80）,

令|t=祝则心£[2回,4闻

~1~1

所以0=-/+3*t+26=--（t-6也）2+44.

当『=即仅三豆万元时,值的最大值为44万元，

所以当甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大,且最大收益为44万元.

题组二指数函数、对数函数模型的应用

调研2在热学中，物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述，如果物体的初始温度是圆，经过

一定时间旦后，温度日将满足匹其中园是环境温度，㈤称为半衰期.现有一杯用195F热水冲

的速溶咖啡,放在75F的房间内，如果咖啡降到105F需要20分钟，间降温到95F需要多少分钟？（F为华氏温

度单位,答案精确到0.1,参考数据:庭=0：3。10，g3三。"7小

________2C

【解析】依题意，可令圆=眄豆=E画包四，代入式子得:国亘=（195-75）（1）兀解得运回，

t

又把叵三四代入式子得匹羽=(195-75)(；严则

0.4771

10(—+1)=10+1=25.9]

0.3010

故降温到95F约需要25.9分钟.

L=10/^---------

调研3声强级。单位:四)由公式I______1。一寸给出,其中I为声强(单位:吆4.

(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为国品,能听到的最低声强为110T2w/屈,求人听觉的声强级范围；

(2)在一演唱会中，某女高音的声强级高出某男低音的声强级画夙请问该女高音的声强是该男低音声强的

多少倍？

【解析】(1)由题知:^^v/vd

I------------=-10-1.4

.*.0</5^--<12,0<Z,<12J

1()T2|

二人听觉的声强级范围是匝迦.

(2)设该女高音的声强级为回，声强为口，

该男低音的声强级为回,声强为国，

由题知-乙2=24贝！J101g—-10%--77=2。，•=4

----------------------10-12“10-2|/2|

/./1=100/；.

故该女高音的声强是该男低音声强的画倍.

题组三分段函数模型的应用

调研4经市场调查，某商品在过去的100天内的销售量(单位:件)和价格(单位:元)均为时间0(单位:天)

60+r,l</<60

的函数，且销售量满足画1一,J/eN),价格满足屈麻而3t(i4”io。,te而.

150--r,61<t<100

(1)求该种商品的日销售额瓯与时间口的函数关系；

(2)若销售额超过16610元,商家认为该商品的收益达到理想程度,请判断该商品在哪几天的收益达到理想程

度？

【解析】⑴由题意知，当|1WtW60,ie郦寸,丽4/'(。・工泪(60+>(200与=|-t2+140t+1200^,

当|614t4100,t€M时,.g(t)|=(150-1t).(200-t)=|t2-250t+30000,

'-r2+140r+12000(l<r<60,/eN)

则函1=，12...

-t2-250t+30000(61</<100,teN)

(2)当运三瓯运囚时,函=[-理+140t+1200阴-(t-70)2+[690(]|,

所以，函数画在巨画上单调递增，

故h(t)nm=|6(60]=丘丽(元)，

当|61wIw100,1eM时匣]=；产-250t+30000=|(t-250)2-1250,

所以，函数瓯在叵画上单调递减，

故|h(t)"“uHh(61')|=|166项(元).

若销售额超过16610元,当叵MY画时,函数单调递减,故只有第61天满足条件.

当三三远时,经计算|h(53)=1前回满足条件,

又函数瓯在叵画上单调递增,所以第53,54,…,60天,满足条件.

即满足条件的天数为第53,54,60,61天，共9天.

运♦.：*.tsr.**。•♦运•。霜运♦尸*:wJ•♦运•。亳.：：蠹•*.*

☆技巧点拨☆

解函数应用题的一般步骤，可分以下四步进行：

(1)认真审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；

(2)建立模型：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

(3)求解模型：求解数学模型，得出数学结论；

(4)还原解答：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中.

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强化集训

71

1.(百校联盟2018届T0P20一月联考)命题〃：一上<。<1,命题4：函数〃"=2'-上+。在(1,2)上有

2x

零点，则p是4的

A.充分必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】c

【解析】由题意得函数〃%)=2。白+。在(L2)上单调递增，又函数〃%)在(L2)上有零点,

X

所以/(1)/(2)=(1+0)(5+0)<0,解得一2<。<—1.

因为(—暂,—1)9(—1』)，所以P是4的必要不充分条件.选C.

2.(绵阳市高中2018届第一次诊断性考试)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用

水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费.

某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为()立方米.

A.13B.14

C.15D.16

【答案】C

【解析】设该职工的月实际用水为X立方米，所缴水费为丁元,

3x,0<x<10'3x,0<x<10

由题意得y=,,即y=(

30+5(x-10),x>105x-20,x>10

根据题意得该职工这个月的实际用水量超过10立方米，所以5x-20=55,解得x=15一选C.

3.(河南省郑州市2018届高中毕业班第一次质量检测(模拟))已知函数/(x)=<

若函数/(x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是

A.(-oo,-1)B.(一8,1]

C.[-1,0)D.(0,1]

【答案】D

【解析】显然x=；是/(x)的一个零点，故方程2*-。=0在(-8,0]上有解.再根据当xe(-8,0]时,

0<2v<l,可得0<a4l.

4.(湖南省衡阳县2018届高三12月联考)某科技股份有限公司为激励创新，计划逐年增加研发资金投入,

若该公司2016年全年投入的研发资金为100万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长10%,

则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是(参考数据：Igl.1=0.04l,lg2=0.301)

A.2022年B.2023年

C.2024年D.2025年

【答案】C

【解析】设从2016年后，第〃年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，

由题意可得：100x(1+10%)“2200,即1.1"22,

两边取对数可得：〃＞胆-=々&=7.3,则〃28,

lgl.10.041

即该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是2024年.故选C.

5.(四川省广安、眉山2018届毕业班第一次诊断性考试)已知定义在R上的函数“X)满足/(%)=/(-力，

当0WxW3时，/(x)=|x-2|；当x23时，/(x)=/(x-2),则函数y=/(x)-|ln|x||的零点个

数是

A.1B.2

C.4D.6

【答案】C

【解析】•.•函数满足〃力二函数为偶函数，设函数虱叼=何同，则函数g(x)也是偶函数,

y=/(x)-|ln怵的零点个数就是y=f(x)与y=帆怵图象的交点个数，"两函数图象都关于y轴对

称，二只需求出y轴右边的图象的交点个数即可得解，画出y=与》=弧怵在y轴右边的图象，

如图，由图知有2个交点，所以共有2x2=4个交点，故选C.

6.(广西南宁市2018届高三(上)9月摸底)设/(x)是定义在R上的偶函数，且/(x+2)=/(2—x),当

(历丫

%e[-2,0]时，/(%)=--1,若在区间(-2,6)内关于x的方程/(x)—log"(x+2)=0(a

、2,

>0且aWl)有且只有4个不同的根，则实数a的取值范围是

A.B.(1,4)

C.(1,8)D.(8,+8)

【答案】D

【解析】♦.•对于任意的xeR,都有,/(x-2)=/(2+x),，

/(x+4)=/[2+(x+2)]=/[(尤+2)—2]=/(x),，函数“X)是一个周期函数，且7=4,又；当

(万丫

*€[-2,0]时，〃力=——1,且函数“X)是定义在R上的偶函数，若在区间(一2,6)内关于x的

\/

方程〃尤)一log“(x+2)=0恰有4个不同的实数解，则函数丁="X)与y=log〃(x+2)(a>l)的图

象在区间(-2,6)上有4个不同的交点，如下图所示:

又一(—2)=/(2)=/(6)=1,则对于函数y=log〃(x+2),由题意可得,当x=6时的函数值小于1,

即log“8<l,由此解得。〉8,的取值范围是(8,+8),故选D.

7.(2017-2018学年安徽省皖西南名校高三阶段性检测联考)设同是方程阿-x=的解,且

%e(k,k+1)(。帝),则回

【答案】99

【解析】令rco=101-x-则函数rco在定义域（。，+8）上单调递减，则

/,(100)=101-100-IglOO=-1<0/(99)=101-99-Jg99=2-lg99>Q因为

f(99)/-(100)<。，所以函数g)的零点在(9910。)内，即A=99.

8.（北京东城27中学2018届高三上学期期中考试）某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器

生产的产品可获得的总利润y（万元）与机器运转时间x（年数，xeN*）的关系为y=-V+18x-25,

则当每台机器年时，年平均利润最大，最大值是万元.

【答案】58

【解析】=-k—|18＜8.

2=_X+I8-—++

xxv）

当且仅当工=5时，等号成立,

即机器运转5年时，年平均利润最大，为8万元/年.

9.（2017-2018学年天津市南开中学2018届高三上学期第一次月考）已知函数「一_3ax+a2＞］有

三个不同的零点,则实数目的取值范围为.

4~

【答案】也」］

【解析】由题可得,要使函数有三个零点，则y=2、-喳（-8,0］上必有一个零点，所以可知（XaWL同时

4

。＞一

y=x2-3也+喳（0,+8）上必有两个零点,所以有1=9砂-4。＞0,解得。＜°或9.综上，得

2Ml.

10.（北京市海淀区2018届高三上学期期中考试）设在海拔x（单位：m）处的大气压强为y（单位：kPa）,

y与X的函数关系可近似表示为y=100em,已知在海拔1000m处的大气压强为90kPa,则根据函数

关系式，在海拔2000m处的大气压强为kPA.

【答案】81

【解析】将(1000,90)代入y=100e“',可得。=赢"，则)'与x的函数关系可近似表示为

♦0.9

y=100e而*,当x=2000时，=100(eln°-9)2=81,故填81.

—x+4x63

11.(北京市昌平区2018届高三上学期期末考试)若函数=1'一(。〉0且函数

[log“尤,x>3

g(x)=/(x)-h

①若函数g(_x)无零点，则实数%的取值范围是；

②若/(x)有最小值，则实数a的取值范围是.

【答案】[-1,1)(1,3]

【解析】①，;时，画出函数/(x)的图象，如图所示：

若函数g(x)无零点，则尸4和y=/(x)无交点,

结合图象，可知-1WAV1；

②若0<a<l,显然/(x)无最小值，故a>l,

结合log,3=l,解得a=3,

故aG(1,3].

12.(2017-2018学年上海市杨浦区高三数学一模)如图所示，用总长为定值/的篱笆围成长方形的场地，以

墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开.

////////////

（1）设场地面积为y,垂直于墙的边长为x,试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定

义域；

（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？

【答案】⑴y=x(l-3x),(2)x=/时，ymax=^.

【解析】（D设平行于墙的边长为。，则篱笆总长1=3%+。，即。=/一3兀,

••・场地面积》=%(1-3尤)，xelO.jI.

IiI23

综上，当场地垂直于墙的边长尤为上时，最大面积为一.

612

13.（2017-2018学年山东省德州市2018届高三上学期期中考试）水培植物需要一种植物专用营养液，已知

每投放依0<aV4目后？国）个单位的营养液,它在水中释放的浓度M（克/升）随着时间（天）变化的函

3+尤

._________/、-"（0<x<2）

数关系式近似为ly="（域其中/（'）=3-尢'）,若多次投放,则某一时刻水中的营养液浓度

5-x（2<x<5）

为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验,当水中营养液的浓度不低于4（克/升）时,

它才能有效.

（1）若只投放一次2个单位的营养液,则有效时间最多可能达到几天？

（2）若先投放2个单位的营养液,3天后再投放回个单位的营养液,要使接下来的2天中，营养液能够持续

有效,试求国的最小值.

【答案】（1）3；⑵118-12羽.

0<x<2

<23+x

【解析】（）营养'液有效则需满足则、M2<x<5

1y>4,3-或(2(5—0之4’

即1匕戈玉2或2<x<3,解得1EX匕3,

所以营养液有效时间最多可达3天.

Q）设第二次投放营养液的持续时间为z天，

则此时第一次投放营养液的持续时间为0+3）天，且。<x<2.

设为为第一次投放营养液的浓度,％为第二次投放营养液的浓度J为水中的营养液的浓度,

所以%=2［S-（x+3）］=4-2人为=匕•念

y=71+y2=4-2x+2>临［0,2］上恒成立，

所以匕•器在电2止恒成立，

令£=3+x,£c［3,5］贝帅>—2（t+岸）+18,

又一2（£+y）+18<18-2-2^t-y=18-12也

当且仅当£=段，即t=3谑时，取等号.

因为3立£［3司，所以匕的最小值为18—12谑.

故要使接下来的2天中,营养港能够持续有效力的最小值为18-12位.

14.（2017-2018学年湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三10月联考）

省环保研究所对某市市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污

染指数国与时刻国（时）的关系为/'（X）=|正-a|+2a+|,xe[0,24],其中同是与气象有关的参数,且

x+13

-]若用每天应的最大值为当天的综合放射性污染指数,并记作函.

⑴令.=舍,xw[0,24].求问的取值范围;

⑵求国;

（3）省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过2,试问目前该市市中心的综合放射性污染指数是

否超标.

71

。+—,0<a<—

64441

【答案】（1）⑵M(a)=,；।(3)当《大时不超标，当一一时超标.

-21/992

3a+—,—<a<—

342

【解析】（1）当％=0时/=0;

当0＜%工24时，石+4A2（当x=1时取等号）二.t=

5G+

~yjx

综上，，的取值范围是0,-.

2

—f+30+—>0

⑵当ac0,—时，记以工）=卜-目+2＜7+2厕屋，）="3

2,1

23f+a+—M</<—

32

•••g”）在［OM］上单调递减在g与上单调递增，且虱。）=3。+,仁）=°+；,

23o

g(0)-g

71

a+—^0<a<—

64

.二Af(o)=<

、21/

3o+一voW一

342

1751

（3）当。K。4;时，令。+742,得。＜7＞二。&。“二；

4664

117414

当一一时，令3。+—42,得。4—,二一＜。4一.

423949

441

故当04时不超标，当—时超标.

急真题再现

1.（2016四川理科）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金

130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12队则该公司全年投入的研发资金开始超过

200万元的年份是

(参考数据：1g1.12^0.05,1g—.11,lg2«0.30)

A.2018年B.2019年

C.2020年D.2021年

【答案】B

【解析】设从2015年开始第再年的研发投资资金为名,则勺=130,^=130x1.12^,由题意，需

200700

4=130xL12"-】>200,.­.1.12^1>—,两边取常用对数得(“一1)1gL12>1g商，

--1>*+§=。*"=36”25,故从2019年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过

1g1.120.05

200万元，选B.

2.(2017新课标全国III理科)设函数〃x)=cos(x+?,则下列结论错误的是

A.7(x)的一个周期为一2兀B.y=/(x)的图象关于直线x=g对称

C./(X+7T)的一个零点为X/D.7(x)在(色，兀)单调递减

62

【答案】D

【解析】函数/*)的最小正周期为T=f=2兀，则函数/(x)的周期为T=2E(keZ),取攵=一1,

可得函数/(x)的一个周期为-2兀，选项A正确：

函数/(x)图象的对称轴为*+三TT=也(婕Z),即x=E(A7TeZ),取攵=3,可得尸/U)的图象关

于直线x=M对称，选项B正确；

3

/(工+兀)=cos=-cosx+—函数/(x)的零点满足x+m=E+5(ZeZ)即

I3

x=E+P(ZeZ),取a=0,可得/(x+7i)的一个零点为x=乌，选项C正确;

66

兀)rL兀