《逻辑》课学习笔记

第一讲导论：什么是逻辑一、逻辑的目标1.对有道理的说话做系统性的研究。2.增强说话与思考的能力二.何谓有效性(validity)道理就是指推理的「有效性(validity)」而言。（1）能够从前提「得到」结论。（注意，前提可以是空集合）（2）预设人是有理性的，那么，如果论证是有效的，在接受前提的情况下，「不可能」不接受结论。第二讲命题与论证一、论证论证是由一群语句所形成的集合。1.论证结构：论证是由前提与结论组成。（1）结论是我们的主张或要证明的结果。（2）前提则是支持结论的理由。（3）连结前提与结论的语词，如「因此」、「所以」等。2.关于论证的重要概念：（1）出现在前提与结论的语句都是命题。（2）论证的形式化。二、语句和命题的区别1.语句：由符号组成的序列。2.命题：符号序列的意义或内容。基本在初阶逻辑中，经常会遇到这样的争议，我们所采取的立场，有一派哲学家会说这叫命题逻辑(propositionlogic)，就是我们承认有命题这东西，另外有一派哲学家就不承认有客观意义，因此他们坚持我们所学非命题逻辑，而是些关于语法的东西，叫语句逻辑。不过这两者讲的内容是一样的。3.不同的语句可以用来表达同一个命题。比如，现在正在下雨、Itisraining符号可以任意，但是必须要提供语法规则。根据前述的要求，至少要提供语法规则，才能让我们掌握语句表达的形式。4.相同的语句可以表达不同的命题。比如，明天会下雨、先借我5000元，我明天还给你明日复明日，在不同的时间上“明天”指的不一定是同一天。三、命题逻辑1.什么样语句可以作为当作前提或结论？答案是命题。但是并非所有有意义的语句都是命题。(1)问句：你今天会去上课吗？(2)祈使句：去开门。如何判断某个语句是否为命题呢？2.命题是指有真假值的语句。一个简单的测试方式：对任一语句“S”而言，如果问句「“S”为真吗？」是能够回答的，那么语句“S”就可以被视为命题。一般而言，什么样的语句会是命题呢？其实就是直述句(declarativesentence)。（1）基本判断方式就是：命题是指有真假值的语句。可以回答这句话是真的还假的，这就叫命题。第一个要求就是它必须是完整的句子。（2）凡是出现在整个论证的一定是命题，而这个命题就是所谓的直述句，重点一定要是个completesentence。四、逻辑研究的对象：论证形式而非个别的论证。1.从演绎论证的观点看：正确的推论：从前提可以推导得到结论，或者说在接受前提的情况下，一定会接受结论。不正确的推论：从前提无法推导得到结论，或者说即使接受前提的情况下，也不一定会接受结论。两种论证形式AF1:S是M所有的M都是P所以，S是PAF2:S是M所有的P都是M所以，S是P如果符合这形式，都是无效论证，或是不正确的推论。正确的推论我们通常叫有效论证，不正确的推论形式叫无效论证。有效论证的前提不一定要是真的，有效论证或是正确的推论，可是前提却不为真。所以前提不为真，不代表论证是无效的。只要符合有效论证的形式，都是有效论证的个例，有效论证并不保证出现在论证中的前提都为真。有效论证/正确推论与无效论证/不正确推论并不保证前提的真假，若它是一有效论证，且前提为真，其结论就会一定是真。这种论证称SoundArgument。SoundArgument的意思就是：不仅是有效论证，且保证前提为真。五、充分必要条件AF3：如果P，则Q_______P________所以，Q「如果P，则Q」，P称为Q的充分条件，Q称为P的必要条件。若P成立，Q就一定会成立，这叫「P称为Q的充分条件」；若Q不成立，P就不成立，这叫「Q称为P的必要条件」。充分条件是前面成立，后面一定要成立，可以这样想：「有则必然」。必要条件是「无则不然」，后面不成立，前面就不成立。若是充分必要条件，就是P和Q会同时成立，或者是同时不成立。AF4：如果P，则Q__________Q________所以，P这是个无效的论证形式六、结语第一种（(AF1)和(AF2)）逻辑系统我们通常称为语词逻辑(termlogic)。第二种（(AF3)和(AF4)）逻辑系统则称为命题逻辑(propositionallogic)。值得注意的是，某个论证是否为有效论证，其实与采取那一种逻辑系统形式化是有关系的。是否为一有效论证，与用那一种逻辑系统看它是有关系的。在命题逻辑中是无效论证，但是在语词逻辑中可能是有效论证。所以，采取不同的逻辑系统会影响论证是否有效。第三讲命题逻辑语言一、日常语言构成的论证的问题1.歧义(ambiguity)2.含混(vagueness)3.开放(open)歧义(ambiguity)：1.语法歧义(syntacticorstructuralambiguity)2.语意歧义(semanticorlexicalambiguity)第一类我们称之为结构上的歧义，或是语法上歧义。第二类歧义则称为语意上的歧义，或者是字词上的歧义。第三类我们先不在这里谈，通常称为语用上的，语用的歧义就是跟使用者有关系，或者跟语气有关系。（二）语法歧义根据不同的语句结构解读方式，同一语句会有不同的意义。例如：下雨天留客天留我不留语法歧义就是，根据不同结构来解读，即有不同意义。各位看到这句，第一个，直接的读法是什么？主人的意思是：下雨，天留客，天留，我不留。所以，请你回家，对吧？那客人一看到，心里面真是太感动，客人读成什么？下雨天，留客天，留我不？留！所以同样的一句话，不同的断句方式，结构不同展现的意思不同，这个我们称为语法上或结构上的歧义。（三）语意歧义如果出现在语句中的语词，会有不同的解释，则同一语句会有不同的意义。例如：「日落香残，扫去凡心一点；炉边火尽，须把意马牢拴。」【字谜。第一句：日落香残，日不见了(禾)；扫去凡心一点，一点不见了(几)。炉边火尽，火不见了(卢)，把它兜起来，这副对联的意思就是这样(秃驴)。】语义歧义，通称为semantic或lexical，lexical是字词上的，对字词有不同解释，在这里指一般解释。（四）含混性某个语词是含混的，若且唯若，存在某些包含该述词的语句，既无法决定该语句为真，亦无法决定该语句为假。「若且唯若」这四个字，粗略地想，相当于”定义”的意思。大概是这样的意思：存在某些包含该述词的语句，既无法决定该语句为真，亦无法决定该语句为假。以秃头为例，满头秀发的人显然不是秃头，但是，如果一根一根头发拔掉的话，迟早会变成秃头。但是，我们能够找到用来区分是否秃头的那根头发吗？（五）语言开放性某个语言L是开放的，若且唯若，L允许新的符号或新的解释。根据它的openness的意思就是说，我们允许新的符号，或是新的解释进来，我们就会遭遇到这样的问题。例如：Orz；冏；酱；XD；886……原来XD是要把头歪着来看。这是研究第一久的。第二久的是“酱”，原来是”就这样”三个字合成变一个字。二、形式语言为了避免推论过程无法避免日常语言带来的困扰，因此，我们需要一个新的形式语言(formallanguage)。建构此形式语言的目的，至少要避免歧义、含混以及开放性的问题。（一）适合用来处理命题逻辑的形式语言(Lk)包含两个部份1.由原初符号(primitivesymbols,oralphabet)形成的集合。2.有限的形构规则(formationrules)。（目的在于建构合宜的句式(well-formedformula,wff)。）（二）命题逻辑的字汇集包含下列几个部份1.语句（或命题）符号：P,Q,R,……2.真值函映（或连接词）：,,,,3.辅助符号：(,)首先我们来看看语句逻辑的符号，一般称之与，它包含以下几个部分，第一个，我们会有几个语句符号，也就是命题符号，各位记得在这边我们有时会用命题，有时会用语句，那都是没有关系的。他们只是在哲学立场不同，但他们其实完全一样。原则上会用P、Q、R代表句子，如：P代表傅老师是男人；Q代表傅老师是女人；R代表傅老师是好人。接下来，真值函映其实就是函数的概念，意思是我的输入一定是真假值，输出也一定是真假值。那是不是所有句子一定有真假值，我们下个单元会告诉各位，为什么需要有这个东西。Input有真假值，Output不见得有。再来还有辅助符号，就是括号的意思，括号一定要一对。为什么需要有括号？请同学跟着我，我现在问的问题请三秒内回答。这位同学，1+1*2等于多少？1、2、3。为什么是3？因为要先乘除后加减是吗？可是如果1+1用个括号呢？答案是4对吗？所以括号的意义在告诉我们什么要先处理，什么要后处理对吧？有没有括号会影响正确答案，可帮助避免语法上的歧义。（三）命题逻辑语言中的句式都可以经由下列的形构规则建构之(j与y为句式的变量)。(1)每个语句符号都是句式。(2)如果φ是一个句式，那么Øφ也是句式。(3)如果φ和ψ都是句式，那么φÙψ,φÚψ,φ®ψ,φ«ψ也都是句式。(4)除了经由规则(1)-(3)所建构的称为句式外，没有其他句式。第一个，所有语句符号都是formula，句式。如果φ是一个句式，那么Øφ也是句式。再来，如果φ和ψ都是句式，那么我们只要加一个∧、∨、→和«，也都是句式。最重要来了，第四个是，除了第一个到第三个，没有其他的是句式。各位，我们加第四个规则的目的在哪？我们要避免什么？我们要避免开放的问题。我们要把openness去掉。所以这样的一个formationrules，告诉我，它是一个什么语言？记得，它是一个封闭的语言，就是他的治些语句都在这个规则里，凡遵守这些规则的，就不是这个语言。所以刚刚的括号帮助我们避免歧义的问题，那含混的问题呢？P、Q。就是我们没有给它实质的解释，只是用P、Q来代表句子，这样就不会遇到含混的问题。（四）根据形构规则(1)，每个语句符号均视为原子句式（最简单的，我们称之为原子句式）。实例：(1)P是一个原子句式。(2)Q是一个原子句式。(3)R是一个原子句式。（五）根据形构规则(2)，如果φ是一个句式，那么Øφ也是句式。实例：（1）如果P是一个原子句式，那么ØP也是句式。（2）如果φ用来代表ØP，那么ØØP也是句式。（3）所以，像ØØØP、ØØØØP等都是句式。（六）根据形构规则(3)，如果φ和ψ都是句式，那么φÙψ也是句式。实例：（1）如果φ和ψ分别代表P和Q，那么PÙQ是句式。（2）由于PÙQ和QÙR都是句式，如果φ和ψ分别代表PÙQ和QÙR，那么(PÙQ)Ù(QÙR)也是句式。这里的φ和ψ是所谓的语句变量，所谓变量的意思是，它代表一个句子，可大可小，可以是复杂的句子，也可以是很简单的句子。这个我们称之为Variable，变量。它并不是用来指特定句子，而是可以用来代替任何句子。所以用φ和ψ，不用P、Q、R，我们需要用它代表语句，或者代表formula，所以并不是一个特别的句子或命题。所以你可以看到，如果φ和ψ代表很简单的句子，譬如说P跟Q，那PQ就是一个句子。但是φ和ψ我也可以用来代表很复杂的句子，譬如要把φ和ψ分别代表(PQ)和(QR)，之后在中间加个，这也会是个formula，所以φ和ψ并没有要代表特定的formula、特定的语句或命题，它是一个变量的角色。（七）根据形构规则(3)，如果φ和ψ都是句式，那么φÚψ也是句式。—实例：(1)如果φ和ψ分别代表ØP和ØQ，那么ØPÚØQ是句式。(2)由于PÙQ和QÙR都是句式，如果φ和ψ分别代表PÙQ和QÙR，那么(PÙQ)Ú(QÙR)也是句式。（八）根据形构规则(3)，如果φ和ψ都是句式，那么φ®ψ也是句式。实例：如果φ和ψ分别代表ØPÚØQ和(PÙQ)Ú(QÙR)，那么(ØPÚØQ)®((PÙQ)Ú(QÙR))也是句式。（九）根据形构规则(3)，如果φ和ψ都是句式，那么φ«ψ也是句式。实例：如果φ和ψ分别代表ØPÚØQ和(ØPÚØQ)®((PÙQ)Ú(QÙR))，那么(ØPÚØQ)«((ØPÚØQ)®((PÙQ)Ú(QÙR)))也是句式。上述建构句式的方式称为「递回定义(recursivedefinition)」递回定义需要的装置：(1)原始步骤(2)递回函数（十）下列的符号组合并非合宜的句式，请指出其问题。（1）PØ（2）Ú(PØQ)（3）(((«P（4）ØØØP®（5）Ø(ØPÚØQ)®((PÙQ)Ú(QÙR)))第一个显然不是对吧？这个问题出在Ø摆错位置，Ø应该摆在P的前方。第二个，Ú是二元的，前面要有一个句子。Ø是一元的，后面不能接两个句子。第三个，«必须是二元的，twoplaces的operator，所以它不能是这样的。更何况前面是括号，括号必须是pair的，左括号有佑括号就要有。第四个它当然也是connective的问题。第五个，它左括号数目必须要和右括号数目一样。三、直接子句式直接子句式(immediatesubformulae)的定义1.语句符号没有直接子句式。2.句式Øφ的直接子句式只有φ。3.句式φÙψ、φÚψ、φ®ψ以及φ«ψ的直接子句式为φ和ψ。第一个immediatesubformulae：在一个formula里面，你可以找到一个除了它本身以外最长的那个formulae，就是它的immediatesubformulae。这什么意思呢？就是语句符号它没有immediatesubformulae，因为没有其他比它更短的。如果它是一个Øφ，那它的immediatesubformulae就是φ。那它如果是twoplace的operator，那φ和ψ就是它的immediatesubformulae。各位以前都做过子集合，和你们以前在找最大的子集合是一样的意思。（二）实例：1.(ØPÙQ)ÙØ(QÙR)的直接子句式：ØPÙQ、Ø(QÙR)。2.Ø((ØPÚØQ)®((PÙQ)Ú(QÙR)))的直接子句式(ØPÚØQ)®((PÙQ)Ú(QÙR))。第一个的immediatesubformulae就是这两个，各位注意看它的符号，除了他自己最长的就是(ØPÙQ)、Ø(QÙR)。第二个最长的是不是Ø？因此去除Ø，((ØPÚØQ)®((PÙQ)Ú(QÙR)))就会是它的immediatesubformula。（三）练习题：找出下列句式的直接子句式。1.Q2.ØØØØP3.PÙQ4.Ø(PÙQ)Ú(ØQÙR)5.(ØPÚØQ)«((ØPÚØQ)®((PÙQ)Ú(QÙR)))第一个Q，它本身就最长了，所以没有immediatesubformulae。第二个，把最前面的Ø去掉，ØØØP就是它的immediatesubformulae。第三个的immediatesubformulae就是P和Q。第四个，除了中间Ú，两边Ø(PÙQ)和(ØQÙR)就是它的immediatesubformulae。第五个，去除«，(ØPÚØQ)和((ØPÚØQ)®((PÙQ)Ú(QÙR)))就是它的immediatesubformulae。四、子句式（一）子句式(subformulae)的定义1.每一个句式本身都是自己的子句式。2.每一个子句式的直接子句式都是原句式的子句式。3.每一个子句式的子句式都是原句式的子句式。将immediatesubformulae的建构方式一直分解到最小，就是他所有的subformulae。就跟各位以前用子集合来找出它所有的子集合的方式一样。所以每一个formulae都是它本身的subformulae。每一个subformulae的immediatesubformulae都是它的subformulae。所以所有的句子就会是它原来的子集合，所以把全部的子集合加起来就会是它的subformulae。（二）如何完整写出某个句式的所有子句式？—方式：逐步分解并消除语句连接词。（三）实例：找出(ØPÙQ)ÙØ(QÙR)的所有子句式（1）直接子句式为ØPÙQ和Ø(QÙR)，消除语句连接词Ù。（2）ØPÙQ的直接子句式是ØP和Q，消除语句连接词Ù。（3）Ø(QÙR)的直接子句式是QÙR，消除语句连接词Ø。（4）ØP的直接子句式是P。（5）QÙR的直接子句式是Q和R。第一个，将Ù去掉可以得到immediatesubformulae：ØPÙQ和Ø(QÙR)。第二个可以利用ØPÙQ去除Ù得到subformulae：ØP和Q。第三个将Ø(QÙR)去除Ø得到subformulae：QÙR。第四个将ØP去除Ø得到subformulae：P。第五个一样，将QÙR去除Ù得到subformulae：Q和R。所以将全部加起来就是子集合，subformulae。（四）(ØPÙQ)ÙØ(QÙR)的所有子句式所形成的集合如下：{P；Q；R；ØP；QÙR；Ø(QÙR)；ØPÙQ；(ØPÙQ)ÙØ(QÙR)}五、主要连接词（一）主要连接词(mainconnective)的定义在句式φ中用来连接直接子句式的语句连接词称为φ的主要连接词。在一个immediatesubformulae里面，被拿掉的那个connective或是operator，那个就是mainconnective。（二）实例：（1）Ø(PÙQ)Ú(ØQÙR)的主要连接词为Ú。（2）Ø((PÙQ)Ú(ØQÙR))的主要连接词为Ø。语句(1)的mainconnective是Ú。语句(2)的mainconnective是Ø。两句看起很类似，却是不一样的句子。（三）练习题：（a）ØØØØP（b）PÙQ（c）Ø(PÙQ)Ú(ØQÙR)（d）(ØPÚØQ)®((PÙQ)Ú(QÙR))第一个mainconnective在最前面的Ø。第二个mainconnective是Ù。第三个mainconnective是Ú。第四个mainconnective是®。（四）连接词范围(scope)的定义：某个语句连接词的范围是指在句式φ中可以找到该语句连接词的最小子句式而言。scope就是某一个连接词管的范围到哪里。实例：Ø(PÙQ)Ú(ØQÙR)（1）Ú的范围是Ø(PÙQ)Ú(ØQÙR)。（2）Ø的范围是Ø(PÙQ)Ú(ØQÙR)。（3）Ø的范围是Ø(PÙQ)Ú(ØQÙR)。（4）Ù的范围是Ø(PÙQ)Ú(ØQÙR)。（5）Ù的范围是Ø(PÙQ)Ú(ØQÙR)。连接到的最小的subformulae第一个的scope是(Ø(PÙQ)Ú(ØQÙR))。第二个的scope是Ø(PÙQ)。第三个的scope是ØQ。第四个的scope是(PÙQ)。第五个的scope是ØQÙR。第四讲语意学基本预设及语句连接词一、语意学语意学的基本概念就是解释某个语言中的语词及语句的意义。（一）从单称语词(singularterms)来看，指涉对象就是其语意值。单称语词，语言中某一语词(propername)或是singularterm，这个符号的semanticvalue对应出去的那个东西，就是这世界上的某个东西。（二）通称语词(generalterms)的语意值就是具有该语词描述的性质的对象形成的集合(即外延)。何谓通称语词，比如老虎、狮子、梅花鹿、人、男人、女人，这些为通称，所指非单一对象。（三）语句的语意值则为真假值(truth-value)。语句的semanticvalue是它的真假值。也就是说我们在乎的是它的extension，而不是它的intension。一句话会有两个层面─内容或意义、真假。（四）语意学预设：1.二值原则，命题具有真假值(也就是命题为真，或者为假)，但不能既真又假，也不能既不真也不假。二值原则指的是每一命题、语句仅有为真或为假，不可能既真又假或既不真又不假。在古典逻辑里，有一基本预设：所有句子只能是真或假。（1）对于二值原则的思考：什么语句无法给出确定的真假值？（i）明天将会发生海战。（ii）戴维是勇敢的。第一句话是否有真假值？这句话没有确定，跟可能性相关，若我说：明天必然会如何…。这样的宣称有点奇怪，不见得会发生。第二句话，先不论它的真假，各位会不会觉得它一定有真假，也许我现在不知道，但我一定可以证明。这句话难在何处？万一戴维是出生一天就夭折的婴儿，来不及长大证明他是勇敢的，那这句话要证明它的真假很困难。所以有些句子的真假值是无法确定的，为了这样的问题，我们有不同的逻辑系统来处理，比如第一句，用模态逻辑处理，比如有necessary、itspossiblethat，这类的句子，第二类用直觉逻辑处理。基本上就是，若不承认二值原则，那就要采用其他逻辑系统。2.真值函映原则，在古典逻辑中出现的语句连接词均为真值函映的连接词。例如，当P为真，Q为真时，PÙQ显然为真。而当P和Q两者有任一为假的时候，则PÙQ显然为假。因此，连接词“Ù”为真值函映的连接词。真值函映指的是input都有真假值，output也都有真假值，不能input有真假值，output没有真假值。3.非真值函映的连接词例一：IknowthatP当“P”为真的时候，“我知道P”可能真也可能假，因为我不会知道所有真的语句。不过，当“P”为假的时候，“我知道P”为假。4.非真值函映的连接词例二：Itisnecessary(possible)thatP当“P”为真的时候，“必然P”可能真也可能假；另外，当“P”为假的时候，“可能P”也是可能真或者为假。5.外延原则，复合语句的真假值是由原子语句的真假值决定，与语句本身的内容或意义无关。以矛盾句为例，PÙØP的真假值一定为假，无论P的内容为何。6.根据二值原则，每个命题可能出现的情况有两种，即「真」与「假」。因此，如果仅出现一个命题的语句，只需要考虑两个可能情况，而出现两个命题组成的语句，则须考虑2´2=4种情况。依此类推，出现n个命题的语句，则需要考虑2n种可能情况。二、基本真值表（一）否定号(Negation)其他记号：「~」、「-」。强度：由大到小排列(1)Ø(2)Ù、Ú(3)→、↔。强度的意思就是：在读一个句子时，要依照他们做一强度区别，越强者先做运算。例一：ØPÙQ。其主要连接词是and，若要表示主要连接词是negation，要写作Ø(PÙQ)。例二：P→QÙR。这句话主要连接词为→，若要表示主要连接词是Ù，要写作(P→Q)ÙR例三：P→Q→R。两个→强度一样，这是不合语法的句子，如果不加括号，无法计算。要加括号才能运算。（二）选言号(Disjunction)其他记号：互斥选言号「⊻」(exclusivedisjunction)选言号与互斥选言号的差别在那？何谓互斥，是绝不是能相容的两个选择。（三）连言号(Conjunction)其他记号：「&」、「∙」And表示只有在两个俱为真时方为真，其他均为假。条件号(Conditional)其他记号：「É」、「Þ」（五）等值号(Equivalence)其他记号：「º」、「Û」等值是双向的，从P到Q，从Q到P。等值的意思就是两个值相等就是真，两个不等值为假。三、语句包括：恒真句、矛盾句、偶真句（一）恒真句(tautology)：考虑语句的所有可能情况，如果该语句在所有可能情况中均为真，若且唯若，该语句为恒真句。实例：（1）P®P（2）PÚØP（3）P®(Q®P)1.P®PP是一个命题，有两种情况：真、假，在所有P的地方都先填上真假，用真值表来做运算，演算结果发现在所有可能情况皆为真，就称为恒真句。2.PÚØPP同样有两种情况：真、假。根据连接强度，要先从negation开始，接下来做ˇ。PÚØP是恒真句。3.P®(Q®P)这有两个命题，因此要考虑四个情况。第一步：由第二个箭号开始运算起第二步：再由P与箭号运算所有情况均为真，此亦是恒真句。（二）矛盾句(contradiction)：考虑语句的所有可能情况，如果该语句在所有可能情况中均为假，若且唯若，该语句为矛盾句。实例：（1）PÙØP（2）Ø(P®(Q®P))（3）P«ØP矛盾句指任何情况均为假。1.PÙØP第一步：填P第二步：填negation第三步：填Ù，and要两个俱真方为真这是一个矛盾句2.Ø(P®(Q®P))把恒真句括号起来加个Ø，就会变成矛盾句。比如1=1恒真，那1¹1，是矛盾句。第一步：先填P、Q真假。第二步：填Ø。是一矛盾句。3.P«ØP第一步：填ØP第二步：填«，两边不等值，为假。为矛盾句。（三）偶真句(contingent,indeterminatedsentences)：考虑语句的所有可能情况，如果该语句在某些可能情况中为真，其他可能情况中为假，若且唯若，该语句为偶真句。实例：（1）P（2）PÚØQ（3）(P®Q)®P1.PP为偶真句。P也是formula，可运算。2.—PÚØQ根据强度，要从negation开始，再算。有些情况为真，有些为假，为偶真句。3.(P®Q)®P括号内先运算。括号刮前面还是后面，会造成不同结果，是不同的两个句子。四、命题之间的关系1.命题之间的关系(1)蕴涵关系(implication)(2)等值关系(equivalence)(3)不一致(inconsistency)(4)一致性(consistency)2.命题间的关系（1）蕴含关系，implication多在讲语句的关系，entailment在讲论证的关系，是有差异的。（2）等值关系，两个语句等值就是表达相同内容的意思。（3）不一致和一致性则是谈论某个语句集合中的所有语句是否可能同时为真，如果不可能出现同时为真的情况，则该语句集合是不一致的；反之，如果可能同时为真，那么该语句集合是一致的。（一）蕴涵关系(implication)设想某个句式集合j1,j2,……,jn，以及句式y，如果没有任何情况使得j1,j2,……,jn皆真而y为假，则称「j1,j2,……,jn语意上蕴涵y」。记法：j1,j2,……,jn⊨y语法蕴涵是单个杠杠，叫turnstile。表示前面j1,j2,……,jn语意上蕴涵后面的y。蕴涵关系实例说明：证明方式为当(j1Ùj2Ù……Ùjn)®y为恒真句时，若且唯若，上述的蕴涵关系成立。（1）P®Q，P®ØQ⊨ØP（2）⊨P®(Q®P)（3）P,ØP⊨证明方法如下：若要证明前面j1Ùj2Ù……Ùjn蕴涵y，就把前面(前提)做一个conjunction，与后面(结论)做conditional，若是(j1Ùj2Ù……Ùjn®y)为恒真句的话，蕴涵关系就成立。想要证明P®Q,P®ØQ⊨ØP的蕴涵关系成立，就是设法证明((P®Q)Ù(P®ØQ))®ØP是恒真句。运算顺序第一步：第一个®(括号内先做)。第二步：Ø。(括号内先做，且强度较强，故顺序先于第二个→)第三步：第二个®。第四步：Ù。第五步：Ø。第六步：®。结果是恒真句。2.想要证明⊨P®(Q®P)的蕴涵关系成立，就是设法证明P®(Q®P)为恒真句。⊨前面没有东西，意思是它没有前提，也就是说我们要证明这蕴涵关系成立的话，若语意蕴涵关系成立，它不可能前提皆真，结论为假。因为没有前提，那我只要证明结论皆真，这样的蕴涵关系就一定成立。证明结果，这个蕴涵关系成立，其意思是只要结果为真，前面加什么或不加，这蕴涵关系都成立。任意命题都会蕴涵恒真句，也就是没有前提也成立。古典逻辑中的一个问题是前提与结论并没有关系，怎么可以说推论关系成立，这的确是这个系统的基本问题，我们只在乎前提与结论的真假值演算，比如：PÙØP⊨Q，我们要证明(PÙØP)→Q，是成立的，运算结果是恒真句。可是请问P跟Q是一样的东西吗？不是，可是为什么可以推出，就是因为我们只关心真假值。若逻辑是为了捕捉我们的推论直觉，这样的蕴涵关系违反直觉，另有哲学家提出另个逻辑系统：relativelogic，也就是前提与结论内容上要相关。3.想要证明P,ØP⊨的蕴涵关系成立，就是证明(PÙØP)®j为恒真句。上述的蕴涵关系表是矛盾句蕴涵任意命题。此论证没有结论，没有结论意思是我任意用j代表，j指的是任意语句。这会是一个恒真句。表示若前提为矛盾句，后面不管加什么都成立。推论上思考方式是这样，如果可以相信矛盾，那就没什么不能相信，可以推出任何结论。只要前面是矛盾句，后面不管写什么都对。我们是否容许前提是矛盾的？若容许，便可推出任何结论。（二）等值关系(equivalence)对任意两个句式j与y而言，j与y等值，若且唯若j语意上蕴涵y而且y语意上蕴涵j。记法：⊨j«y等值意思是相互蕴涵。等值关系实例说明：证明方式为当j«y为恒真句时，若且唯若，j与y的等值关系成立。（1）⊨(P®Q)«(ØPÚQ)（2）⊨(PÚQ)«Ø(ØPÙØQ)1.想要证明P®Q与ØPÚQ是等值的，就是设法证明(P®Q)«(ØPÚQ)为恒真句。2.想要证明PÚQ与Ø(ØPÚØQ)是等值的，就是设法证明(PÚQ)«Ø(ØPÚØQ)为恒真句。关于等值关系的重要观察(1)所有的恒真句都是等值的。(2)所有的矛盾句都是等值的。·你能够试着说明这两个说法成立的理由吗？为何所有的恒真句均等值，所有矛盾句均等值的？若为恒真句指所有可能情况皆真，若两个语句皆真，那便为等值的，矛盾句情况也一样，两句均假，那也是等值的。（三）不一致(inconsistency)对任意句式集合G而言，G是不一致的，若且唯若没有任何情况能够使集合G中的所有语句为真。记法：G⊨不一致是使得我们觉得无法信赖说谎的人的重要依据。不一致的实例说明：证明方式为当G中的所有句式的连言是矛盾句时，若且唯若，G是不一致的。·G:{PÚQ,Ø(ØP®Q)}想要证明PÚQ与Ø(ØP®Q)是不一致的，就是设法证明(PÚQ)ÙØ(ØP®Q)为矛盾句。（四）一致性(inconsistency)对任意句式集合G而言，G是一致的，若且唯若至少有一个情况能够使集合G中的所有语句为真。记法：G⊭一致性是写作或小说创作的重要思考方向如把所有语句连接起来，至少有一情况使它为真即可，就是不要是矛盾句，就表示它是一致的。G⊭表示不能推出任何东西，多加了一横表示语句集合G是一致的一致性的实例说明：证明方式为当G中的所有句式的连言不是矛盾句时，若且唯若，G是一致的。·G:{PÚQ,Ø(P®Q)}想要证明PÚQ与Ø(ØP®Q)是一致的，就是设法证明(PÚQ)ÙØ(P®Q)不是矛盾句。有一情况为真，就表示是一致的。每一学科都会有很多理论，何谓理论？理论是一群句子，种种定律，最重要的测试就是，彼此间不能有矛盾情况，因那叫不一致，科学理论的基本要求就是理论本身必须是一致的。第五讲真值表法一、古典逻辑与真值表法（一）古典逻辑的二值原则默认每个原子命题只可能出现两个真假值：即「真」和「假」。通常以「T」代表「真」，而且以「F」代表「假」。以T代表真、F代表假，也可以用1、0表示，有的书会用┬(真)、┴(假)。因此，如果仅出现一个命题的语句，只需要考虑两个可能情况，而出现两个命题组成的语句，则须考虑2´2=4种情况。依此类推，出现n个命题的语句，则需要考虑2n种可能情况。所谓的可能情况就是原子命题的各种可能的组合，我们将每个可能情况称为「结构(structure)」或「模型(model)」。如果出现两个原子命题，那么，会有四个结构：__P____Q____P____Q____P_____Q____P_____Q__TTTFFTFF如果有三个原子命题，那么就会有8个不同的结构：__P___Q___R____P___Q___R____P___Q___R___P___Q___R__TTTTTFTFTTFF__P___Q___R____P___Q___R____P___Q___R____P___Q___R__FTTFTFFFTFFF（二）根据古典逻辑的外延原则，每个句式的真假值均可由原子命题的真假值决定。1.论证是一群句式的集合，其结构则为前提与结论。有效论证：不可能出现前提皆真而结论为假的情况。2.实例说明：（1）考虑下列论证的语意蕴涵关系是否成立①PÚQ,Q®R,ØR⊨P②PÚQ,R®Q,ØR⊨P（2）实例（a）观察实例(a)的每个结构，其中能够符合前提皆真的结构只有第四列，而第四列的结构亦使得其结论为真。因此，根据有效论证的判准，我们找不到前提皆真而结论为假的情况，所以实例(a)的蕴涵关系是成立的。有效论证的基本想法是，不能出现前提皆真，结论为假。所以，如果所有情况都没有出现前提皆真，结论为假的情况，就证明该论证为有效论证。如果是有效论证，在写完真值表测验结束后，你只要在最底下注明它是有效论证就可以了。（3）实例（b）第一个情况前提是「真真假」，它没有皆真，所以通过。第二个前提是「真真真」，它前提皆真，所以我们需要去检查结论，结论是真，所以通过。第三个前提是「真假假」，它没有皆真，所以通过。第四个前提是「真真真」，它前提皆真，结论是真，所以通过。第五个情况前提是「真真假」，它没有皆真，所以通过。第六个前提是「真真真」，它前提皆真，但结论是假，所以它是无效论证。你只要找到一个情况就可以证明它是无效论证。第七个情况前提是「假假假」，它没有皆真，所以通过。第八个情况前提是「假真真」，它没有皆真，所以通过。观察实例(b)的每个结构，其中第六列的结构使得前提皆真而且结论为假。因此，根据有效论证的判准，有前提皆真而结论为假的情况，所以实例(b)的蕴涵关系是不成立的。第六个情况没有通过test，所以我们说前提与结论之间的蕴涵关系是不成立的，或者说这个论证是无效论证。实例(b)的蕴涵关系不成立，表示方式如下：PÚQ,R®Q,ØR⊭P其反例结构为：__P__Q__R__FTF3.面对无效论证的回答方式如下：第一个你要写它是无效论证，然后我会要求各位将正确的sequence写出来，划个斜线表示这个蕴涵关系不成立。最重要的是反例结构一定要写，反例结构就是说明使得论证不成立的structure是什么。所以各位要把这个结构写出来__P__Q__R__FTF换言之，这个结构可以证明它是无效论证。如果碰到无效论证，我们在写答案时要出现三个东西。第一个你要写它是无效论证，或是它的蕴涵关系不成立。第二个你要把它正确的sequence写出来。第三个你要写出它的反例。（三）基本练习：考虑下列论证的语意蕴涵关系是否成立（1）P®Q,P⊨Q（2）P®Q,ØP⊨ØQ（3）P®Q,Q⊨P（4）P®Q,ØQ⊨ØP1.(P®Q),P⊨Q第一个情况，前提皆真，结论也是真，所以通过。接下来，都没有前提皆真，也通过，所以是有效论证。论证（1）为有效论证，即语意蕴涵关系成立2.P®Q,ØP⊨ØQ第一个前提是TF没有皆真，所以通过。第二个前提是FF没有皆真，所以通过。第三个前提是TT，前提皆真，但结论为假，所以这个论证是无效论证最后一个虽然通过，但是第三个没有通过，所以它仍然是无效论证。论证（2）为无效论证，亦即语意蕴涵关系不成立：（2）P®Q,ØP⊭ØQ其反例结构为:__P_____Q__FT无效论证的表示法：第一步要写这个论证是无效论证，或者写蕴涵关系不成立，然后写出正确的Sequence，接下来写反例结构，能够证明该论证是无效的可能情况，称之为反例结构。表示反例的时候只需要写出一个反例结构即可。3.P®Q,Q⊨P这个（3）也一样，有一个情况前提皆真，结论为假，所以可以看的出来是无效论证。论证（3）为无效论证，亦即语意蕴涵关系不成立：（3）P®Q,Q⊭P其反例结构为:__P_____Q__FT无效论证也一样要写出正确的sequence以及反例。4.P®Q,ØQ⊨ØP论证（4）为有效论证，即语意蕴涵关系成立。（4）证明出来只有一个情况要考虑，前提皆真，然后结论为真，所以是有效论证。（四）进阶练习：考虑下列论证的语意蕴涵关系是否成立（1）AÙB,(BÚA)®A⊨A«B（2）MÚØN,ØØN⊨N®ØM（3）⊨P®(Q®P)（4）(CÚØC)ÙD,ØD⊨1.AÙB,(BÚA)®A⊨A«B首先我们来看这个（1）它是AB,(BA)A⊨AB我们来看看它是不是个有效论证，我们一样把A列出来，它是真真假假，B是真假真假，所以AB这个前提它是真假假假。第二个BA我们会先做红色的or，再做蓝色这部分，接下来是结论，如果值一样为真嘛、不一样为假，所以是真真假真。所以可以看到第一个test，前提皆真，结论为真，通过。接下来第二个，很明显看到都没有前提为真的情况嘛，所以通过test，我们说是一个有效论证。所以你把真值表画完后，只要注明它是有效论证就好。论证（1）为有效论证，即语意蕴涵关系成立。2.MÚØN,ØØN⊨N®ØM第二个（2），是不是有效论证我们来看一下，还有个问题，我要交代一下。我们在列structure会有个问题，虽然比如说有四种情况会先写两个两个(一组)再写一个，但还有麻烦，就是上面的原子命题，原子命题通常有两个方法，第一个按字母顺序如A.B.C.D；第二个方法，按出现顺序来命名。比如说在这题里，M和N会倒过来，所以各位了解我意思吗？有时候会字母排序比较后面的先出现，所以如果有人写MN，有人写NM，这样会很困扰。所以各位比较喜欢哪一个？原则上，各位希望用哪个，我们就统一。出现的顺序？好，出现(的顺序)比较好，因为我怕有人会背错字母顺序。所以各位记得，各位在排列structure，请按照题目出现的顺序。那我们开始来看，这个我们先做红色的Ø，各位记得连接性的强度吗？连接性最强的是Ø，再来Ú、Ù，再来是→、«。所以如果没用括号要先做Ø再做Ú，如果各位很厉害会发现，两个ØN会相当于它自己，比如：我不是不爱你，跟我爱你是一样的。不过各位在讲时候不要激动，激动就会口吃，「我不是不不不不不……爱你」这样就要去数到底是奇数还偶数。所以这个，当然最后就是N啦，TFTF，然后这个是一样先做M，所以是FFTT，然后Conditional，小心前面是N，后面要红色这个，所以原则上做出来后再去做TEST，蓝色是最后结果，第一个，前提皆真，这两个蓝色是真、结论是假，所以这个structure刚好是反例。所以如果要test它是不是个有效论证，这里就可以证明了嘛，答案它就是个无效论证。论证（2）为无效论证，亦即语意蕴涵关系不成立：（2）MÚØN,ØØN⊭N®ØM其反例结构为:z所以它是个无效论证，反例结构只要写一个就够了，道理是我们讲一个人做错，只要讲一件事就好，一直讲最后会变得不理性。你要让人维持在理性的状态下，他比较容易认错。3.⊨P®(Q®P)这个sequence少了前提，如果没有前提，你就可以假设任何情况，也就是可以假设所有前提皆真，这样的情况结论就变得很重要，所以你只要发现结论有假，该论证就不成立，也就是说这个论证是无效论证。不过，在这里出现的是结论在任何情况下都为真，表示加入任何前提，也不影响它是有效论证的结果。4.(CÚØC)ÙD,ØD⊨论证（4）为有效论证，即语意蕴涵关系成立。接下来，这个少了结论，表示写什么都可以。那可以想象结论都是假，要看是否为有效论证，就是看前提是否都为真，如果有出现前提皆真的情况之下，表示可能会出现前提皆真、结论为假，那么这个论证就是一个无效论证。反之，如果在这个test里面没有出现前提皆真的情况，那就表示这个论证是一个有效论证。第一个我们把他带进来蓝色的部分最后是TFTF，这个是FTFT。所以你会发现这个连前提皆真的情况都没有，更不用说会出现前提皆真、结论为假的情况。所以这个论证显然是一个有效论证。二、简易真值表法真值表法的重要性在于提供一个决定命题逻辑论证有效与否的程序。不过，真值表法的缺点在于如果命题符号的个数过多，那么真值表法则显得过分繁复。因此，我们需要一个比较简单的方法──简易真值表法(short-cut)真值表在于提供一个有效的机械式程序，这个程序保证在任何命题逻辑或语句逻辑的论证，你都可以用真值表法证明是该论证是有效或无效论证。因为我们通常把逻辑的特性称之为Decidable可被决定的，所以如果我们找到一个方法，可证明所有论证是有效或是无效，那这个我们称之为可决定的。在真值表法前，想要证明某个论证，多少需要依靠一些天分来证明。然而真值表法在20世纪初才出现，所以20世纪以前的逻辑学家并没有这些的机械程序可以用来证明。但是，真值表法也不是那么完美，如果原子命题有两个，我们可以轻易地画出真值表，但是，如果原子命题有十个呢？那我们显然要考虑1024个情况。所以，真值表虽然是一个机械性的程序，也可以让我们证明论证是否有效，但是其缺点在于太过繁复了。所以逻辑学家找到了快捷方式。（一）简易真值表法的操作方法1.先假设给定的论证是无效论证，也就是假设前提皆真而结论为假。2.如果上述的假设会导致矛盾出现，那么该论证即为有效论证。如果没有矛盾出现，意思就是至少有一个结构可以使得前提皆真而结论为假，亦即该论证为无效论证。先假设前提皆真，结论为假，假设完再去检验，如果这样的假设会出现矛盾，就代表我假设该论证是无效论证是错的。但如果没有矛盾出现，就表示我可以找到一个情况让这个论证的前提皆真，结论为假，也就是无效论证。（二）—实例说明：（1）PÚQ,Q®R,ØR⊨P（2）PÚQ,R®Q,ØR⊨P（3）P®Q,Q®ØP⊨ØP（4）P®Q,P«Q⊨ØQ（5）(PÙQ)®R⊨P®R1.PÚQ,Q®R,ØR⊨P假设前提皆真且结论为假会产生矛盾，所以上述论证为有效论证。首先各位要把前提写出来。第一步假设所有前提皆真，结论为假。假设完后根据你的假设去做运算，如何运算呢？R为真，表示R为假，再来，如果如果R(第二个)为假，表示Q为假(第二个)。Q为假，PÚQ要为真，唯一的情况P要为真，所以是矛盾。表示矛盾的话，你刚假设前提皆真、结论为假，结果出现矛盾，表示假设不成立，所以是有效论证。2.PÚQ,R®Q,ØR⊨P假设前提皆真结论为假不会得到矛盾，因此上述论证是无效论证。反例结构(counterexample)：__P____Q____R__FTF第二个例子一样，我们先假设前提皆真，结论为假，然后运算。ØR是真，R就是假，Q可以是真或假，那就先写R为假，Q为真，可以配合后面P为假，发现这样没有矛盾，表示这个论证允许前提皆真、结论为假的情况，所以是无效论证。所以各位要把counterexample写出来，反例结构就是这个没有矛盾的情况。3.P®Q,Q®ØP⊨ØP假设前提皆真而结论为假会产生矛盾，所以为有效论证。第一步假设前提皆真，结论为假。从最容易做的开始，举个例子，有个人会有顺序的偏执，他一定要从第一个开始做，那他就会遇到P®Q为真，有三种情况。所以从唯一决定的开始，非必要不要分开。最简单的ØP为假，所以P为真。Q®ØP要为真，所以Q为假，那P®Q为真，所以Q要为真，所以这个假设会导致矛盾。既然假设前提皆真结论为假会导致矛盾，亦即证明前提皆真而结论为假是不成立，所以该论证是有效论证。4.P®Q,P«Q⊨ØQ假设前提皆真且结论为假不会导致矛盾，所以上述论证为无效论证。反例结构：__P_____Q__TT5.(PÙQ)®R⊨P®R假设前提皆真且结论为假不会导致矛盾，所以上述论证为无效论证。反例结构：__P____Q____R__TFF三、函映完备性(functionallycomplete)（一）函映完备性(functionallycomplete)对某真值函映连接词所形成的集合L而言，如果任意n元真值函映均可以用集合L中的真值函映连接词定义，那么集合L即具有函映完备性的性质。根据functionallycomplete，因为只是用到他，我们不做任何证明，只说明性质。原则上，我们其实在这里看到的一个状态是很难理解j，这个语句的函映并不是一个二元的连接词，是三元的连接词，用来连接三个语句，分别是P、Q、R，大致上可以写成这样#(P,Q,R)，有没有一个方法，去定义三元连接词的方法，而且定义从二元连接词来，对逻辑学家要证明所有n元的真值函映连接词都可以用二元的真值函映连接词去定义。只谈真值函映(INPUT真假值，OUTPUT一定会有真假值)，非真值函映不在讨论范围。证明说：能不能用有限的二元的真值函映去定义n元的连接词，这样的证明称为函映的完备性（二）具备函映完备性的连接词集合{Ø，Ù，Ú，®，«}—{Ø，Ù，Ú}、{Ø，®}、{Ø，Ù}、{Ø，Ú}{­}、{¯}第一个，我们在介绍命题语言时提到五个连接词，事实上，用这五个连接词就可以用来定义所有n元真值函映的连接词。我们的conditional其实可以用Ø或者是Ú来定义，也就是我们的P则Q其实可以换成ØPÚQ。所以conditional是可以不要的。我们equipollent的符号那个其实也可以用conditional来定义，就是P«Q可以定义成P则QandQ则P，所以后面两个符号其实是可以被定义的。因此我们会有底下{Ø，Ù，Ú}，他也是functionallycomplete的连接词。逻辑学家觉得既然三个可以，那两个行不行？结果发现也可以，所以我们会有{Ø，®}、{Ø，Ù}、{Ø，Ú}。那既然两个可以，那一个行不行？我们有没有可能用一个连接词去定义所有真值成立的连接词？结果发现也是可以的，所以我们会有两个有趣的符号{­}、{¯}。我们可以用这两个符号来证明所有的语句，定义所有的连接词。逻辑系统跟其他东西一样，你在某一方面变简单，你要付出的代价就是在另外一方面会变困难。比如说，我们用的连接词越少，我们语句的长度就会越长。以我过去所做过的问卷统计结果，通常理工农医的同学会喜欢用连接词少、语句较长的方式，而文法商管理的同学通常会用喜欢连接词多、语句较短的方式，当然这不是一定的。连接词越多就需要越多的证明，因此从证明的简洁性来讲，1个连接词在证明上他是占便宜的，可是他在表达上是吃亏的。这样的思考能力他会延伸到你的日常生活。比如说，有些同学在跟你讲话的时候，他会很简短、不浪费时间的跟你表达他的意思，但相对日后付出的代价却是比较大的。在科学里面有个非常重要的性质叫做简单性，我来画图解释给各位听。接下来我们要用函映的完备性的性质来解决下面的问题。四、DNF与CNF到目前为止，我们已经知道如何利用真值表决定语句的真假值。接下来，我们要挑战的问题是：是否可以经由真值表决定语句？接下来要解决的问题是，我们如何运用一个真值表来找出和j等值的语句？第一个方法我们称为DNF，另外一个称为CNF。它的想法大概是这样，我们现在要找这个语句有两个方向。（一）DNF:选言标准形式(DisjunctiveNormalForm)定义：某句式被称为选言标准形式，若且唯若，此句式是由连言作为选言项(disjunct)所组合而成的选言，连言中的连言项均为准原子句式。第一个方向是说，我们怎么去组织一个真的语句，并且告诉别人这句话一定就是这个真值表所要表达的意思？DNF是由真的情况去组织。而CNF刚好相反，他是由假的方向去组织。他的基本构想大概是这样。假设我给你这样一个真值表，你如要去组织这句话要表达的东西？想法上大概是这样，我们只要看到这个为真的情况，那这些为真的情况在告诉我们一件事，j这个语句必须要在第一、二、四情况里面为真，可是碰到第三个情况必须为假。所以我们在组织这个语句的时候，我们的想法就是，把所有为真的情况找出来。我们要让第一、二、四情况带进去为真，所以我们就是用Disjunction的方式把它连接起来。Disjunction的条件是，只要有一个为真，整句话就为真。意思就是，只要一、二、四情况带进去其中一个为真，他整个句子就为真。我们在找DNF的时候，我们把在Disjunction两边的，我们就分别称为disjunct。那在这个disjunct里面，他会是个conjunction，这个conjunction是用来描述这个情况的意思是什么。这个conjunction里面，他的conjunct都是quasi-atomicformula。1.准原子句式（quasi-atomicformula）定义：某句式称为准原子句式，若且唯若，该句式是原子命题或者是只包含一个否定号的原子命题。（1）P,Q,ØP,ØQ等是准原子句式。（2）ØØP,P®P,PÚQ等不是准原子句式。它如果是quasi-atomicformula的话，这个formula本身一定是一个原子命题，或只是只有加一个negation的符号。所以像P,Q,ØP,ØQ这些都是quasi-atomicformula。像ØØP,P®P,PÚQ这些都不是quasi-atomicformula。2.考虑真值表中的某个可能情况，以原子命题或其否定组合描述该状态为真，称之为状态描述。3.决定DNF的程序藉由状态描述的观念，我们可以轻易地找出以该真值表描述的DNF。将真值表中出现「T」的状态描述以选言的方式连接，就是我们所需要的DNF。决定DNF的程序，第一个我们先把状态描述确定好，确定好之后，我们只要把出现真的状态利用disjunction的方式把它连接起来，就是我们要的formula。4.实例（1）DNF的实例（1），假设某个真值表如下表所列：根据命题逻辑的语意规则，不难发现实例(1)的句式j其实就是Q®P。句式j的DNF则写成形式：(PÙQ)Ú(PÙØQ)Ú(ØPÙØQ)我们做出来是Q®P，我们的DNF就是，把刚刚为真部分的state用disjunction的方式把它连接起来。为了让各位同学更熟悉一点，我们再带各位做一次练习。第一步要先找有几个为真的情况，有三个情况第1、2、4我们把它圈起来，然后我们用disjunction的方式把它连接起来。接下来第二步，这里有两个命题符号，他需要有两个位置来填那些formula，所以我们在这里做conjunction是这样。第三步的做法，我们把这些情况里面如果出现是真，我们就把命题符号写上去；如果他出现的是假，我们就写上negation。第一个情况是P真Q真，所以是(PÙQ)。第二个情况是P真Q假，所以是(PÙØQ)。第四个情况是P假Q假，所以是(ØPÙØQ)。这样我们就完成了一个DNF，我们就找到了这个normalform，而这个语句就是跟若Q则P是等值的语句。（2）DNF的实例（2），假设某个真值表如下表所列：根据命题逻辑的语意规则，不难发现实例（2）的句式j其实就是Ø(P«Q)。句式j的DNF则写成形式：(PÙØQ)Ú(ØPÙQ)（3）DNF的实例（3），假设某个真值表如下表所列：根据命题逻辑的语意规则，不难发现实例（3）的句式j其实就是套套句，因此可以写成P®P或PÚØP等等。句式j的DNF则写成形式：(PÙQ)Ú(PÙØQ)Ú(ØPÙQ)Ú(ØPÙØQ)（4）DNF的实例（4），假设某个真值表如下表所列：根据命题逻辑的语意规则，不难发现实例（4）的句式j其实就是矛盾句，因此可以写成Ø(P®P)或PÙØP等等。由于没有任何一个状态使得句式j为真，所以我们无法挑出任何状态描述构成句式j的DNF。（5）（6）DNF的实例（5），假设某个真值表如下表所列：句式j的DNF则写成形式：(PÙQÙ¬R)Ú(PÙ¬QÙR)Ú(¬PÙQÙ¬R)DNF的实例（5）当连接词符号代表的函映关系超过二元时，我们就无法直接以命题逻辑既有的语意规则直接找到符合该真值表的句式j。不过，透过决定DNF的程序，我们可以找到等值句式j的DNF。（7）DNF的实例（6），假设某个真值表如下表所列：实例(6)句式j的DNF为下列形式：(PÙQÙR)Ú(PÙ¬QÙR)Ú(¬PÙQÙR)Ú(¬PÙQÙ¬R)Ú(¬PÙ¬QÙR)（8）DNF的实例（7），假设某个真值表如下表所列：根据命题逻辑的语意规则，实例(7)的句式就是矛盾句，因此可以用Ø(P®P)、Ø(Q®Q)、Ø(R®R)的形式，或者PÙØP、QÙØQ、RÙØR等表示句式。想想看，语句符号S并未出现在真值表的原子语句中，那么可以用、Ø(S®S)或SÙØS表达句式j吗？S在这个真值表里面的地位是undefined（二）CNF:连言标准形式(ConjunctiveNormalForm)定义：某句式被称为连言标准形式，若且唯若，此句式是由选言作为连言项(conjunct)所组合而成的连言，选言中的选言项均为准原子句式。DNF是要从什么情况为真来组织DNF，而CNF刚好相反，是我们要从什么情况为假去组织CNF。如果你要从假来组织，全部conjunction只要有一个为假，那么整句话最后得到的真假值就是假。其实CNF做的方式跟DNF差不多，只是从另一个方向来考虑。1.在真值表中的某行，以原子命题或其否定组合描述该状态为假，称之为状态描述。2.决定CNF的程序藉由状态描述的观念，我们可以轻易地找出以该真值表描述的CNF。将真值表中出现「F」的状态描述以连言的方式连接，就是我们所需要的CNF。实例（1）CNF的实例（1），假设某个真值表如下表所列：根据命题逻辑的语意规则，实例（1）j的句式其实就是Q®P。句式j的CNF为：(PÚØQ)（2）CNF的实例（2），假设某个真值表如下表所列：根据命题逻辑的语意规则，我们会发现实例（2）的句式j其实就是Ø(P«Q)。第一、四个情况为F，句式j的CNF为：(ØPÚØQ)Ù(PÚQ)（3）（4）CNF的实例（3），假设某个真值表如下表所列：第一个情况是(¬PÚ¬QÚ¬R)第四个情况是(¬PÚ¬QÚR)第五个情况是(PÚ¬QÚ¬R)第七个情况是(PÚQÚ¬R)第八个情况是(PÚQÚR)根据实例（3）的真值表，等值于句式j的CNF为：(¬PÚ¬QÚ¬R)Ù(¬PÚQÚR)Ù(PÚ¬QÚ¬R)Ù(PÚQÚ¬R)Ù(PÚQÚR)（5）CNF的实例（4），假设某个真值表如下表所列：根据实例（4）的真值表，等值于句式j的CNF为：(¬PÚ¬QÚR)Ù(¬PÚQÚR)Ù(PÚQÚR)（6）CNF的实例（5），假设某个真值表如下表所列：根据命题逻辑的语意规则，实例（5）句式j是套套句，可以P®P、Q®Q、R®R或PÚØP、QÚØQ、RÚØR等表达，这些句式均为句式j的等值句式。由于没有任何一个状态使得句式j为假，所以没有等值于句式j的CNF。第六讲真值树系统一、古典逻辑与语法演算系统真值表法所谈论的是命题之间的语意蕴涵关系(semanticentailmentrelation)。接下来要做的是语法的蕴涵关系，意思是根据推论规则逐步证明，这叫语法的蕴涵关系。亦即从前提开始，根据给定的推论规则，可逐步推论至结论，若成功，则称语法蕴涵关系成立，若否，则不成立。在研究语意蕴涵关系时，我们关心的是前提与结论的真假值之间的关系。然而，研究语法蕴涵关系所关心的是演算系统的建立，也就是证明命题之间的推论关系。也就是说，如何从前提开始，一步一步证明可以得到结论。（一）从古典逻辑的发展历史来看，有三种经常被提到的语法演算系统1.公理系统：这是在逻辑刚建立时，当时逻辑学家都用这个来做证明。这个系统蕴含一件事，就是你好像要很天才，如同你看到有些人对数学很厉害，随便想想就证出来，公理系统的证明有点像这样，有点靠天赋。公理系统会设定一些各位都会接受的公理，再藉由公理与其所认可的规则逐步做推论，可推论出的便称定理(theory)，用这方式演算的便是公理系统。2.自然演绎法：大概是在三零年代由Gentzen建立，自然演绎法的出现，对公理系统是一大进步，引进很多推论规则，可以用的东西多，证明的步骤就越简单，可用规则越少，步骤就更复杂。公理系统的规则只有一条。自然演绎法通常有两种：introductionrule、eliminationrule跟NaturalDeductionSystem。自然演绎法其理想是如此：不用公理，拿掉它，增加各位认可的推论规则，做成一个演算系统。3.真值树系统：像一棵倒过来的树，树根在上往下长，在这所有系统中最有力的系统，它比前两者优越的地方在于能决定论证是否有效，不过它还是有限制的，非所有一阶逻辑都办得到。前两者的困难在于在作证明时，需要天赋，如果你证不出来，如何说它是有效或无效论证，在决定论证是否有效，决定性是薄弱的。（二）关于证明的两种策略1.如果能够从前提开始，藉由推论规则逐步得到结论，则证明前提蕴涵结论。（1）2.假设前提与结论的否定是一致的，如果藉由推论规则得到矛盾，就表示前提蕴涵结论。真值树系统即采取此策略。（2）证明有两种策略，一是直接证法，由前提思考如何得到结论，二是归谬证法/间接证法，先假设结论不成立，再往前推，得到矛盾，得到结论是成立的。真值树系统采取的是后者的策略，公理系统与自然演绎法虽然也有归谬证法的部分，大部分由直接证法的概念来。（1）常称为直接证明法，大部分的公理法与自然演绎法采取这样的思考方向。（2）从反面来，RAA(归谬证法)或间接证法，先假设结论的否定与前提放在一起，若做出来会导致矛盾，意思是前提成立的情况下，结论一定要成立。以反向思考。（三）语法蕴涵关系的记号：“⊢”如果以句式j1,j2,……,jn作为前提，能够经由推论规则得到结论y，则称「j1,j2,……,jn语法上蕴涵y」。记法：j1,j2,……,jn⊢y⊢：turnstile。记号是用turnstile，用它来表示蕴涵关系，语法上蕴涵。或称y是j1到jn的derivation。二、真值树（一）真值树的基本结构1.前提和结论的否定构成树根(root)。2.根据推论规则逐步分解。3.当真值树成长到无法再以推论规则进行分解，则称为该真值树已经完全展开。先假设前提跟结论的否定，然后假设前提与结论都成立，若把它们分解到最后得到矛盾，那就是我们假设前提都成立，结论的否定成立，这件事是不成立的。所以在前提都成立时，结论一定要成立。等到真值树无法再分解，我们称这棵树已完全展开。目标是把前提跟结论的否定放在一起，看看它成立否。第二件是用推论规则推论。推到无法再分解，何谓无法再分解？就是推到只剩下命题符号与命题符号的否定，就说这棵树已经完全展开。便可判断是否为有效论证。如果只剩下命题符号与命题符号的否定，我们便说这棵树已经完全展开（二）真值树的图示完全展开后，如果你发现最后产生矛盾的地方，我们就会把branch关起来，如果所有都关起来，表示它是矛盾的，因此前提与结论的关系成立。如果有一个branch是打开的，就说至少有一个结构是让前提都成立而结论不成立，显然它构成无效论证，它是反例。1.真值树的图示说明（1）每个点都代表一个句式(formula)。（2）每个分枝(branch)都代表一个结构。结构指的是所有的命题符号的真假值的组合。在一个结构里不能出现矛盾，若产生矛盾，就会关起来。2.在真值树的分枝上，如果同时出现某个句式与该句式的否定句，则该分枝即为封闭的，以符号「×」表示。在某个branch出现这个情况：j、Øj同时出现，便是封闭。（三）推论规则的两种类型在真值树中，有两种基本规则，一是直线走的，表示a1、a2是相关的；二是分成两边的，表示b1、b2是不相关的。第一种type叫a，分解出来，a1、a2会在同一个branch上，第二种叫b，表示要分开，变成两个分支，分别是b1、b2，规则只有两种，这两种type是什么意思呢？第一种指的是conjunction，两句话要绑在一起，第二种是disjunction，是分开的，只要有一个为真就够了。第一种可以把它放在同一branch，根据推论规则，我们有个构想，我们把所有的formula的mainconnective通通变成conjunction或disjunction。1.类型(1)：由句式a分解为a1和a2，且a1和a2在同一分枝上。从结构的观点来看，就是句式a要为真，必须在a1和a2均为真的情况下。因此类型(1)用在主要连接词是连言的情况。类型(2)：由句式b分解为b1和b2，且b1和b2在不同分枝上。从结构的观点来看，就是句式b要为真，只要b1或b2为真即可。因此类型(2)用在主要连接词是选言的情况。2.连言意思是a就是a1跟a2选言的意思是表示b1的真假无法由b2决定，意思b要为真，只要其中一个为真就好了第一种类型讲的就是conjunction。第二种类型讲的是disjunction，只要有一为真就可以。（四）实例11.推论规则的两种类型实例现在把所有的formula的mainconnective变成conjunction或disjunction根据真值函映完备性的证明，古典逻辑的连接词可以用{Ø、Ù、Ú}定义之，因此每个复合句式都可以找到主要连接词为连言或选言的等值语句。2.首先，我们要介绍推论规则(i)，即和五个连接词直接相关的推论规则(i-1)：ØØj(i-2)：jÙy(i-3)：jÚy(i-4)：j®y(i-5)：j«y推论规则(i)第一个：ØØ，我不是不爱你，推论下来就是我爱你第二个：在同一个branch。第三个：分成两个branch。（2）以真值表证明P®Q等值于ØPÚQMainconnective是Ú，用第二类分解。接下来要做的是if…then，我们的规则只有连言跟选言，所以要设法把if…then变成连言获或言的formula，P®Q可以变成ØPÚQ，两者真假值一样，因此是等值的。「如果你爱我的话，那你就要买钻石给我。」换成ØPÚQ，就是「你不爱我，或者买钻石给我。」是不是一样？大致上是一样的，在当代逻辑中有问题，只是非本课程范围。我们通常不会说：「你不爱我，或者买钻石给我。」我们会用一个更厉害的字眼：unless，除非你不爱我，否则买钻石给我。（3）以真值表证明P«Q等值于(PÙQ)Ú(ØPÙØQ)（4）推论规则(i)：3.接下来，我们要介绍的是推论规则(ii)，是出现在推论规则(i)中的句型加上否定号的推论规则：（ii-1）：Ø(jÙy)（ii-2）：Ø(jÚy)（ii-3）：Ø(j®y)（ii-4）