何2007高教社杯全国生数学建模竞赛

2007高教社杯大学生数学建模竞赛区评阅编号（由赛区评阅前进行编号赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用统一编号（由赛区送交前编号评阅编号（ 评阅前进行编号 一个地区人口变化的直接原因是出生、和所有影响社会人口变化的诸因首先建立LogisticMalthus指数增长模型的修改，增加在建立模型过程中，我们采用1949年到2003年的人口总数为基本数据，使用软件，通过最小二乘法1951年-2001年数据拟合，求得Logistic模型中的待定参数k(最大人口数)和r（固有增长率）,从而得到Logistic模型的表达式（见5-1）1949年、1950年、2002年、2003年的数据对模型进行检验，误差范围十50年的总人数发展趋势（5-1）。本文建立了GM(1,1)5GM(1,1)x(01作为初始条件的传统做法，利用“最小二乘法”GM(1,1)C，经20（见6-3本文最后采用Leslie人口预测模型。具体到对城市女性的预测，考虑到抽样百1%，故具体到城市中的人口总数未知，本文使用城市女性人口所占城市总人口比率等效为城市女性数，由此将模型简化。通过每年出生率及率建立L矩阵，从比例失衡时，随着时间的推移，人口数与时间关系将呈现出“倒S曲线”（见图7-1，人如化对一个国家总人口的影响可使用Leslie模型。：人口预测；Logistic模型；灰色系统预测；Leslie问题重近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，化进程加速、出生人口比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着口的增长。关于《219492003基本假假设人口的的增长不和偶发的有联系符号说 :时间（年份x(t）:第t :为i的女性率d :为i的女性率 :为i的女性存活率，且有si=1-di材料分 20012005年口的各项数据，横向分为城，镇，乡，纵向分为从0岁到90岁以上这九十一个段，其中包括了男女各自的比率以及率，还给出了育龄妇女（15岁~49岁）的率。人口构成分2表4- 2001~2005年口构成表(岁城镇乡城镇乡城镇乡城镇乡城镇乡分析上表，分别作出2001年到2005年的城镇乡各段人口比例折线图，可以看出城镇乡各段人口所占比例每年的变化趋势大致相同，以2005年为例做出比例图：乡比比50 图4- 2005年城乡镇 段人口比人口化分分别按60岁以上和65岁以上计算老年人口比例，2001年为11.16％和7.53％，均达到化的标准；2005年达到12.57％和8.76％，较01年有大幅上升。具体情况见下表4- 2001~2005年口化情60老年人口比例65老年人口比例比将上表形象化,做成下图比8642086420年中龄化的特点（1至2004年底，中国60岁以上老人有1.4亿，占总人口近11%；65岁以上的老人为9680万，占总人口的7.6%。中年人口的数量比很多国家的总人口还要多（214%9%。（37%表明该国已进入老年型国家。按此标准，中国在1999年就已进入了老年型国家。从历20（4．续坚持的国策，其结果将不可避免地使我国提早达到人口化。（5．“分准备而且从人口发展趋势来看中龄化最还没到来大2030至2040年之间，那时老年人口将有可能占到总人口的25-28%。这给国家政策造成很大的压力。各率见附录1。关于化讨随着人口化进程的加快，人们在继续重视控制人口数量的同时，日注人口 市男女出生比镇男女出生比乡男女出生比年图4-市男女出生比镇男女出生比乡男女出生比年图4- 出生人比男女比值(女为出生人口的比口出生比率概况19.2:100多。中国新生儿比例失衡。对应的男婴数来表示。正常情况下，出生比是由生物学规律决定的，保持在103～107之间。出生人口比分析与图1994200512年的数据，通过Excel表4- 男女出生比率从图表中可以清楚地看出，出生人口比持续高昂，镇男女比例最高近130。根据资料第五次人口普查为1172003年抽样为119个别省份超过130。2005年1%抽样为118.58。城乡均出现异常，农村失调程度更为严重。如果按照120的比例发展下去，根据预测到2020年，20－45岁将比女性多3000万人左右。2005年以后，新进入婚育人口明显多于女性，挤压问题育龄妇育育龄妇育率概况1549岁的妇女。在大幅下降，许多妇女选择不生孩子，现在已经接近零界点，开始鼓励生二胎。 镇育龄 育///市育龄市育龄 育镇育龄 育乡育龄 育 年‰0图4-4- 育龄妇育由于2000年数据缺省，并且98年镇率和96年市率数据异常，故舍去并以内‰‰0

市育龄 育镇育龄 育乡育龄 育年图4-4- 育龄 育从图中明显看出，市镇乡各地区的率都在震荡下降，并且城市的育龄妇育农村人口城镇化从城乡分布来看，2004年末城镇人口达到54283万人，占总人口的41.76％，7570558.24级实施城市带动农村工业反哺农业的发人口城镇化率以每年超过1个百分改善农民进城务工环境促进农村劳动力有序流动2004年中国已经超过1.412020亿左右的人口。分布，统筹城乡、区域协调发展。

Logistic人口预测模型，人口的中短期预测即根据现阶段中国国情近期总人口及其结构进行预测。这对国家发展的制定具有很大的帮助，也是很有必要的工作。， 在Logisticxm被假设为不变量。而我国现在总人口数没有达到最大人口容量，因此符合Logistic模型的建立条件。Logistic假设人口增长率是当时人口数x0的递减函数r(x)x(t：txm:r(x):人口数为x时的人口增长率r:固有增长率，即人口很少时的增长率r(x)=r-ax,显然x0r(xrxxmr(x0ar由Malthus

r(x)dx

xx)x x(0) 由方程组（1）可得Logisticx(t)

1(xmxm、rdx/dtrsx,s

2195120014年的数据用于验证模型的x(t)

0.0324(t运用此模型对1900年-2100年口进行预测，可得到如下S型曲线20 Logistic曲1949年、1950年、2002年、20032003年）的预测，预测值的相对误差值较低。传统Logistic人口预测在人口预测时精确度不高，与实际情况吻合性较差。同时，若作长期的人口预测，由于误差的叠加，极易导致结果的产生。分析LogisticxmLogistic模型进行改进。

优化的GM(1,1)模型在中短期预测的应用依照中国1994年到2005年的人口来预测中短期内中国的人口，实际是对已知数据10年的人口统计数据，数据量较少。而且人口的变化具有规律性和随机性的同时参考[6]，可以使用优化的GM(1,1)模型优化的GM(1,1)模x(0)(k):原始的第k年的人口总数

x(0)(k){x(0)(1),x(0)(2),...x(0)x(0k代表原始的第k年的人口总数。x(0k做一次累加生成，即

kkx(1)(k)x(0)x(1)(k){x(0)(1),x(0)(1)x(0)(2),...x(1)(n1)x(0)据此建立关于x(1)(k)的微分方程

(1)这是一个一阶微分方程，式中a、ua、uua(BTB)1u

1/2[x(1)(2)x(1) 11/2[x(1)(3)x(1) 1B 1/2[x(1)(n)x(1)(n 1 NN

x(0)(2),x(0)(3),...,x(0)C

x(1)(k)cea(k1)aC(DTD)1A(x(1)(1)u/a,x(1)(2)u/ ,x(1)(n)u/,enaD(ea,,ena则对t+1x(0)(t1)x(1)(t1)x(1) 拟合值与实际值最为接近。故而选取5维模型为最优预测模型。现取1994-1998年的数据，依据优化的GM(1,1)模型，可以得到相应的预测模型x(0)(t)1205.1(e0.1t0.1e0.1t0.2 相对误差7.2.22001-2005x(0)(t)2187.2(e0.0059t0.0059e0.0059t0.01182006202521年的人口进行预测有 2006-2025年人口预联系到《国家人口发展》中提及的两大国家：到2010年，人口

Leslie模型在人口长期预测中的应用别分为六种情况：城市女性、城市、镇女性、镇、乡村女性及乡村。先对城市女性人口的发展变化进行分析，再将其拓展到城市人口的发展变化上。其他两20051，以后各年推测200520062006200548%由于男女出生比例不为1：1，故使用Leslie模型分别对男女进行预测。先进行女性7.2.2。以女性为基础的Leslie(1)不考虑生存空间等自然资源的制约,不考虑意外等因素对人口变化的影响(2)率仅与有关，存活率也仅与有关7.2.3 ri/100：男女比ni

第t年中为i的女性总人（实质上为城市女性占2005年人口的比例：为i的女性率：为i的女性率：为i的女性存活率，且有si=1-di将人口按等分为0到90岁，T ,n90(t)] n0(t1)=100r(t)(bid0)ni

ni1(t1)sinin(t1)

，100(bm2d0r100(b0d0 100(b1d0100(bm2d0r r

r

r

其中ri仅与有关，考虑到具体情况，可将已知数据取平均值由于将总人口数按照地域 分为六种情况，故先考虑城市女性情况将ri取平均值，用 7.1编程（具体原代码见附录5）实现8.2.2过程，城市城市女性占2006年城市人口50 时间/7-1倒S20062006（基量）同样，对女性及乡村女性人口预测也得到“倒S曲线”，下面分析其原因:假设n(0)和矩阵L已经由统计资料给出，则n(t) t 为了讨论女性人口结构的长远变化趋势，先给出如下两个条件si>0，i=1，2，…，m-bi0，i=1，2，…，mbi（i当>1当=1当<1时，人口数最终是递减的。根据（6）式，如果=1，则有b1+b2s1+b3s1s2+…+bms1s2…sm-R=b1+b2s1+b3s1s2+…+bms1s2…sm-R称为净增长率，它的实际含义是每个妇女一生中所生的平均数。当R>1时，R<1时，人口递减。7.2.3随着时间的推移，将呈现出“倒S曲线”，人口将递减直到。这提示我们因加强宏观8参考文杨文明，口化发展趋势预测 王颖文，我国新生婴儿比率严重失调 中心网专家:今后中国应控制每位育龄妇育近两胎水平.cn/常雷雷，一个改进的Logistic模型及其在湖南人口预测中的应用， 251期，20073姜启源，数学模型 ，高 各率率(百万分各率率(百万分之08口统计（1949-时间/人口/时间/人口/时间/人口/时间/人口/时间/人口/3（Logistic模型的程序functionx_yu