信息学竞赛冬令营集1999贝

东北育才学校【n个节点的树以及每个节点k棵子树，使得子树中所有节点权值和的最小值最树的划分问题是图论中的一类范围非常广泛的问题，这类题目的大意就是将给定的一一、问题的提草莓（NOI2003Day2-2berry 给出一片草莓中每个草莓的重量以及它们的连接情况。定义：sum(i)i块草莓田中所有草莓重量的和（1<=ik）,xmin{sum(i)|1<=i<=k。你的任务就是要把一块草莓田分割成k块，且分割方案需要满足如下的条件：·x尽可能的大。69个数据所给的图是一棵树，若不k棵子树，定义：sum(i)i棵子树中所有节点权值的和，x=min{sum(i)|1<=i<=k}，请求出x的最大值并输出此时的划分方案。二、算法1：转化问个节点，计算以此节点为根的完全的权值和，若权值和使得划分的最大数目不小于k，x既为原问题的解。我们终于找到了一种解决问题的途径，但问题是否已经被完美的解决了呢？当我们分如果每个节点权值的上界是c(no(c)ey三、算法2：移动算，后达到某个目标状态。初始状态的选择并不，我们可以任取一个度为1的顶点为根，然使得其最后终止时会达到我们期望的最小最大的要求。树的权值和我们取出其中新权值和最大的那一种与当前未移动时的的最小权值和进1k-1个割都计算出当前划分状态下 Wnow最大的那种移动。算法结束，Wmin既为所求的最大的最小值，当前划分法在第一时间内用来确定它是对的，我们还需要对它进行的研究和分析。 A在划分A’的上方，也就是存在一种AA’的割的一一对应，使得每个A的割都在它A’的割的上方。这种定义能够形象的表现出上方的含义，不失为一种不错的定义在这之前，让我们先定义一下部分的概念：若一棵T的T’包含了顶点v连同v的某一个儿子以及这个儿子的所有后继则称T’是T在顶点v处的一棵部分与v相T’的初始边。接下来我们在树T上的两个划分A和A’，若A在A’上方，则对于任意一棵T的部分，我们发现，若A中有一个割c在上，因为这个割所对应的A’中的割c’是在c的下方，所以c’也一定在这棵部分上。如果将划分A在一棵部分上的割的数目表示为#(A)。我们得到了如下性质：若划分A在A’上方，则对于树T的任意一棵部分，都有#(A)#(A’)。这条性质在下面的证明过程中起到了非常重要的作用。，下面我们便来到了最的部分为了证明算法的正确性试图证明如下几点，在初始状态时的划分AQ若存在一个最优划分QA是在QAQ设A在Q的上方且A不等于Q，在算法进行一步后A变为A’， 一个最优划分Q’使得A’在Q’上方。 QAQAQ不相等（A不是最优划分，由(2)得算法一定还会继续，与算法终止，故算法终止时的划分一定为最优划分。使得最小最大的划分。用Wmin(A)表示在划分A下的最小的权值，则对于任意一A，都有Wmin(A)Wmin(Q)。(2)若存在一个最优划分Q使得当前的划分A是在Q的上方A和Q不相等，证：因为AQ不相等，故在A中必存在一个割使得在同一条边上没有Qc为满足此条件的深度最大的割，由于在以c所在的边为初始边的部分上，#(A)≤#(Q)，且c所在的边上没有Q的割，所以在中必存在一个Q的割s使得在同一条边上没有A的sAc’c’sc’所对应的新的权值和≥s所对应的权值和≥Wmin(Q)≥Wmin(A)（因为Q是最优划分，所以算法一定会继续，且移动后的割所对应的新的权值和一定不小于Wmin(Q)。证毕上面的证明还顺便得出了另一个结论每次经过算法移动后的割所对应的新的权值和一定不小于Wmin(Q)，这个结论 (3)设A在Q的上方且A不等于Q，在算法进行一步后A变为A’， 能找到一个最优划分Q’使得A’在Q’上方。c从边e1移动到了e2，设边e1e2v。为了构造Q’,情况1：对于在顶点v处的每一棵部分T’，都有#(A)=#(Q)则经过移动后对于以e2为初始边的部分有#(A’)=#(Q)+1，由于在以e1为初始边的部分中#(A)≤#(Q)，故在边e1上必有Q的一个割，不妨设为s，将s从e1移动到方的。所以在T’中，s所对应的一定是包含c所对应的的。所以s所对应的权值和≥c对应的权值和≥Wmin(Q)((2)的证明中的得出的结论)，所以Q’也是一个最优A’Q’上方的。情况2：存在在顶点v处的某棵T’使得#(A)<#(Q)如果在以e2为初始边的中就有#(A)<#(Q)，则A’≥Q，既Q就是符合条件的划分。若在以e2为初始边的中#(A)=#(Q)，则由假设我们可以设存在一条从v出发的边e3使得在以e3为初始边的部分T’中#(A)<#(Q)，设s为Q在T’中深度最小的割，将s移至e2处，构成划分Q’。则A’是在Q’的上方的。与情况1一样，s所对应的新的权故Q’也是一个最优划分，且A’在Q’上方。 情况 情况Ok2rd(T)+kn)rd(T)是这棵树的半径，具体的算法实现比较复杂，这里就不详细讲了，有的朋友可以参考一下相关的。值的直径等等这个算法是不是依然适用呢？我们发现在算法正确性的证明过程中，用了权函数的一个性质：若T’是T的任意一棵，则必然有W(T)≥W(T’)，其中W(T)k棵子树，使得的最大值最小，或是最大值与最小值的差最小等等问题，我们是不是也可以用122k－1根相连的唯一一条边上得到的，这样做的好处是一定可以保证它是在某个最优划分的上方，（树中所有节点的权值和）/(k-1)，则算法划分出来的数目一定不超过k-1剩余12便巧妙的结合在一起了。，四、总1主要应用了问题转化的思想，将原问题转化为新的，容易解而算法2则从另一个角度看问题，将目光集中再分割的“割”上面，从而得到了一个复RonaldI.BeckerandYehoshuaPerl,Theshiftingalgorithmtechniqueforthepartitioningoft