冀教版初中数学八年级上册全册导学案

第十三章JU次不等式和7L次不等式组

第一节不等式

点拨：要看一个表达式是否是不等式，就是

学习目标

要看式子中是否含有不等号，因此答案是

1.经历从具体问题情景中建立不等式模型(1)(2)(4).

的过程，进一步发展学生的符号感.例2.列不等式：

2.了解不等式的意义，认识到不等式是表示(1)x的3倍与x的工的差是非正数.

同类量之间关系的重要数学模型.2

3.体会现实生活中存在着大量的不等关系，(2)a的2倍与b的差不小于4.

学习不等式的有关知识是生活和工作的(3)x与y两数的平方和不可能小于5.

需要.(4)小红家有3口人，人均住房面积不足

-5___________________________£

］课前预习方案20平方米，则她家的住房面积x平方

米可表示为.

自主学习点拨：不等式反映的是代数式之间的不等关

1.用等号或不等号填空：系，解决这类问题的重点是抓住关键

词，弄清不等关系.

(1)0_____-32；(2)3.3_____—；

10

解：(1)3x--x<0；(2)2a-b24；

(3)a2____0；(4)(3-x)2_____(x-3)2.2

2.某种零件的长度表明为L=50±0.3,则此x

(3)x'y2>5；(4)-<20.

零件长度L的范围是.3

知识链接例3.用A、B两种原料配置成某种饮料，已

1.不等号的种类：>、<、>、W、手.知这两种原料的维生素C含量及购买这两种

2.不等号的读法;例如：读作大于.原料的价格如下表：

3.不等号的意义：例如：表明左边的

A种原料A种原料

量大于右边的量.

—C

维生素C(单位/千

］课堂学习方案500200

克)

知识结构原料价格(元/千

73

1.不等式的定义：用不等号连接而成的式子克)

叫做不等式.现配制成此饮料12千克，至少含有4000单

2.列不等式：依据题目中的不等关系列出相位的维生素C,试写出所需A种原料的质量

应的不等式的过程叫做列不等式.x(千克)应满足的不等式为；若

3.判断使不等式成立的值的方法：购买A、B两种原料D的费用不超过70元，

将数值代入不等式的左、右两边，如果合则x(千克)应满足的另一个不等式为

不等号所表示的不等关系，则数值就为所

要求的数值；反之,不是.点拨：此题为图表信息的应用题，仔细阅读

典型例题图表提供的信息，结合题中的已知条

例1.在下列表达式中：(1)-2<0,(2)x-3y件即可得到关系式.

22

21,(3)5a+l=0,(4)7x+3^y,(5)a+2ab-b解：500x+200(12-x)>4000,

是不等式的(只7x+3(12-x)W70.

填序号).

限时课堂训练P=二一的大小关系是__________.

3

基本练习10.某市化工厂现有甲种原料290千克、乙

2种原料212千克，计划利用这两种原料

1.下列各式⑴a+3,⑵—,(3)5a—

X生产产品共80件，生产一件A产品需要

4甲种原料5千克、乙种原料1.5千克，

2b=7,⑷m》0,⑸yW3,(6)一<3,属于

5a生产一件B产品需要甲种原料2.5千克、

不等式的有()乙种原料3.5千克，若该化工厂现有的

A.1个B.2个C.3个D.4个原料能保证生产，试写出满足生产A产

2.当x取2时，下列不等式成立的是()品x件的关系式.

A.x+2>0B.x+2<0

C.x-2>0D.x-5>0

3.用不等式表示“7与m的3倍的和是正数”

就是•

4.如图，天平右盘中的每个祛码的质量都

1g,则物体A的质量mg的取值范围为

拓展思维

比较下面两列算式结果的大小：

52+42______2X5X4,

5.(09.舟山)日常生活中，“老人”是一个模22

(-2)2+(-)2_________2X(-2)X-,

糊概念，有人想用“老人系数”来表示一-33

个人的老年程度，其中一个人的“老人系32+322X3X3,….

数”计算方法如下表：通过观察，归纳比较

人的年龄20092+201022X2009X2010,

xW6060<x<80x280

(X)岁写出能反映这种规律的一般结论，并证

该人的老x-60明你结论的正确性.

01

人系数20

按这样的规定，一个年龄为70岁的人,

他的“老人系数”为.

6.请你写出一个整数x,使不等式

-x-7>4成立，这个数是

2

7.用“V”号表示-(-3)；-一三,—(—2)3的

4

大小关系：.

8.若a+b<0,且|a|>Ib|,a,-a,b,-b

大小关系是.

9.若实数a>l,则实数M=a,N="2,

2

第二节不等式的基本性质

(3)若a<b,则-l+5aT+5b.

学习目标

(4)若a)b,则----------,

1.经历不等式基本性质的探究过程，体会不33

等式变形和等式变形的区别和联系.(5)若a>b,则-a<?-be2.

2.掌握不等式的基本性质.点拨：解此类题的关键是先观察不等号的

3.通过对不等式性质的探索，培养大家的钻左、右两边是由原不等式进行了怎样

研精神，同时加强同学间的合作与交流.的变形得到的，然后依据不等式的三

条基本性质决定不等号是否要变向.

课前预习方案

I注意c可能为0的情形.

自主学习答案：⑵〉

1.设aVb,请用或“V”填空.(4)W(5)W

(l)a+5___b+5,(2)a-3______b-3,例2.依据不等式的基本性质,把下列不等式

(3)4a_______4b,(4)-5a_______-5b.化为x>a或x<a的形式：

2.将下列不等式化为x>a或x<a的形式:(D-3x+lW2x,(2)2(y+3)210.

(l)x+2>3,(2)5y-4<2.点拨：在不等式变形的过程中，要严格按照

知识链接不等式的基本性质进行变形，应先观

等式的基本性质：察不等式的特点，再根据其特点选用

1.等式两边同时乘同一个数，等式仍成立.相应的不等式的基本性质进行变形.

2.等式两边同时除以同一个数(除数不能为解：⑴-3x+lW2x

0),等式仍然成立.-3x+lTW2x-l(不等式基本性质1)

〜C

-3xW2xT

课堂学习方案

I-3x-2xW2xT-2x(不等式基本性质1)

知识结构-5xWT

1.不等式的三条基本性质：-5x-1

L(不等式基本性质3)

基本性质1：如果a>b,那么a+c>b+-5-5

c,a—c>b—c.

基本性质2：如果a>b,并且c>0,那么

ac>bc.(2)2(y+3)210

基本性质3：如果a>b,并且c<0,那么2(y+3)+2210+2(不等式基本性质2)

ac<bc.y+325

2.对基本性质的理解：y+3-325-3(不等式基本性质1)

(1)对于性质1,须注意的是“c既可以代y22

表数，也可以代表整式”.例3.小明与小刚讨论一个关于不等式的问

(2)对于性质2、3,须注意的是“c的正题，小明说：当每个梨的大小•样时，5个

负性”，如果c为正数，不等号的方向不梨的质量大于4个梨的质量，设每个梨的质

改变；反之，变号.如果c为。时，不等量为x,则有5x>4x,小刚说：这肯定正确.

式两边都乘。时.，变为等式；若除以0,小明又说：那如果a为有理数，则5a一定

则无意义.大于4a,这对吗？小刚说:这与5x>4x不是

典型例题一回事吗？自然对.请问：小刚说的对吗？

例L用不等号填空：试说明理由.

⑴若a<b,则a-3b-3,点拨：要判断5a与4a的大小关系，与前面

⑵若a>b,贝ij2aa+b,5x>4x是不同的，因为题中很明确x>0,而

3

a的取值情况不能确定，因此必须分情况讨C.若a<l,贝Ij/Vl

论.D.若a>0,贝ija2>a

解：小刚回答不正确，5a不一定大于4a,

9已知x/4,化简：|23一3卜|6-2闻

因为a的取值不确定，应分三种情况讨论.

当a>0时'由不等式基本性质2,得5a>

4a；当a<0时，由不等式基本性质3,得

5a<4a；当a=0时，5a=4a=0.

限时课堂训练

基本练习

1.若m<n,比较下列各式的大小:

(1)m-3n-3；

(2)_5m_________5n；

拓展思维

(4)3-m2-n；(1)2>1>0,4>3>0,2X4____3X1；

(5)0m-n；5757

(2)8>—>0,3>—>0,8X3____—x一；

小3-2m3—2〃43—43

(6)------------.

44你从中发现的数学规律是什么？请试举

2.x<y得到ax>ay的条件应是几例验证一下.

3•满足-2x>-12的非负整数有

4.如果m<n<0,那么下列结论中错误()

A.m—9<n—9B.—m>—n

八11、m.

C.—>—D.—>1

nmn

5.若a-bVO,则下列各式中一定正确()

A.a>bB.ab>0

C.—<0D.—a>—b

h

6.已知有理数a、b、c在数轴上的位置如

图所示，则下列式子正确的是()

-c~b-0

A.cb>abB.ac>ab

C.cb<abD.c+b>a+b

7.2a与3a的大小关系()

A.2a<3aB.2a>3a

C.2a=3aD.不能确定

8.a为有理数，下列给出的结论正确的是

A.a2>0()

B.若a<0,贝ija2>0

4

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第三节一元一次不等式

第一课时一元次不等式的解法

式的解集.

学习目标

不等式•般有无限多个解.

1.使学生正确理解不等式的解，不等式的解(3)解不等式

集，解不等式的概念，掌握在数轴上表示求不等式的解集的过程，叫做解不等式.

不等式的解的集合的方法.2.解集在数轴上的表示方法：

2.会解简单的一元一次不等式，并能和解一理解“两定”：一是定边界点，二是定方

元一次方程的过程进行类比，发现异同.向；

3.培养学生观察、分析、比较的能力，并初口诀记忆：大于向右，小于向左，有等号

步掌握对比的思想方法.的画实心，无等号的画圆圈.

3.一元一次不等式的概念：

课前预习方案

I只含有一个未知数，未知数的最高次数是

自主学习一次，这样的不等式叫一元一次不等式.

1.下列说法正确的是()典型例题

A.不等式x<5的整数解有无数多个例1.下列不等式是一元一次不等式吗？

B.不等式x<5的正整数解有无数多个(1)2x-2.5^15；(2)5x+3y>240；

C.不等式-2x>8的解集为x>-4

(3)x<-4；(4)->1.(5)X2-2X-1^0；

D.-40是不等式2x<8的一个解.x

2.下列不等式是一元一次不等式的是()(6)2(1-y)+y>4y+2.

x3思路分析：要判断一个不等式是否是一元一

A.x(2-x)B.—I——>6

2x次不等式，不能只看形式，要看化简以后的

C.2x-5y+2<0D.3(1-y)>4y+2结果，而且含有未知数的式子都是整式.答

3.解下列不等式：案是(1)(3)(6).

(l)x-2<5(2)2x》x+6.例2.解不等式3-x<2x+6,并把它的解集

知识链接表示在数轴上.

一元一次方程的解法：去分母、去括号、移点拨：类比解一元一次方程的过程，运用不

项、合并同类项、系数化为L等式的基本性质解次不等式.

］课堂学习方案解：两边都加上x,得

3—x+x<2x+6+x

知识结构合并同类项，得3<3x+6

1.明确几个基本概念：两边都加上一6,得3—6<3x+6—6

(1)不等式的解：合并同类项，得一3<3x

能使不等式成立的未知数的值，叫做不等两边都除以3,得一IVx

式的解.即x>—1.

判断某个未知数是不是不等式的解，可以这个不等式的解集在数轴上表示如下：

直接将其代入到不等式中，然后看不等式

是否成立，如果成立则是不等式的解；反

-3-2-101234

之，则不是不等式的解.

(2)不等式的解集：例3.解不等式(k+2)x>5.

一个含有未知数的不等式的所有解，组成点拨：当未知数的系数不确定正、负时,

这个不等式的解的集合.简称为这个不等需对其进行讨论.

5

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(3)7x-2W9x+3

解：若k+2>0,则x>-----,

k+2

若k+2<0,则》<-----,

k+2

若k+2=0,则不论x为何值时,

（k+2）x>5都不成立.

限时课堂训练

(4)5x-2>1lx+3

基本练习

1.不等式x+426的解集是（）

A.x=2B.x》2C.xW2D.无解

2.下列四个结论：（1）4是不等式x+3>6

的解；（2）3是不等式x+2>5的解；（3）

不等式x+l<2的解有无数多个；（4）不

等式x+l<4的的解集是xV2：（5）不等

式x+2>l的解集是x>-l,其中正确的个

数是（）拓展思维

A.1个B.2个C.3个D.4个

已知不等式>7和不等式

3.下列不等式中不是一元一次不等式的是3

A.-x+1）5B.2x+3y<0

--x2m+"<6都是关于x的一元一次不

35

C.3.x4—x<一2D.4x<5（）

4等式，求代数式3m+2n的值.

4.已知a〈0,则关于x的不等式ax<5的解为

_；5x<a的解为

5.写出一个解为x>8的一元一次不等式

6.能使不等式3x+52x-2成立的负整数有

7.当x时，代数式x+3的值是正

数，当x时，代数式4-x的值是

负数.

8.已知关于x的不等式x-a>l的解集如下

图所示，则a的值是.

，一

-3-2-1012

9.解下列不等式，并把解表示在数轴上：

（l）l-x>2（2）5x-4>4-3x

6

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第二课时次不等式的解法

系数的正、负性，决定是否改变不等

学习目标

号的方向.

1.通过具体实例，归纳解一元一次不等式的解：去分母，得2x230+5(x-2),

基本步骤.去括号，得2xe30+5x—10,

2.能利用一元一次不等式的知识解决数学移项、合并同类项，得3xW-20,

中的具体问题.20

两边都除以3,得xW——.

3.进一步体会类比的数学思想，并培养学生3

的合情推理意识，主动探究的习惯.不等式的解集在数轴上表示如下：

〜C

'课前预习方案

-10-8-6-4-2024

自主学习例2.已知关于x、y的方程组

1.解不等式(l)3—xV2(x+6),

《的解满足0<x+y<l,求

x+3y=2(2)

2.2x-4W0的非负整数为.k的取值范围.

3.7a与3差不大于1,则a的取值范围是….点拨：此类问题的解法：注意不等式与方程

知识链接(组)的综合应用.首先是用含待定系数的

非负整数：大于或等于0的正整数如0,1,代数式表示出方程(组)的解x、y,随后根

2,3,据题目中的条件列出一元一次不等式，从而

非正整数：小于或等于0的负整数如0,T,求出方程(组)中未知的字母系数的取值范

-2,-3,围.

方程组的常用解法：代入消元法、加减消元解：(1)+(2)得：4x+4y=k+3,

法.女+3

即nx+y=---->

4

V0<x+y<l,

课堂学习方案

.八k+3

：.0<----<1,

知识结构4

1.解一元一次不等式须注意的：

0<Zr+3<4,一“，、

理论依据：不等式的基本性质；可得m=3.

-3<k<1.

数学思想：类比思想，数形结合思想

基本步骤：去分母、去括号、移项、合并］限时课堂训练

同类项、系数化为1.

2.一元一次不等式的纯数学应用问题.基本练习

典型例题1.解下列一元一次不等式:

例1.解下列不等式，并把它们的解集分别在x—14x—5

⑴----<-------

数轴上表示出来：土》3+土」23

52

点拨：利用解一元一次不等式的基本步骤：

去分母，去括号，移项，合并同类项，

系数化为1.注意“去分母、去括号”

时不要漏乘，分子是多项式时须加括

号，“系数化为1”时须注意未知数的

7

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拓展思维

”1,1111

己>知:-----1,-----------

1x222x323

2x-31_111_11

(3)—2W<1----

33^434'47545

1_11

(n-1)/?n-1〃，

根据卜.面式子的规律，求不等式

XXX

--1--1---F…+>〃-1

2612

的解集.

2.关于x的方程3x+k=4的解是正数，

则k.

3.三角形的三边长分别是6、9、X,则x的

取值范围是——

4.不等式一3W5-2xV3的正整数解集是

5.某商品原价5元，如果跌价x%后，仍

不低于4元，那么x的取值范围为

6.如果不等式3x-mW0的正整数解为1,2,

3,求m的取值范围.

7.已知关于X,y的方程组］葭?3：:15

的解都是正数，求a的取值范围.

8

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第三课时一元一次不等式的应用

知每只笔三元,每个笔记本2.2元,她买了2

学习目标

个笔记本.请你帮她算一算，她还可能买几

1.经历从具体问题中抽象出不等式模型的枝笔？

过程.分析：①隐含不等关系：用21元钱买

2.会将具体问题转化为数学问题并求解.笔和笔记本可抽象为不等关系W21

3.熟练掌握•元一次不等式应用题的解题②若设可买n枝笔,则本题中n只能

步骤.取正整数.

］课前预习方案解：设她还可买n枝笔，由题意，得

3n+2.2X2W21

自主学习解这个不等式,得

1.利用不等式解决问题的关键是寻找—关

系，列出,并注意根据问题的实际

意义对解集进行,最后确定问题的为正整数

解.小颖还可能买1枝、2枝、3枝、4

2.一次环保知识竞赛共有25道题,规定答枝或5枝笔.

对一道题得4分,答错或不答一道题扣1总结：①通过类比数学思想，类比一元

分,在这次竞赛中，小明被评为优秀（85一次方程解应用题的方法,能够运用一元一

分或85分以上），小明可能答对了一道次不等式解决实际问题.②一元•次不等式

题，至少答对了道题.应用题的解题步骤：审题、找不等关系、设

知识链接未知数、列不等式、解不等式、对实际问题

一元一次方程应用题的解题步骤：审进行检验、下结论.

题、找等量关系、设未知数、列方程、解方例2.某座楼电梯的最大承载量为

程.1000kg,在电梯里装上700kg的装修材料

］课堂学习方案后,5名装修工人走进了电梯,这时，电梯的

警示铃响了，这说明一超过了电梯的最大承

知识结构载量.这5名工人的平均体重超过了多少千

同类量之间的不等关系,可以用数学中克？

的不等式来表示,要把实际问题中的不等关分析：关键语句：电梯的警示铃响了，

系抽象为不等式,需把握以下两点：这说明已超过了电梯的最大承载量,点明本

①明确问题中常用的表示不等关系词语的题的不等关系.

意义.如“大于”“超过”“还多”“高于”等解：设这5名工人的平均体重为x千克，由

抽象为“>”，“小于”“不足”“还少”“低题意，得

于”等抽象为“<”，而“不大于”“最多”5x+700>1000

对应“W”，“不小于”“至少”对应解这个不等式,得

②隐含不等关系在具体情境中，如买东西，x>60

花去的钱应不超过原有的钱；汽车运货物质答:这5名工人的平均体重超过了60千克.

量应不超过汽车规定的载重量;“用”和“运”

的区分等等.

典型例题：

例1.小颖准备用21元钱买笔和本，已

9

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限时课堂训练

基本练习

1.某商品进价是1000元,售价为1500元.为

促销，商店决定降价出售，但保证利润率

不低于5%,则商店最多降元出

售商品.

2.•个两位数,十位数字与个位数字的和为

6,且这个两位数不大于42,则这样的两

位数有个.

3.采石厂工人爆破时,为了确保安全，点燃拓展思维

炸药导火线后要在炸药爆破前转移到400（2003年甘肃省）某工厂生产某种产品，

米以外的安全区域.导火线燃烧速度是1每件产品的出厂价为1万元,其原材料成本

厘米/秒,人离开的速度是5米/秒,至少需价（含设备损耗等）为0.55万元，同时在生产

要导火线的长度是（）过程中平均每生产一件产品有1吨的废渣产

A.70厘米B.75厘米生.为达到国家环保要求，需要对废渣进行

C.79厘米D.80厘米脱硫、脱氮等处理.现有两种方案可供选择.

4.某商店在一次促销活动中规定：消费者消方案一：由工厂对废渣直接进行处理,

费满200元或200元以上就可享受打折优每处理1吨废渣所用的原料费为0.05万元,

惠，一名同学为班级买奖品,准备买6本影并且每月设备维护及损耗费为20万元.

集和若干支钢笔.已知影集每本15元,钢方案二：工厂将废渣集中到废渣处理厂

笔每支8元,问他至少买多少支钢笔才能统处理.每处理1吨废渣需付0.1万元的

打折？处理费.

⑴设工厂每月生产x件产品，每月利润为y

万元,分别求出用方案一和方案二处理废

渣时，用含x的代数式表示y（利润=总收

入-总支出）；

⑵如果你作为工厂负责人,那么如何根据月

生产量选择处理方案，既可达到环保要求

又最合算.

5.某城市平均每天产生垃圾500吨，由甲、

乙两个垃圾处理厂处理.已知甲厂每小时

可处理垃圾35吨,需费用350元；乙厂

每小时可处理垃圾15吨,需费用180元.

⑴甲、乙两厂同时处理该城市的垃圾，每天

需几小时完成？

⑵如是规定该城市每天用于处理垃圾的费

用不超过5400元，甲厂每天处理垃圾至少

需要多少小时？

10

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第四节元一次不等式组

第一课时一元次不等式组解法

②注意实心与空心的区别.

学习目标

典型例题：

1.了解一元一次不等式组及解集的概念.例1.下列说法正确的是()

2.会解•元次不等式组并能把解集在数

A.不等式组卜>?的解集是5〈X<3

轴上表示.(X>5

3.掌握类比方法，在学习的过程中体会数形

B.|x>或的解集是一3<x<-2

结合的思想,提升直觉思维能力.|x<-3

］课前预习方案x

C.f2的解集是x=2

(xw2

自主学习

D.(x<V的解集是xW3

1.下列不等式组中，是一元一次不等式组的(x>-3

是()思路分析：关键在数轴上会找公共部分.

答案是C.

A.卜>2B.2+［>g

(X<-3(y-2<0xT〉2(x+l)

例2.不等式组1,3的解集在数

—x-1w3-—x

122

轴上表示正确的是().

A.n-----------匚二

2.某校冬季烧煤取暖时间为4个月，设该校-4-3-2-10123

计划每月烧煤x吨,如果每月比计划多烧

B.____!I»

5吨煤,那么取暖用煤总量将超过100吨,

-4-3-2-10123

则可列不等式为;如果每月比

计划少烧5吨煤,那么取暖用煤总量将不

足68吨,则可列不等式为；该C.

校计划每月烧煤吨.(列不等式表

示)D..4-3-2-10123

知识链接思路分析：考查学生用数轴表示不等式

1.数轴2.如何解一元一次不等式的解集及不等式组的解集的求法.

］课堂学习方案分析:分别求出每个不等式的解集.

解不等式x-1>2(x+1),得x<-3;

知暝结构

解不等式(x-1w3-|x,得xW2.

1.不等式组定义：关于同一个未知数的几

个一元一次不等式合在一起就组成一元