第18讲 利用导数研究函数的单调性（原卷版）

第18讲利用导数研究函数的单调性【基础知识全通关】一、函数的单调性与导数的关系我们知道，如果函数在某个区间是增函数或减函数，那么就说在这一区间具有单调性，先看下面的例子：函数的图象如图所示。考虑到曲线的切线的斜率就是函数的导数，从图象可以看到：在区间（2，+∞）内，切线的斜率为正，即时，为增函数；在区间（－∞，2）内，切线的斜率为负，即时，为减函数。导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上，①若，则在这个区间上为增函数；②若，则在这个区间上为减函数；③若恒有，则在这一区间上为常函数.反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）．【微点拨】1.因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上，即切线斜率为正时，函数在这个区间上为增函数；当在某区间上，即切线斜率为负时，函数在这个区间上为减函数；即导函数的正负决定了原函数的增减。2.若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍为增函数（减函数的情形完全类似）。即在某区间上，在这个区间上为增函数；在这个区间上为减函数，但反之不成立。3.在某区间上为增函数在该区间；在某区间上为减函数在该区间。在区间(a,b)内，（或）是在区间(a，b)内单调递增（或减）的充分不必要条件！例如：而f(x)在R上递增.4.只有在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数.5.注意导函数图象与原函数图象间关系.二、利用导数研究函数的单调性利用导数判断函数单调性的基本方法设函数在区间（a，b）内可导，（1）如果恒有，则函数在（a，b）内为增函数；（2）如果恒有，则函数在（a，b）内为减函数；（3）如果恒有，则函数在（a，b）内为常数函数。【微点拨】（1）若函数在区间（a，b）内单调递增，则，若函数在（a，b）内单调递减，则。（2）或恒成立，求参数值的范围的方法——分离参数法：或。三、利用导数求函数单调区间的基本步骤（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）在函数的定义域内解不等式或；（4）确定的单调区间。或者：令，求出它在定义域内的一切实数根。把这些实数根和函数的间断点（即的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小区间内的符号。【微点拨】1.求函数单调区间时，要注意单调区间一定是函数定义域的子集。2.求单调区间常常通过列表的方法进行求解，使解题思路步骤更加清晰、明确。【考点研习一点通】考点一：求函数的单调区间例1、确定函数的单调区间.【变式1-1】确定下列函数的单调区间(1)y=x3－9x2+24x(2)y=3x－x3【变式1-2】求下列函数的单调区间：（1）（2）；（3）；【变式1-3】已知函数，求函数的单调区间并说明其单调性。【变式1-4】求函数（a∈R）的单调区间。考点二：判断、证明函数的单调性例2．当时，求证：函数是单调递减函数.【变式2-1】当时，求证：函数是单调递减函数.【变式2-2】已知函数,讨论函数的单调性. 【变式2-3】设，讨论函数的单调性.【变式2-4】已知函数，,a＞0，讨论的单调性.考点三：已知函数单调性，求参数的取值范围例3．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【变式3-1】已知函数，。若在上是增函数，求a的取值范围。【变式3-2】已知函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．【变式3-3】设恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间.【变式3-4】已知f(x)=x2+1,g(x)=x4+2x2+2且F(x)=g(x)-f(x),试问：是否存在实数，使F(x)在(-,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数.【考点易错】1.若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．2.已知函数f(x)＝x2＋eq\f(a,x)，若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上是单调递增的，则实数a的取值范围为()A．(－∞，8) B．(－∞，16]C．(－∞，－8)∪(8，＋∞) D．(－∞，－16]∪[16，＋∞)3.已知函数是定义域为的奇函数，当时，．记，，，则的大小关系是（）A． B． C． D．4.函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A．(－∞，2) B．(0，3)C．(1，4) D．(2，＋∞)5.若函数在上单调递减，则实数的取值范围是______．6.已知函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．7.已知向量a=（，x+1），b=（1―x，t），若函数在区间（―1，1）上是增函数，求t的取值范围。【巩固提升】1.设函数f＇(x)是奇函数f(x)（x∈R）的导函数，f(－1)=0，当x＞0时，xf＇(x)－f(x)＜0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是（）A．(－∞,－1)∪(0,1)B．(－1,0)∪(1,+∞)C．(－∞,－1)∪(－1,0)D．(0,1)∪(1,+∞)2．函数的单调递增区间是 （）A． B． C． D．（，e）3.设在（0，+∞）内单调递增，，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．函数的定义域为R，，对任意都有成立，则不等式的解集是（）A.B.C.D.5．设函数在R上的导函数为，且，下面的不等式在R内恒成立的是（）A．B．C．D．6.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.7.设函数为的导函数．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）当时，证明；（Ⅲ）设为函数在区间内的零点，其中，证明．8.已知函数.（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.9