第58讲 二项式定理（解析版）　　

第58讲二项式定理1．二项式定理二项式定理(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)二项展开式的通项Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示展开式的第k＋1项二项式系数Ceq\o\al(k,n)(k＝0,1，…，n)2.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n.常用结论1．两个常用公式(1)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.(2)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.2．二项展开式的三个重要特征(1)字母a的指数按降幂排列由n到0.(2)字母b的指数按升幂排列由0到n.(3)每一项字母a的指数与字母b的指数的和等于n.考点1通项公式的应用[名师点睛](1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可．(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．[典例]1.（2022·北京市第一零九中学高三阶段练习）的展开式中的系数为（

）A．20 B．-40 C．40 D．-10【答案】C【分析】根据二项式展开式的通项即可求解.【详解】展开后的通项为，令，所以，故选：C2.（2022·江苏·海安高级中学高三阶段练习）的展开式中的系数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由二项式定理将展开，然后得出，即可求出的系数.【详解】由二项式定理：观察可知的系数为.故选：B.3.（2022·山东青岛·高三开学考试）在的展开式中，常数项为（

）A．80 B． C．160 D．【答案】D【分析】根据二项式展开式的特征即可知中间项（第4项）为常数项.【详解】由于互为倒数，故常数项为第4项，即常数项为，故选：D[举一反三]1．（2022·广东·珠海市第三中学二模）的展开式中，的系数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】使用二项展开式的通项进行计算即可.【详解】的展开式的通项是，（）由题意，，因此，的系数是.故选：B.2．（2022·河北·高三阶段练习）关于二项式，若展开式中含的项的系数为，则（

）A．3 B．2 C．1 D．-1【答案】C【分析】根据二项式展开式可求得含的项的系数，即得方程，求得答案.【详解】由题意得的系数为，解得，故选：C.3.（2022·全国·高考真题）的展开式中的系数为________________（用数字作答）．【答案】-28【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.【详解】因为，所以的展开式中含的项为，的展开式中的系数为-28故答案为：-284．（2022·天津·高考真题）的展开式中的常数项为______.【答案】【分析】由题意结合二项式定理可得的展开式的通项为，令，代入即可得解.【详解】由题意的展开式的通项为，令即，则，所以的展开式中的常数项为.故答案为：.考点2二项式系数与项的系数的问题[名师点睛]赋值法的应用一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为eq\f(1,2)[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为eq\f(1,2)[g(1)－g(－1)]．[典例]1．（2022·全国·模拟预测）已知的二项展开式中，第三项与第项的二项式系数和为84，则第四项的系数为（

）A．280 B．448 C．692 D．960【答案】B【分析】根据第三项与第项的二项式系数和为84，可求得，利用通项公式求解即可.【详解】由题，，因为第三项与第项的二项式系数和为84，所以，即，所以，解得，所以第四项的系数为，故选：B2．（2022·广东广州·高三阶段练习）若的展开式中第2项与第6项的二项式系数相等，则该展开式中的常数项为（

）A． B．160 C． D．1120【答案】A【分析】根据第项和第项的二项式系数相等可构造方程求得，由此可得展开式通项，令即可求得常数项【详解】因为展开式中的第项和第项的二项式系数相等，，解得：，展开式通项公式为：，令，解得：，该展开式中的常数项为,故选：A3．（2022·北京·高考真题）若，则（

）A．40 B．41 C． D．【答案】B【分析】利用赋值法可求的值.【详解】令，则，令，则，故，故选：B.[举一反三]1．（2022·江苏常州·高三阶段练习）已知，则的值为（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】根据，结合二项式定理求解即可.【详解】因为，展开式第项，当时，，当时，，故，即.故选：B2．（2022·北京市广渠门中学高三阶段练习）若的展开式中的第项和第项的二项式系数相等，则展开式中的系数为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据第项和第项的二项式系数相等可构造方程求得，由此可得展开式通项，令即可求得的系数.【详解】展开式中的第项和第项的二项式系数相等，，解得：，展开式通项公式为：，令，解得：，的系数为.故选：B.3．（2022·福建省漳州第一中学模拟预测）已知（为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，则该展开式中的常数项为（

）A．90 B．10 C．10 D．90【答案】A【分析】由题意可得，得，然后求出二项式展开式的通项公式，由的次数为零，求出，从而可求出常数项.【详解】因为（为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，所以，得，所以，则其展开式的通项公式为，令，得，所以该展开式中的常数项为，故选：A4．（2022·江苏南通·高三开学考试）在的二项展开式中，奇数项的系数之和为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】写出展开式通项，即可求得展开式中所有奇数项的系数之和.【详解】的展开式通项为，因此，展开式中所有奇数项的系数和为.故选：D.5．（多选）（2022·湖北·黄冈中学高三阶段练习）已知，则（

）A．B．C．D．【答案】CD【分析】对于A，利用赋值法求解，对于B，利用二项式展开式的通项公式求解，对于C，利用赋值法求解，对于D，利用二项式展开式的通项公式求解.【详解】对于A，令，则，令，则，所以，所以A错误，对于B，二项式展开式的通项公式为，所以，所以B错误，对于C，令，则，因为，所以，，因为，所以，所以，所以C正确，对于D，因为二项式展开式的通项公式为，所以，，，，，所以，，所以，所以D正确，故选：CD6．（2022·浙江·高考真题）已知多项式，则__________，___________．【答案】

【分析】第一空利用二项式定理直接求解即可，第二空赋值去求，令求出，再令即可得出答案．【详解】含的项为：，故；令，即，令，即，∴，故答案为：；．7．（2022·浙江省苍南中学高三阶段练习）的展开式中不含的各项系数之和______.【答案】128【分析】对每一个括号利用二项展开式的通项公式进行展开，展开后对每一项进行合并，合并后使得项幂次为0，确定项数后即可得到答案.【详解】利用二项展开式的通项公式进行展开，设项为，项为，项为.展开后得对每一项进行合并得，因为展开式中不含，所以，又得取值为，得取值为，故得.代入展开式得，又得取值为，分别带入后各项系数之和为.故答案为：128考点3系数与二项式系数的最值问题[名师点睛]二项式系数最大项的确定方法：当n为偶数时，展开式中第eq\f(n,2)＋1项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，展开式中第eq\f(n＋1,2)项和第eq\f(n＋3,2)项的二项式系数最大，最大值为或.[典例]1．（2022·安徽·芜湖一中模拟预测）在的展开式中只有第5项二项式系数最大，则常数项为__________．【答案】1120【分析】由二项式系数的性质先确定的值，再由展开式的通项公式即可求解【详解】由的展开式中只有第5项二项式系数最大得，所以展开式通项为，当时常数项为．故答案为：11202．（多选）（2022·浙江·高三开学考试）在二项式的展开式中，正确的说法是（

）A．常数项是第3项 B．各项的系数和是1C．偶数项的二项式系数和为32 D．第4项的二项式系数最大【答案】BCD【分析】利用二项式展开式通项可判断A选项；利用各项系数和可判断B选项；求出偶数项的二项式系数和可判断C选项；利用二项式系数的性质可判断D选项；【详解】解：二项式的展开式通项为，对于A选项，令，可得，故常数项是第项，A错；对于B选项，各项的系数和是，B对；对于C选项，偶数项二项式系数和为，C对对于D选项，展开式共项，第项二项式系数最大，D对；故选：BCD[举一反三]1.已知(3x－1)n展开式的第5项的二项式系数最大，且n为偶数，则(3x－1)n展开式中x2的系数为()A.－252 B.252 C.－28 D.28答案B解析由题意可得n＝8，则(3x－1)8的展开式的通项是Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)(3x)8－r·(－1)r，令8－r＝2，解得r＝6，则展开式中x2的系数为Ceq\o\al(6,8)32＝252.2.(2022·杭州调研)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,\r(x))))eq\s\up12(n)的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为()A.－126 B.－70 C.－56 D.－28答案C解析∵只有第5项的二项式系数最大，∴n＝8，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,\r(x))))eq\s\up12(n)的展开式的通项为Tk＋1＝(－1)kCeq\o\al(k,8)x8－eq\f(3,2)k(k＝0，1，2，…，8)，∴展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶数项的二项式系数与相应偶数项的系数互为相反数，而展开式中第5项的二项式系数最大，因此展开式中第4项和第6项的系数相等且最小，为(－1)3Ceq\o\al(3,8)＝－56.的展开式中，系数最大的项为()A．第6项 B．第7项C．第11项 D．第6项和第7项答案B解析S＝n＋Ceq\o\al(1,27)＋Ceq\o\al(2,27)＋Ceq\o\al(3,27)＋…＋Ceq\o\al(27,27)＝n＋(1＋1)27－Ceq\o\al(0,27)＝(9－1)9＋n－1＝9(98－Ceq\o\al(1,9)97＋…＋Ceq\o\al(8,9))＋n－2，∵n≥3，∴S能被9整除的正数n的最小值是