MBA数学必备公式

MBA联考数学基本概念和必备公式

（一）初等数学部分一、绝对值

1、非负性：即|a|≥0，任何实数a的绝对值非负。归纳：所有非负性的变量正的偶数次方（根式）负的偶数次方（根式）指数函数ax(a>0且a≠1)>0考点：若干个具有非负性质的数之和等于零时，则每个非负数必然为零。2、三角不等式，即|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|左边等号成立的条件：ab≤0且|a|≥|b|右边等号成立的条件：ab≥0要求会画绝对值图像二、比和比例1、2、合分比定理：等比定理：3、增减性(m>0),(m>0)注意本部分的应用题三、平均值1、当为n个正数时，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，即当且仅当。2、3、4、n个正数的算术平均值与几何平均值相等时，则这n个正数相等，且等于算术平均值。四、方程

1、判别式（a,b,c∈R）2、图像与根的关系△=b2–4ac△>0△=0△<0f(x)=ax2+bx+c(a>0)xx1x2xx1,2f(x)=0根无实根f(x)>0解集x<x1或x>x2X∈Rf(x)<0解集x1<x<x2x∈?x∈?3、根与系数的关系x1,x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，则xx1＋x2＝－b/ax1·x2＝c/ax1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根4、韦达定理的应用

利用韦达定理可以求出关于两个根的对称轮换式的数值来：（1）（2）（3）（4）5、要注意结合图像来快速解题

五、不等式

1、提示：一元二次不等式的解，也可根据二次函数的图像求解。△=b2–4ac△>0△=0△<0f(x)=ax2+bx+c(a>0)xx1x2xx1,2f(x)=0根无实根f(x)>0解集x<x1或x>x2X∈Rf(x)<0解集x1<x<x2x∈?x∈?2、注意对任意x都成立的情况（1）对任意x都成立，则有：a>0且△<0（2）ax2+bx+c<0对任意x都成立，则有：a<0且△<03、要会根据不等式解集特点来判断不等式系数的特点六、二项式1、，即：与首末等距的两项的二项式系数相等2、，即：展开式各项二项式系数之和为2n3、常用计算公式4、通项公式(△)5、展开式系数内容列表归纳如下：二项式定理公式所表示的定理成为二项式定理。二项式展开式的特征通项公式第k＋1项为，k＝0，1，…，n项数展开总共n＋1项指数a的指数：由；b的指数：由；各项a与b的指数之和为n展开式的最大系数当n为偶数时，则中间项（第项）系数最大；当n为奇数时，则中间两项（第和项）系数最大。展开式系数之间的关系1．，即与首末等距的两项系数相等；2．＋……，即展开式各项系数之和为；3．，即奇数项系数和等于偶数项系数和七、数列

（二）微积分部分一、函数、极限、连续

1、单调性：（注意严格单调与单调的区别）设有函数y=f(x)，x∈D，若对于D中任意两点x1，x2(x1<x2)，都有f(x1)≤f(x2)(或f(x1)≥f(x2))，则称函数f(x)在D上单调上升(或单调下降)。若上述不等号为严格不等号“<”(或“>”)，则称函数f(x)在D上严格单调上升(或严格单调下降)。2、奇偶性：（1）定义：设函数y=f(x)的定义域D关于原点O对称，若对于D中的任一个x，都有f(–x)=–f(x)(或f(–x)=f(x))，则称函数f(x)为奇函数(或偶函数)。（2）图像特点：奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称，函数y＝0既是奇函数，也是偶函数。3、4、常用等价无穷小：当x?0时，有ex－1～xln(1＋x)～x(1＋x)n－1～nx引申：当?(x)?0时，ln(1＋?(x))～eα(x)－1～?(x)，(1＋?(x))n－1～n·?(x)5、当x?+?时，增长速度由慢到快排列：lnx，xα，αx，xx6、7、闭区间上连续函数的性质（1）最值定理一个闭区间函数一定在某一点，达到最大值，在某一点达到最小值。（2）零值定理设f(x)∈C([a,b])，且f(a).f(b)<0，。注意：零点定理只能说明存在性不能说明唯一性。应用：f(x)=0是一个方程，证明它在某一个区间上一定有根。二、一元函数微分学1、导数的数学定义式2、可导与连续的关系3、左右导数4、导数的几何意义设点M0(x0,f(x0))是曲线y=f(x)上的上点，则函数f(x)在x0点处的导数f’(x0)正好是曲线y=f(x)过M0点的切线的斜率k，这就是导数的几何意义。切线方程，（2）切线平行x轴切线方程：y=f(x0)，法线方程：x=x0(3)切线平行y轴切线方程：x=x0，法线方程：y=f(x0)常见函数求导公式f(x)CX?axexloga|x|ln|x|f’(x)0?x?-1－axlnaex6、7、高阶导数（掌握二阶导数即可）常见函数的二阶导数f(x)CX?axexLoga|x|ln|x|f’(x)0?x?-1axlnaexf’’(x)0?(?-1)x?-2ax(lna)2ex8、可导、可微、连续与极限的关系可导一定连续，连续不一定可导极限连续极限连续可导可微可微9、奇偶函数，周期函数的导数（1）可导的偶函数的导函数为奇函数，且f‘(0)=0（2）可导的奇函数的导函数为偶函数（3）可导的周期函数的导函数仍为同周期函数10、微分公式（*核心*）：11、＝A12、判断函数的增减性，求函数单调区间（1）单调性定义（2）判别方法：用f’(x)判断注意：设f(x)在(a，b)区间内可导则f(x)在(a，b)内严格单调增加(减少)的充分条件是f’(x)＞0(f’(x)＜0)13、极值点的定义（局部最大或局部最小）（1）定义：设y＝f(x)，若对?x?(x0－?，x0＋?)均有f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))则称x0为f(x)的极大值点(极小值点)，f(x0)为极大值(极小值)。（2）判定方法：两个充分条件第一充分条件：

若f(x)在x0处连续，在x0的邻域内可导，且当x<x0时，f’(x)>0,(f’(x)<0)当x>x0时，f’(x)<0,(f’(x)>0)，则称x0为极大值点(极小值点)。第二充分条件：设f(x)在x0点的某一领域内可导且f’(x0)＝0，f’’(x0)≠0注意：，有可能为极值，也可能不是极值。（3）极值存在的必要条件若x0为f(x)的极值点，且f’(x0)存在，则f’(x0)＝0注：f’(x0)＝0不能推出x0为f(x)的极值点如：y＝x3，在x＝0处必有y’＝014、驻点(稳定点)（1）（2）15、函数的最值及其求解（1）若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上必有最大值、最小值（2）设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内有一个极值点x，则若x是f(x)的极大值点，那么x必为f(x)在[a,b]上的最大值点；若x是f(x)的极小值点，那么x必为f(x)在[a,b]上的最小值点。（3）求最值的方法（最值是[a,b]整体概念，极值是局部概念）(a)求f(x)在(a,b)内所有驻点和导数不存在的点(b)求出以上各函数值及区间[a,b]端点的函数值(c)比较上述数值，最大的为最大值，最小的为最小值最大值：M:max{f(a)，f(b)，f(x1)，……，f(x0)}最小值：m:min{f(a)，f(b)，f(x1)，……，f(x0)}其中：x1，……，x0为f(x)所有可能的极值点16、驻点、极值点、最值点的联系与区别驻点边界17、函数的切线与法线切线与法线求法18、函数凹凸性及其判定（1）凹弧（a）定义：如果曲线在其任一点切线之上，称曲线为凹弧（b）凹弧的切线斜率随着x的增大而增大，即f’(x)单调递增（c）设f(x)在(a，b)上二阶可导，f(x)为凹弧的充要条件为f’’(x)≥0?x?(a,b)(2)凸弧（a）定义：若曲线在其任一点切线之下，称曲线为凸弧（b）凸弧的切线斜率随着x的增大的而减小，即f’(x)单调递减（c）设f(x)在(a,b)二阶可导，f(x)为凸弧的充要条件为f’’(x)≤0(3)常见函数的性质f(x)ax(a>1)ax(0<a<1)logax(a>1)logax(0<a<1)f’(x)ax?lnaax?lnaf’’(x)ax?(lna)2ax?(lna)2图像性质增，凹减，凹增，凸减，凹19、拐点及其判定（1）定义：曲线上凸弧与凹弧的分界点称为拐点。二阶导数从大于0到小于0，或从小于0到大于0，中间的过渡点称为拐点。（2）必要条件：f’’(x)存在且(x0，f(x0))为拐点，则f’’(x0)＝0（3）充分条件：若f’’(x0)＝0，且在x0的两侧f’’(x)异号，则(x0，f(x0))是拐点三、一元函数积分学1、不定积分与导数的关系2、基本初等函数的不定积分公式（1）（2）（），，（3）（4），（5）（6）（7）4、5、奇偶函数的积分四、多元函数1、偏导的定义设函数z=f(x,y)定义在P0(x0,y0)点的一个邻域内，若将y固定在y0，作为x的函数f(x,y0)在x0点处的导数称为函数f(x,y)在P0(x0,y0)点处对x的偏导数，记作2、一般极值（1）（2）（4）（三）线性代数部分一、矩阵1、矩阵的乘法一般没有交换律，即；常见可交换矩阵：逆A-1：A?A-1=A-1?A=E单位矩阵E：A?E=E?A=A数量矩阵kE：A?(k?E)=(kE)?A=kA零阵0：A?0=0?A=0幂：Am?An=An?Am=Am+n伴随A*：AA*=A*A=|A|E(重要)2、，当且仅当A或B可逆时才成立；对于，应该认识到B的每一列都是齐次方程组AX＝0的解，若，则齐次方程组有非零解；3、，当且仅当A可逆时，才成立；4、，当且仅当A可逆时，有A＝E；当A－E可逆时，有A＝0；，仅当A为对称矩阵，即时，命题才成立；5、注意数乘矩阵和数乘行列式的区别：。6、列表对比矩阵的逆、转置和伴随的公式逆转置伴随一般一般互换性：，，，；即这四种符号（-1，T，*，k）可以进行互换，以简化运算。7、重要结论与公式（2）A与B的行向量相互等价不改变列向量的线性关系（一般用初等行变换求矩阵的秩）r（A）=r（B）（4）类似|x+y|≤|x|+|y|P(A+B)≤P(A)+P(B)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)≤P(A)+P(B)（5）（6）B可逆r（AB）=r（A）B不可逆r（AB）<r（A）r（AB）=r（A）=1A中任意两行成比例r（A）=1A=Br（A）=r（B）A=0r（A）=0重点掌握以下矩阵可逆性的判断：设A为n阶矩阵，有以下等价命题r（A）=n（满秩矩阵）A可逆|A|≠0AT可逆r（A*）=nA*可逆A的n个列（行）向量线性无关，即A列（行）满秩AX=0只有零解AX=β有唯一解二、向量组1、线性相关性基本定义2、常见相关性归纳（3）包含0向量的任何向量组，线性相关.m>n时，则其线性相关.三、线性方程组（一）关于方程组解的性质（二）含有参数的线性方程组的求解。1．齐次线性方程组AX＝0解题提示：对系数矩阵A进行初等变换，化成阶梯型，然后按两步进行讨论：（1）线性方程组只有零解，即r(A)＝n；（2）线性方程组有非零解，即r(A)<n，并将非零解求出来。2．非齐次线性方程组AX＝β解题提示：对增广矩阵进行初等变换，化成阶梯型，然后按两步进行讨论：（1）线性方程组无解，即；（1）线性方程组有唯一解，即；（2）线性方程组有无穷多解，即，并将解求出来。3、如果有一组向量，则是否可以由线性表示，可以转化为非齐次线性方程组解的情况，若无解，则不能线性表示；若有唯一解，则能够唯一线性表示；若有无穷多解，则能够线性表示，且表示方式不唯一。4、有关基础解系的问题解题提示：某一个向量组要是方程组的基础解系，需要满足三个条件：（1）该向量组中的每个向量都满足方程AX＝0；（2）该向量组线性无关；（3）该向量组中向量的个数等于n-r(A)；或方程组的任一解向量都可由该向量组线性表示。四、特征值和特征向量（二）性质1、2、3、4、5、6、一个特征值可以对应多个特征向量，但一个特征向量只能对应一个特征值7、（三）归纳列表如下矩阵特征值特征向量KAAmA-1A*f（A）AT无法确定是否相同（四）概率论部分一、随机事件部分1.事件间的四种关系(1)包含A?B(2)相等A=B(两个事件A,B样本点完全一致)(4)互斥：A?B=?2.事件间的三种运算(1)和(并)：A+B=A?B3.概率运算公式(1)若A?B，则有P(A)≤P(B)和P(B-A)=P(B)-P(A)(2)P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A+B)-P(A-B)=P(B)4.条件概率，P(A|B)实质为事件A的概率5.乘法公式：P(AB)=P(A)?P(B|A)=P(B)?P(A|B)6.全概公式(3)贝叶斯公式：(逆概)7.事件的独立性(?)(1)定义：P(AB)=P(A)?P(B)(2)特殊情况：a.?与任何事件相互独立b.Ω与任何事件相互独立c.P(A)=0的事件A与任事件相互独立(4)当P(A)P(B)>0时若A与B相互独立，则A与B必不互斥(独立不互斥)若A与B互斥，则A与B必不独立(互斥不独立)注意：?与任事件即互斥也独立8.判断A与B相互独立的充要条件(1)定义P(AB)=P(A)P(B)(2)P(B|A)=P(B)(P(A)>0)或P(A|B)=P(A)(P(B)>0)，即：B的发生不受A的影响(3)0<P(A)<1即：A发生与否不影响B的概率P(AB)-P(A)P(AB)=P(A)P(B)-P(A)P(AB)?P(AB)=P(A)P(B)四组事件中，若其中一组相互独立，则其余三组也相互独立，则其余三组也相互独立(6)求“n个事件至少有一个发生时”转化为其对立事件“都不发生”9．独立试验序列(1)贝努里：n次试验中成功k次的概率：(2)直到第k次试验，A才首次发生：(3)做n次贝努里试验，直到第n次，才成功k次：二、随机变量部分1、常见随机变量的分布表如下：随机变量EXDX密度函数f(x)离散型0–1分布PP(1–P)P{x=k}=Pk(1-P)1-k,k=0,1二项分布nPnP(1–P)连续型正态分布u标准正态分布u=02、离散型随机变量（1）分布律Pk=P(X=Xk)，k=1，2，┅XXkx1x2┅xk┅PkP1P2┅Pk┅（2）分布律的性质(1)有界性：0≤Pk≤1应用：求待定参数值，注意求完参数要验证3、二项分布（1）定义（2）各参数的意义参数n：试验次数为n次；参数P：每次试验成功的概率参数k：n次试验中成功k次（3）二项分布产生的背景可以是n重贝努利试验，若用X表示n重被努力试验中事件A发生的次数，则X服从参数为n,p的二项分布，其中p是一次试验中事件A发生的概率。，4、分布函数F(X)F(X)=P(X≤x)(1)定义：F(X)在x处函数值表示点X落入区间(-?，x]上的概率(2)公式：P(x1<X≤x2)=P(X≤x2)-P(X≤x1)=F(x2)-F(x1)(3)分布函数性质：1)值域：0≤F(X)≤12)极限性质(★★)，应用：求参数值3)单调性：单调不减(单调增)即若x1<x2，有F(x1)≤F(x2)4)F(x)右连续注意：前四个性质，用来判断函数是否为分布函数5)P(X=x)=F(x)-F(x-0)6)对于x1<x2，有P(x1<X≤x2)=F(x2)-F(x1)7)对x1<x2，F(x)在x1，x2处连续P(x1≤X≤x2)=P(x1<X≤x2)=P(x1<X<x2)=P(x1≤X<x2)=F(x2)-F(x1)5、连续型随机变量密度函数f(x)的性质(1)非负性：f(x)≥0，即f(x)与x轴所围面积为1应用：求待定参数值注意：前两个性质用来判断函数是否为密度函数的标准(3)对于x1<x2有P(x1<X≤x2)=P(x1≤X≤x2)=P(x1≤X<x2)=P(x1<X<x2)6、正态分布X~N(?，?2)(1)正态分布密度函数(2)f(x)图像特点??密度函数的曲线关于x=μ对称，μ是正态分布的位置参数它在x=μ时取到最大值P(μ)=越大，密度函数的取值越小；σ越小，其值越大，由于密度函数曲线与x轴之间的面积总是1，所以σ越大表明密度函数的曲线越矮越胖，而σ越小，密度函数的曲线越瘦高。x离μ越远，P(x)的值越小，表明对于同样长度的区间，区间离μ越远，X落在这个区间上的概率越小。，这一条性质非常有用，应好好掌握。P(X≤?)=P(X≥?)期望EX=?7、一般正态分布的标准化（非常重要）8、密度函数f(x)为偶函数的重要结论(2)F(-a)=1-F(a)-aa-aaF(-a)1-F(a)(3)P(|X|<a)=2F(a)-1(a>0)分析：P(|X|<a)=P(-a<X<a)=F(a)-F(-a)=2F(a)-1(4)P(|X|>a)=1-P(|X|<a)=2(1-F(a))(5)若EX存在，则EX=09、数学期望有以下重要性质：若C为常数，则E(C)=C.若X为一个随机变量，C为常数，则E(CX)=CE(X)