近世代数的基础知识

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初等代数、高等代数和线性代数都称为经典代数（Classicalalgebra），它的研究对象主要是代数方程和线性方程组）。近世代数（modernalgebra）又称为抽象代数（abstractalgebra），它的研究对象是代数系，所谓代数系，是由一个集合和定义在这个集合中的一种或若干种运算所构成的一个系统。近世代数主要包括：群论、环论和域论等几个方面的理论，其中群论是基础。下面，我们首先简要回想一下集合、映射和整数等方面的基础知识，然后介绍本文需要用到的近世代数的相关知识。

3．1集合、映射、二元运算和整数3．1．1集合

集合是指一些对象的总体，这些对象称为集合的元或作“x?A〞，反之，“a?A〞表示“x不是集合A的元〞设有两个集合A和B，若对A中的任意一个元素a（记作B的子集，记作A?B。若A?B且B?A，即A和B有完全一致的元素，记作A?B。若A?B，但A?B，则称A是B的真子集，不含任何元素的集合叫空集，空集是任何一个集合的子集。集合的表示方法寻常有两种：一种是直接列出所有的元素，另一种是规定元素所具有的性质。例如：

A??a,b,c?；

S??xp(x)?，其中p(x)表示元素x具有的性质。

本文中常用的集合及记号有：整数集合Z??0,?1,?2,?3,??；

非零整数集合Z??Z\\?0????1,?2,?3,??；

正整数（自然数）集合Z???1,2,3,??；

有理数集合Q，实数集合R，复数集合C等。

一个集合A的元素个数用A表示。当A中有有限个元素时，称为无限集。用A??表示A是无限集，A??表示A是有限集。

。“元素a是集合A的元〞记

a?A）均有a?B，则称A是则称它们相等，或称B真包含A，记作A?B。

有限集，否则称为

元素。?3．1．2映射

映射是函数概念的推广，它描述了两个集合的元素之间的关系。

定义1设A，B为两个非空集合，若存在一个A到B的对应关系f，使得对A中的每一个元素x，都有B中唯一确定的一个元素y与之对应，则称f是A到B的一个映射，记作y=f(x)。

y称为x的像，x称为y的原像，A称为f的定义域，B称为f的定值域。定义2设f是A到B的一个映射

(1)若?x1,x2?A和x1?x2均有f(x1)?f(x2)，则称f是一个(2)若?y?B均有x?A使f(x)?y，则称f是满射。(3)若f既是单射又是满射，则称f是双射。3．1．3二元运算

3．1．3．1集合的笛卡儿积

由两个集合可以用如下方法构造一个新的集合。

定义3设A，B是两个非空集合，由A的一个元素a和B的一个元素有序的元素对（a,b），所有这样的元素对构成的集合，称为A与B的即A?B??(a,b)a?A,b?B?。用笛卡儿积还可定义一个集合中的运算。定义4设S是一个非空集合，若有一个对应规则f，对S中每一对元素了一个唯一的元素c?S与之对应，即f是S?S?S的一个映射，则此对应规则就称为中的一个二元运算，并表示为a?b?c，其中“?〞表示运算符，若运算“法或乘法，a?b就分别记作a?b或ab。

由定义可见，一个二元运算必需满足：(1)封闭性：a?b?S；

(2)唯一性：a?b是唯一确定的。

定义5设S是一个非空集合，若在S中定义了一种运算?（或若干种运算则称S是一个代数系统，记作（S，?）或（S，+，?）等。3．1．3．2二元关系

我们经常需要研究两个集合元素之间的关系或者一个集合内元素间的关系。定义6设A，B是两个集合，若规定一种规则R：使对?a定a和b是否适合这个规则，若适合这个规则，就说a和b有二元关系单射。b可构成一个，记作A

a和b都规定?〞是寻常的加+，?，?

A和对?b?B均可确R，记作aRb，否则

B，S，笛卡儿积?等）?就说a和b没有二元关系R，记作aR?b。3．1．2．3等价关系和等价类

等价关系是集合中一类重要的二元关系。

定义7设～是集合A上的一个二元关系，满足以下条件：(1)对?a?A，有a～a；（反身性）(2)对?a,b?A，有a～b?b～a；（对称性）(3)对?a,b,c?A，有a～b和b～c?a～c。（传递性）则称～为A中的一个等价关系。子集a??xx?A,x~a?即所有与合，称为a所在的一个等价类，a称为这个等价类的代表元。

例如：设n是一取定的正整数，在整数集合Z中定义一个二元关系a?b(modn)?n(a?b)，

这个二元关系称为模n的同余（关系），a与b模n同余指a和b分别用一致。

同余关系是一个等价关系，每一个等价类记作a??xx?Z,x余类或剩余类。3．1．4整数

在近世代数中整数是最基本的代数系。这里仅重述有关整数的基本性质和常用概念。3．1．4．1整数的运算

整数的运算包括加、减、乘、除、开方、乘方、取对数等，这些运算及其性质这里不再赘述。在整数运算中有以下两个基本的定理：

带余除法定理设a,b?Z，b?0，则存在唯一的整数q，r满足：a?qb?r,0?r?b。

当r?0时，称a能被b整除，或b整除a，记作ba；当r除。

只能被1和它本身整除的正整数称为素数；除1和本身外，还能被其它整数整除的正整数称为合数。

算术基本定理每一个不等于1的正整数a可以分解为素数的幂之积：

a等价的元素的集(modn)如下：n来除所得的余数a(modn)?

0时，称a

b?

?称为一个同?不能被整???a?p11p22?pss，

其中p1,p2,?,ps为互不一致的素数，?i?Z?,(i?1,2,?s)。除因子的次序外分解式是唯一的。此分解式称为整数的标准分解式。3．1．4．2最大公因子和最小公倍数

设a,b?Z，不全为0，它们的正最大公因子记作(a,b)，正最小公倍数记作?a,b?。设a,b?Z?，由算术基本定理可将它们表示为：

a?px1px2x12?pss，b?py1y2ys1p2?ps，

其中p1,p2,?,ps为互不一致的素数，xi，yi(i?1,2,?,s)为非负整数，令：

?i?min?xi,yi?(i?1,2,?,s)，?i?max?xi,yi?(i?1,2,?,s)，

则

(a,b)?p?1?2?s1p2?ps，

?a,b??p?1p?2?12?pss，

且有

ab?(a,b)??a,b?。

最大公因子还有以下重要性质：

最大公因子定理设a,b?Z，a,b不全为0，d?(a,b)，则存在pa?qb?d。

3．1．4．3互素

若a,b?Z，满足(a,b)?1，则称a与b互素。关于整数间的互素关系有以下性质：(1)(a,b)?1??p,q?Z，使pa?qb?1。(2)abc且(a,b)?1?ac。

某些可以等于p,q?Z使

0。(3)设a,b?Z，p为素数，则有：pab?pa或pb。(4)(a,b)?1，(a,c)?1?(a,bc)?1。(5)ac，bc且(a,b)?1?abc。

(6)欧拉函数：设n为正整数，?(n)为小于n并与n互素的正整数的个数，小于n并与n互素的正整数的集合记为：Pn??1,r2,?,r?(n)?。若n的标准分解式为：

n?p?1?2?s1p2?ps，

?(n)?n(1?1p)(1?1)?(1?1p)。1p2s3．2群

近世代数的研究对象是代数系，最简单的代数系是在一个集合中只定义一种运算，群3．2．1群的基本概念

定义1设G是一个非空集合，若在G上定义一个二元运算?满足：(1)结合律：对?a,b,c?G，有(a?b)?c?a?(b?c)。则称G是一个(G,?)还满足：

(2)存在单位元e使对?a?G，有e?a?a?e?a；(3)对?a?G有逆元a?1，使a?1?a?a?a?1?e，则称(G,?)是一个当二元运算“?〞为寻常的加法时，(G,?)称为加法群或加群；当二元运算“(G,?)称为乘法群或乘群。

定义中条件(2)可改为：有一个左单位元eL（或右单位元eR）a?eR?a），对?a?G成立。由于由此可推出eL?eL?eR?eR。

定义中条件(3)可改为：对?a?G，有一个左逆元a?1L（或右逆元，记作(G,?)群。

?〞为通eL?a?a（或

a?1R），使

则是由一个集合和一个二元运算构成的代数系，它在近世代数中是最基本的一个代数系。

半群。若常的乘法时，，使

aL?a?eaL?1?1?1（或

?1a?aR?1?e）

?1成立

?1。因

?1为由此可推出

?aL?e?aL?(a?aR)?(aL?a)?aR?1?e?aR?1?aR。

定理1半群(G,?)是群的充要条件是：对?a,b?G，方程ax?b和ya?b在G中均有解。

定理2半群(G,?)是群的充要条件是左、右消去律都成立：

a?0,ax?ay?x?y，a?0,xa?ya?x?y。

假使半群中含有单位元，则称为含幺半群。假使群(G,?)适合交换律：对?a,b?G，有a?b?b?a，则称G为可换群或阿贝尔(Abel)群。寻常把群的定义概括为四点：封闭性、结合律、单位元和逆元。

假使一个群G是个有限集，则称G是有限群，否则称为无限群。G的元素个数G称为群的阶。

元素的倍数和幂定义为：

na?a?a???a，???????n个aan?a??a????a，???n个an为正整数，并规定a?e。且有：

nnn(na)b?a(nb)?nab，anam?an?m，(an)m?anm，当ab?ba时有(ab)?ab。n?满足a?a的元素称为幂等元，满足a?0,n?Z的元素称为幂零元。

20例1：Zn?0,1,2,?,n?1是整数模n的同余类集合，在Zn中定义加法（称为模n的加法）为a?b?a?b。

由于同余类的代表元有不同的选择，我们必需验证以上定义的运算结果与代表元的选择

无

关

。

设

??a1?a2，

b1?b2，则有

n(a1?a2)，

n(b1?b2)?n?(a1?a2)?(b1?b2)??n?(a1?b1)?(a2?b2)??a1?b1?a2?b2所以模n的加法是Zn中的一个二元运算。显然，单位元是0，?k?Zn，k的逆元是n?k。所以(Zn,?)是群。

例2：设Zn?kk?Zn,(k,n)?1，在Zn中定义乘法（称为模n的乘法）为

????

a?b?ab。

对这个运算不仅需要检验它的唯一性，而且要检验它的封闭性，由于由a?Zn，

??b?Zn得出ab?Zn并不明显。

?先证封闭性：由于由a,b?Zn?(a,n)?1和(b,n)?1?(ab,n)?1，所以

?ab?Zn。

?再证唯一性：设

a1?a2，b1?b2，则有

n(a1?a2)，

n(b1?b2)?n?(a1?a2)?(b1?b2)??n(a1b1?a2b2?a1b2?a2b1)?n[(a1b1?a2b2)?(a2?a1)b2?a2(b2?b1)]?n(a1b1?a2b2)?a1b1?a2b2所以模n的乘法是Zn中的一个二元运算。

结合律显然满足。单位元是1。对?a?Zn，由(a,n)?1知?p,q?Z，使pa?qn?1，

?1因而有pa?1(modn)，即p?a?pa?1，所以a?p，即Zn中每一元素均有逆元。

?

??

综上，Zn对模n的乘法构成群。

?

Zn的阶数为?(n)—欧拉函数：小于n并与n互素的正整数的个数。

?

3．2．2群的基本性质

(1)群中单位元是唯一的

证明：设G中有两个单位元e1和e2，则有：e1?e1?e2?e2，所以单位元是唯一的。在不致混淆的状况下，单位元简记为1。(2)群中每个元素的逆元是唯一的

证明：设?a?G，a有两个逆元a1?G和a2?1?1?G，则有：

?1a1?a1e?a1(aa2)?(a1a)a2?1?1?1?1?1?1?ea2?1?a2，所以a的逆元是唯一的。

a的逆元有以下性质：

(1)(a?1)?1?a；

(2)若a,b可逆，则ab也可逆，且有(ab)?1?b?1a?1；(3)若a可逆，则a也可逆，且有(an)?1?(a?1)n?a?n。3．2．3子群

定义2设S是群G的一个非空子集，若S对G的运算也构成群，则称S是G的一个n子群，并记作：S?G。

当S?G且S?G时，称S是G的真子群，记作定理3设S是群G的一个非空子集，则以下三个命题相互等价：(ⅰ)S是G的子群；

(ⅱ)对?a,b?S，有ab?S和a?1?S；(ⅲ)对?a,b?S，有ab?1?S。3．2．4元素的阶

定义3设G是有限群，a?G，可以证明一定存在最小的正整数an?e成立，n称为a的阶或周期，记作o(a)。若没有这样的正整数存在，则称限的。

由定义3可知，单位元的阶是1。在加群中，式(1)变为：

na?0定理4设G是群，a?G，则：

am?1?o(a)m。

关于元素的阶还有以下重要结果：(1)有限群中每一个元素的阶是有限的；

(2)设G是群，a,b?G，o(a)?m，o(ab)?mn；

(3)设G是群，若除单位元外其它元素都是3．2．5循环群和生成群

S?G。no(b)?n，若(m,n)?12阶元，则G是Abel群。

(1)

a的阶是无(2)

ab?ba，则

使：和设G是群，a?G，令：

H?akk?Z，

由于?a1,akk2???H，有ak1(ak2)?1?ak1?k2?H，所以H是G的子群，此子群称为

由a生成的循环子群，记作?a?，a称为它的生成元。若G=?a?，则称G是循环群。

循环子群是由一个元素生成的，由几个元素或一个子集也可生成一个子群。

定义4设S是群?S?，S称为它的生成元集。假使G??S?集。任何一个生成子群都有一个微小生成元集。当为最小生成元集。

定义5设（G，称为H的一个右陪集。定义6设G是群，记作[G:H]。

当G是有限群时，则子群的阶数与指数也都是有限的，它们有以下关系：定理5（拉格朗日这就是说，有限群由拉格朗日定理马上可得如下推论：(1)设G是有限群，(2)当G??时，对任何(3)若G?p(素数环是有两个二元运算并建立在群的基础上的一个代数系统。定义1设A是一个非空集合，在种叫乘法，记作·。且满足：G的一个非空子集，包含S的最小子群称为由

S的真子集的生成子群均不是G，则称S??时，元素个数最少的生成元集称是一个群，H?G，a?G，则a?H称为

H?G，H在G中的左（右）陪集个数称为(Lagrange)）设G是有限群，H?G，则：G?H?[G:H]

G的子群的阶是群G的阶的一个因子。H?G，则HG；a?G，有o(a)G；

)，则G?Cp(p阶循环群)，即素数阶群必为循环群。3．3环

A中定义两中二元运算，

S生成的子群，记作

S是G的微小生成元H的一个左陪集，H在G中的指数，

记作H?a+，另一，且任何·）

一种叫加法，(1)（A，+）是一个可换群；(2)（A，·）是一个半群；

(3)左、右分派律成立，对?a,b,c?A，有：

a(b?c)?ab?ac，(a?b)c?ac?bc

则称代数系（A，+，·）是一个环。

例：设Zn??0,1,2,?,n?1?是整数模n的同余类集合，在为模n的加法和乘法：a?b?a?b，a?b?ab。在前面我们已经知道是半群。下面我们证明分派律成立：

a(b?c)?a(b?c)?a(b?c)?ab?ac?ab?ac。类似有(Zn,?,?)是环，称为整数模n的同余类（或剩余类）环。

假使环（A，+，·）对乘法也是可交换的，则称A是可换环。设（A，+，·）是一个环，加群（A，+）中的单位元寻常记作加群中的逆元记作?a，称为负元。环中的单位元指乘法半群（一个元素a的逆元指的是它在乘法半群中的逆元，记作a?1。定义2设A是一个环，a,b?A，若ab?0，且a?0b为右零因子。若一个元素既是左零因子又是右零因子，则称它为定义3设（A，+，·）是环

若A?{0}，可交换，且无零因子，则称A是整环。

若A满足：(1)A中至少有两个元0和1（即环中有单位元）群。则称A是一个除环。

若A是一个可换的除环，则称A是域。

在前述例子中，当n不是素数时，Zn中有零因子，因而不是整环，但当Zn是域。

定理1(Zn,?,?)是域的充要条件是n是素数。

环中无左（右）零因子的充分必要条件是乘法消去律成立。因此，在整环中，乘法消去律成立。

Zn中定义加法和乘法分别(Zn,?)是群，(Zn,?)(a?b)c?ac?bc，所以

0，称为零元。元素a在A，·）中的单位元，记作1。b?0，则称a为左零因子，

零因子。

；(2)A??A\\{0}构成乘法n是素数时，

和

定理2一个非零的有限的无左（右）零因子环是除环。推论有限整环是域。

定义4设A和A?是两个环，若有一个A到A?的映射f满足：对任何a,b?A有：

f(a?b)?f(a)?f(b)，f(ab)?f(a)f(b)，

则称f是一个A到A?的同态假使f是单射，则称f是一个假使f是满射，则称f是一个假使f是双射，则称f是A

1素域和域的特征

域是环的一种，假使一个环至少含有在一个除环中，由于非零元素构成群，消去律成立，因而除环中无零因子。同样，域假使一个域F是个有限集，则称。

定理1设F是域，则元素定义1设F是域，若元素(F，+)中的阶数为无穷大，则称关于域有以下的结论：

(1)若chF=0，则F是无限域。若(2)若F是特征为p的域，则：(ⅰ)对任何a?F，有pa(ⅱ)对任何a?F?(F?=F\\{0})单同态。满同态。

A?一个同构映射，3．40和

F是有限域在(F，+)中的阶数或为某个素数在(F，+)中的阶数为素数F的特征为F是有限域，则0；

，且naA和A?称为同构。域

1两个元素，每一个非零元均有逆元，即非域。

，否则称为无限域。F的元素个数p，或为无穷大。p，则称p为域F的特征0，F的特征记作chF。

chF是某个素数。ma，则n?m(modp)；

F称为。若元。到3．4．零元构成乘法群，则此环称为除环，可交换的除环为中也无零因子，因而域必需是整环。域的阶11素1在??(ⅲ)对任何a,b?F，有(a?b)p?ap?bp，m为任意正整数。

?(3)?n?Z，p为素数，且n不能被p整除，则有：np?1?1(modp)。

mmm(4)域F的乘群(F?,?)的任何有限子群都是循环群。3．4．2子域与扩域

定义2设(K，+，·)是域，F是K的非空子集，且(K，+，·)也是域，则称F是K的子域，K是F的扩域设S是域F由元素1生成的子域称为3．4．3扩张次数、代数元和超越元设F是域au1?bu2?K，我们可以把性组合，从而K是数，记作(K:F扩张次数反映了扩域与子域之间的相对大小，但还没有反映它们的元素在性质上的区别。我们对域中的元素作以下的分类：设f(x)的根，则称u上次数最低的首设u在F上的最小多项式为理数域Q上的代数元称为设K是F的扩域，若否则，称K为F上的3．4．4有限域具有有限个元素的域，称为F的素域为Zp，设在一组基u1,u2,?个数（即F中元素在基这就是说，有限域的阶为特征之幂。F≤K。

则包含S的最小子域，素域。

K是F的扩域，由于对K中元素看作向量，则F上的一个向量空间或线性空间(K:F)有限时，称K是K是F上的代数元，否则称为超越元u在F上的m(x)，且deg[m(x)]=r代数数，Q上的超越元称为K中的每一元素都是超越扩张域。有限域。一个有限域的特征必然是某个素数对Zp的扩张次数为n，即(F:Z,un使F??a1u1?a2u2??u1,u2,?,un下坐标组的个数）为：

称为由何u1,u2?K和au1?bu2是向量，此空间的维数就称为上的有限扩张，否则称为u∈K，若，多项式f(x)。

，则称u是超越数。

则称p)=n，由于F是Zanunai?Zp,(1????n个p?p?生成的子域，记作。对任何a,b?F，有

u1与u2在F上的线

K对F的扩张次无限扩张。

u是F上的一个多项式u的化零多项式，FF上的r次代数元。有是F上的代数扩张域，p，即chF=p，n维线性空间，存i?n)?，所以F中元素

??p?pn。

，记作中的一个非空子集，S，任)。当FF的扩域，是称为1多项式的根，称为最小多项式F上的代数元，K

Fp上的?????有限域又称为伽罗瓦（Galois）域，将pn阶有限域记作GF(pn)。3．4．5有限域元素的性质

GF(pn)的非零元的集合GF(pn)?是一个乘群，具有以下性质：

定理2GF(pn)?是一个pn?1阶循环群。GF(pn)?的生成元又叫本原元。定义3

(1)乘群GF(pn)?中pn?1阶的元素?称为域次本原元?在Zp上的最小多项式称为Zp上的(2)若?是方程xr?1?0的根，但不是任何原单位根或单位原根。

由以上定义可以看出，GF(pn)上的n次本原元就是乘群pn?1次本原单位根

（即?pn?1?1）

，可以通过本原元把是GF(pn)的一个n次本原元，则GF(pn)又可表示为：GF(pn)?Zp(?)??0,?,?2,?,?pn?1?。

定理3任何两个元素个数一致的有限域是同构的。两个同构的域，假使不管它们的实际背景而只考虑它们的代数性质，可以将它们等同起来看作一个域。

伽罗瓦（Galois）域GF(q),(q??)，有两种类型：第一种：包含q=p个元素，p为一个素数，这种域同构于整数模若在集合Zn??0,1,2,?,p?1（?p为素数）中定义模其次种：包含pn个元素，p为素数，n为大于或等于GF(pn)。

GF(pn)(n?2)可看成一个多项式环，多项式的最高次数为Zp的元素，环中的运算为模f(x)的多项式加法和乘法，其中，可约多项式（即f(x)的所有根都不在Zp上），则这个多项式环就是有限域GF(pn)的n次本原元。GF(pn)的。

xh?1?0(h?r)的根，则称?是r次本GF(pn)?的生成元，也是

GF(pn)表示的更简单一些。设?

p的同余类域Zp。例如：p加法和模p乘法,则Zn是域GF(p)2的整数，称为GF(p)的扩域

(n-1)，多项式的系数为

f(x)为Zp上的任一个n次不GF(pn)。

nn次本原多项式。

例设F[x]是数域F上的多项式环例构造一个8阶的域。

解由于8?2，则p=2，Z2??0,1?，取q(x)?1?x2?x3?Z2[x]，由于

3q(0)?0,q(1)?0，故q(x)在Z2上不可约，所以Z2上的扩域：

E?Z2/(q(x))?b0?b1x?b2x2,bi?Zp?0,1,x,1?x,x2,1?x2,x?x2,1?x?x2

就是一个8阶的有限域。

有限域还具有以下的性质：

(1)若F是有限域，则F的特征(characteristic)chF是某个素数。(2)若F是特征为p的域，则：(ⅰ)对任何a?F，有pa?0；

(ⅱ)对任何a?F?F??F\\?0?，且na?ma，则n?m(modp)；(ⅲ)对任何a,b?F，有(a?b)pn???????apn?b，n为任意正整数。

pn(3)?n?Z?Z??Z\\?0?，p为素数，且p?n，则有：np?1?1(modp)。(4)域F的乘群(F?,?)的任何有限子群都是循环群。

以下给出有限域性质(5)～(14)的证明，性质(1)～(4)的证明参看文献[12][13][15]。(5)GF(q),q?3中含有?(q?1)个本原元，?表示欧拉?函数，且?(q?1)一定为偶数。

证明设(q?1)的标准分解式为

[29]

??：

mmmr(q?1)?p11p22?pr，

式中：p1,p2,?,pr为互不一致的素数，mi?Z?,(i?1,2,?r)。则：

?(q?1)?(q?1)(1?111m?1m?1)(1?)?(1?)?p11?prr(p1?1)?(pr?1)p1p2pr(A-1)

注意到(q?1)一定为正偶数，设(q?1)?2k,①若k?2k1,一定为偶数；②若k?2k2?1,k?Z?。由于q?3，所以：

2则(q?1)?2k1，所以?(q?1)一定为2的倍数，即?(q?1)k1?Z?，

k2?Z?，则(q?1)?2(2k2?1)，所以p1,p2,?,pr中至少有一

个不为2的素数，即p1,p2,?,pr中至少有一个为奇数，所以?(q?1)一定为2的倍数，即?(q?1)一定为偶数。

?表示欧拉?函数。?(q?1)一定为偶数。综上，(1)GF(q)中含有?(q?1)个本原元，

例对GF(101)，由于101?1?100?25，故?(100)?2151(2?1)(5?1)?40，

22)具有40个本原元。所以GF(101(6)GF(q),q?2中含有的本原元最多为(q?1)2个，当且仅当q?2k?1,时，本原元的个数达到最大值(q?1)2。

证明由于q为大于或等于2的素数。①当q=2时，GF(2)中含有一个本原元—1。

②设q为大于2的奇数，则(q-1)为偶数。所以与(q-1)互素的正整数必需为奇数，而小于(q-1)的奇数个数为(q?1)2，这样小于(q-1)并与(q-1)互素的个数一定小于或等于

k?Z?(q?1)2，即?(q?1)?(q?1)2。

所以，GF(q),q?2中含有的本原元个数最多为(q?1)2个。

当q?2?1时，(q?1)?2，?(q?1)?(q?1)(1?12)?(q?1)2，即GF(q)中含有的本原元达到最大值(q?1)2。

若GF(q)中含有的本原元达到最大值(q?1)2，即?(q?1)?(q?1)2，由此可推出：

kk?(q?1)?(q?1)(1?1p1)，且p1?2，即q?2k?1。

(7)设?为GF(q)的本原元，则：?(q?1)2??1。

(q?1)证明由于?为GF(q)的本原元，所以?的阶为(q-1)，即(q-1)是使?小正整