几何中的旋转问题

熟练运用旋转解决平面几何中的问题平面几何的证题方法多种多样•利用旋转来解决平面几何问题，有时能收到事半功倍的效果.图I例图1中以AABC的边AB、AC为一边向外作正方形ABDE及正方形ACFG,连结BG、CE.图I求证：(1)BG二CE；(2)BG丄CE.分析：一般的证法是证明AABG与AAEC全等，然后应用全等三角形的性质。而如果采用旋转，则可以如下证明：由已知可知，点E绕点A逆时针旋转90°为点B,点C绕点A逆时针旋转90。为点G,从而知线段EC绕点A逆时针旋转90°为线段BG,故有BG=CE,BG丄CE•本文将从最常见的两种旋转出发，谈谈旋转在平面几何中的应用。一、按旋转的角度进行区分區121、90°角旋转區12例1如图2,E、F分别是边长为1的正方形ABCD的BC、CD—上的点，且ACEF的周长是2.求ZEAF的大小。解：将AABE绕点A作逆时针旋转90°，则AB边与AD边重合，设旋转后E-E'，由条件ACEF的周长为2,即CE+EF+CF=2,又BE+CE+CF+DF=2,且显然有BE=DE',故CE+CF+FE'=2.从而必有EF=FEZ,又AE二AEZ,AF二人卩，故厶AEF^AAE'F,AZEAF=E'AF,又从作图知ZEAE'=90°，故ZEAF=45°O

例2（北京东城2010年上学期期末）如图，P为正方形ABCD内一点，若PA=1,PB=2,PC=3，求：（1）NAPB的度数；⑵正方形ABCD的面积.分析:三条已知的线段PA、PB、PC具有一个共公顶点，且它们不能构成三角形.但是当把AABP按顺时针方向旋转90。后，即会出现等腰直角三角形，于是PA旋转后的线段与PC构成了一个新的三角形.解：⑴将AABP绕点B顺时针方向旋转90°得ACBQ.则AABP今△CBQ且PB丄QB.于是PB=QB=2a，PQ=fPB2QB2=2〔2a.在厶戸©。中，TPC2=9a2，PQ2+QC2=9a2.:、PC2=PQ2+QC2....ZPQC=90°.•••△PBQ是等腰直角三角形，・・・ZBPQ=ZBQP=45°.故ZAPB=ZCQB=90°+45°=135°.（2）VZAPQ=ZAPB+ZBPQ=135°+45°=180°，・•・三点A、P、Q在同一直线上.在RtAAQC中，AC2=AQ+QC2=(a+2丫'2a)2+32=(10+4丫‘2)a2.正方形BCD"正方形BCD"2AC2=(5+2畧2)32.思考例2中,如果把ACBP绕点B逆时针方向旋转90。得AABM,怎样解以上问题？（答:⑴APBM是等腰直角三角形，且由勾股定理的逆定理得ZAP归90°;⑵过点B作BN丄AP，垂足为N.则PN=BNf迈a，于是在△ABN中可求出边长AB的平方，即得正方形的面积.）

2、60°角旋转.例1如图3,分别以AABC的边AB、AC为一边向外作等边三角形ABD及等边三角形ACE。连结BE、CD。设M、N分别是BE、CD的中点。求证：AAMN是等边三角形。证明：由条件可知，△ADC绕点A逆时针旋转60。为△ABEo即线段CD绕点A逆时针旋转60。得BE中点M,故AN=AM,ZNAM二60°，即AAMN是等边三角形。A图4例2如图4,P是等边三角形ABC内一点，且PA=3,PB=4,PC=5.求ZAPB的大小。A图4解：将AAPC绕点A顺时针旋转60°,由ABC为等边三角形知,此时所得新三角形一边与AB重合。设P旋转后为P'，则厶APP'的边长为3的等边三角形,P'B=PC=5,又PB=4,故pp'2+PB2=P'B2.从而△P'PB是以ZP‘PB为直角的直角三角形，从而ZAPB=ZAPPZ+ZP'PB=60°+90°=150°o例3如图，在凸四边形ABCD中，ZABC=30°,ZADC=60°,AD=DC.证明:BD2=AB2+BC2.分析:所证结论即是三条线段BD、AB、BC能构成一个直角三角形.因此需利用图形变换把它们集中到一个三角形中.E证:连接AC.VAD=DC,ZADC=60°,•••△ADC是等边三角形.故将ADCB绕点C顺时针方向旋转60°时可得AACE.连接BE.于是△DCB仝AACE且CB=CE,ZBCE=60°.•••△BCE是等边三角形，・・・BC=BE,NCBE=60°.VZABC=30°, ・・・ZABE=90°.故AB2+BC2=AB2+BE2=AE2=BD2.

练习.已知：如图，M是等边AABC内的一个点，且MA=2cm,MB=2\3cm，MC=4cm，求：AABC的边AB的长度。3、旋转到特殊位置例1如图，在AABC中，ZACB=90°,ZA=25°，以点C为旋转中心将AABC旋转a角到△A”C的位置，使B点恰好落在A”上.求旋转角a的度数.分析:将AABC旋转到点B落在A1B1上的特殊位置时，即确定了旋转角a的大小•于是ZA1BB1是平角，它是解题的切入点，通过平角可列方程求解:•••△ABC今△A”C（旋转前后的图形全等）.・・・ZA=ZA且CB=CB.11VZADC=ZADB,Z.ZABD=a.11在AABC中，ZABC=90°-25°=65°.VZBCB1=a（对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角）.1/.ZCBB=—（180°—a）^2••点\、B、8］在同一直线上,・•・a+65+—(180-a)=180.解之得a=50°.思考例1中，若ZA=e，那么a与G有何数量关系？（答：a=20）二、按计算要求进行区分1、求角度的度数。/ / \ft、例1（青岛）、如图1,P是正三角形ABC内的一点，且PA=6,PB=8,PC=10，求的度数。/ / \ft、分析：由题中已知条件中的6、8、10这组勾股数联想到直角三角形，于是设法将PA、PB、PC集中到一个三角形中，可以将△APC绕着A点逆时针旋转60°得到△AFB, 图1 图2从而可得ZAPB=ZAPF+ZBPF,然后设法求出NAPF、NBPF的度数即可。解：将AAPC绕点A逆时针旋转60°后，得△AFB,连接FP（如图2）,则FB=PC=10,FA=PA=6,ZFAP=60°oA^FAP是正三角形,FP=PA=6,在APBF中，PB2+PF2=82+62=1@=BF2,・・・ZBPF=90°,NAPB=NAPF+NFPB=60°+90°=150°。图3例2、如图所示，△ABC中，ZACB=120°，将该图形绕点C按顺时针旋转30°后，得到△A'B'C,则ZAB'C的度数是 o图3分析：根据旋转的性质可以知道ZBCB'是旋转角，它的度数应该是30°,ZAB'C可以看成是ZACB和ZBCB'的和，所以ZAB'C=120°＋30°=150°。答：ZAB'C的度数是150°。2、求线段间的关系或长度例1（旅顺）操作：如图3,^ABC是正三角形，如。。是顶角ZBDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连MN。探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明。分析：本题要探究的三条线段不在同一个三角形之中，必须设法将它们集中到一个三角形中。易知ZDBA=ZDCA=90°,BD=CD,于是将ADBM绕D点顺时针旋转120°到ADCP的位置，则BM=CP,DM=DP,再证MN=NC+CP即可得证。解：•••△ABC为正三角形，・・・ZBC=ZACB=60°,又・.・ZBDC=120°,DB=DC,・・・ZDBC=ZDCB=30°。・・・ZDBM=ZDCN=90。。于是将绕D点顺时针

旋转120°到ADCP位置，则BM=CP、DM=DP、ZMDP=120°,又•・・NMDN=60°,・・・NPDN=60°,・・・NPDN=NMDN,・・・DN=DN,•••△MDN今△PDN,・・・MN=NP=NC+CP,/.BM+NC=MNO答：ZAB'C的度数是150°。例2、如图4所示，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFGH,EF交AD于点H,那么DH的长是.分析：由旋转的性质可以知道ZBFC=ZDCG=30°，所以ZFCD=60°,可以连结线段HC（如图4所示），由已知可知ZF=ZD=90°,FC=DC,HC是Rt^FHC和RtADHC公共的斜边,根据HL公理可以判断Rt^FHC^Rt^DHC，所以ZFHC=ZDHC=30。，所以HC=2DH，根据勾股定理可得DH2+DC2=HC2，即DH2+DC2=（DC匕，因为DC=3,所以DHf'3。答:DH的长是朽。图33图3例1、如图4,3BC是等腰直角三角形,D为AB的中点,AB=2,扇形ADG和BDH分别是以AD、BD为半径的圆的以AD、BD为半径的圆的土，求阴影部分面积。分析：从表面上看图形异常繁杂,若想HG1直接求阴影部分面积则不可能，若将扇形DH和△BDC绕D点顺时针旋转180°，问题就迎刃而解了。解：将扇形BDH和解：将扇形BDH和△BDC绕D点顺时针图4图5旋转180°变成图5。1 1 1・.S=S—S=nX12—X12= (n—1)。半圆阴半圆△AEF2 2 2半圆例2、如图所示，△AOB中，0A=3cm,0B=lcm，将△AOB绕点0按逆时针方向旋转90°到AA'OB'，那么AB扫过的区域的面积是 。分析：AB扫过的区域是一个不规则的图形，要想计算它的面积，可以将它分割为①和③两部分（如图2所示），根据旋转可以知道区域②和区域③的面积是相等的，所以可以将①+③转化为①+②，而区域①+②的面积=扇形OAA'的面积一扇形ODD'的面积，又因为OD=OD=1，0A=3,所以区域①+②的面积=4OA2"-4OD2X,=2“cm2。答：AB扫过的区域的面积是2ncm2。4、进行图形分割例4（厦门）如图6,在四边形ABCD中，ZA=90°，ZABC与NADC互补。（1）求ZC的度数；（2）若BOCD且AB=AD，请在图上画一条线段，把四边ABCD分成两部分，使得这两部分能够重新拼成一个正方形，并说明理由。DCC析解：本题设计新颖，巧妙把直观感知、操作确认和逻辑推理结合起来，第（1）问可根据四边形内角和直接求解；第（2）问则ZABC+ZADC=180°，以及要把四边形分成两部分，使得这两部分能够拼成一个正方形，则新图必须有四个直角，由ZC=90°，又AB=AD，因此猜想过点A作AE丄BC于E,又得一个直角。把AABE绕点A逆时针旋转90°，这时AB与AD重合，则被分成两部分拼成一个正方形。DCC5、构造平行四边形例5（天津）如图8,已知四边形纸片ABCD,现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片。如果限定裁剪线最多有两条，能否做到： （用“能”或“不能”

填空)。若填“能”，请确定裁剪线的位置，并说明拼接方法；若填“不能”请简要说明理由。分析：本题旨在通过操作与几何说理，拓展学生思考与探索空间，主要考四边形的分割和平行四边形的判定知识，其中包含着深刻的图形变换思想，需要丰富观察能力、抽象思维能力、动手操作能力和解决实际问 图8 图9 图10题能力。本题通过连接四边形对边中点，构造线段相等并利用四边形内角和为360°，借助旋转、平移变换，可达到剪拼的目的。解：能。如图9、图10,取四边形ABCD各边的中点E、G、F、H,连接EF、GH,则EF、GH为裁剪线，EF、GH将四边形分成1、2、3、4四个部分，拼接时，图中的1不动，将2、4分别绕点H、F各旋转180°,3平移，拼成的四边形满足条件。三、按旋转类型进行区分1、正三角形类型在正AABC中，P为AABC内一点，将AABP绕A点按逆时针方向旋转600使得AB与AC重合。经过这样旋转变化，将图(1-1-a)中的PA、PB、PC三条线段集中于图(1-1-b)中的一个AP'CP中，此时AP'AP也为正三角形。图(1—1—a) 图(1—1—b)例1.如图：(1—1)：设P是等边AABC内的一点，PA=3， PB=4,PC=5,则ZAPB的度数是 .

r图（1-2）图（1-1）r图（1-2）简解：在AABC的外侧，作ZBAP'=ZCAP,且AP'=AP=3,连结P'B。则ABAP'9ACAP。易证AAPP'为正三角形，APBP'为RtA・•・ZAPB=ZAPP'+ZP'PB=60°+90°=150。2、正方形类型在正方形ABCD中,P为正方形ABCD内一点，将AABP绕B点按顺时针方向旋转90。,使得BA与BC重合。经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（2-1-a）I图（2-1-b）图（2-1-b）中的ACPP'中，此时ABPP'为等腰直角三角形。图（2-1-a）I图（2-1-b）例2.如图（2-1）：P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2,PC=3。求此正方形ABCD面积。图（2-1）图（2-1）简解：作AAED使ZDAE=ZBAP，AE=AP连结EP，则AADE竺AABP（SAS）同样方法，作ADFC且有ADFC^ABPCo

易证△EAP为等腰直角三角形，又・・・AP=1:.PE=\2 同理，PF=3p2・ZEDA=ZPBA,ZFDC=厶PBC又・ZPBA+ZPBC=90。・•・ZEDF=ZEDA+ZFDC+ZADC=9Oo+9Oo=18Oo・••点E、D、F在一条直线上。・EF=ED+DF=2+2=4，在AEPF中，EF=4,EP=V2,FP=3由勾股定理的逆定理，可知AEPF为RtA・S••=S+S+S=3+1+9=8・S••正方形ABCD RtAEPFRtAEPARtAPFC ?2例3.如图(3-1)正方形ABCD中,边长ABf3,点E、F分别在BC、CD上且ZBAE=3Oo,ZDAF=15o。求AAEF的面积。(第十一届希望杯邀请赛试题)图(3-1)简解：延长CB至F'使得BF'=DF,连结AF'，则RtAABF'竺RtAADF(SAS)。•ZF'AE=3Oo+15o=45o,ZFAE=9Oo-30。-15o=45。易证AF'AE竺AFAE(SAS)ZF'EA=ZFEA=6Oo,・・.ZFEC=6Oo,・•在RtAABE中，AB=\‘3,ZBAE=3OoBE=1,CE=\3-1,FE=2CE=2(\3-1),•EF'=EF=2(\3-1)所以，SAAEF=S△AF'e=2AB・EF'=2*运X2(】3-1)=3-J33、等腰直角三角形类型在等腰直角三角形AABC中，ZC=RtZ,P为AABC内一点，将AAPC绕C点按逆时针方向旋转9Oo,使得AC与BC重合。经过这样旋转变化，在图(3-1-b)中的一个AP'CP为等腰直角三角形。

图（3-1-b）图图（3-1-b）例4．如图（4-1）,在AABC中，ZACB=90。，BC=AC,P为AABC内一点，且例4．PC=2。求ZBPC的度数。图（4-1）B图（4-1）B简解：例5.简解：例5.在RtAABC的外侧，作ZBCP'=ZACP,且CP'=CP=2，连结P'P。则ABCP'旦AACP。易证RtACPP'为等腰直角三角形，在APBP'中，BP'=3,BP=1，PP'=2.2，由勾股定理的逆定理可知，AP'PB为RtA为RtA,ZP'PB=9Oo:.ZBPC=ZCPP'+ZP'PB=45o+90°=135o如图（5-1），在AABC中，ZBAC=9Oo,AB=AC，AABC内一点0,A0=2cm,如果把AABO绕A点按逆时针方向转动9Oo,使AB与AC重合，则0点经过的路径长为图（5-1）例6.如图（6-1）,五边形ABCDE中，ZABC=ZAED=90。，AB=CD=AE=BC+DE=1,则这个五边形ABCDE的面积等于 。（2003年宁波市至诚杯竞赛题）

II图(6-1)图(6-2)简解：延长DE至C使得EC=BC,连结AC，则AAEC9AABC(SAS)•・・AB=CD=AE=BC+DE=1,・・・CD=CDZ.ACAD^ACAD(SSS)・・・Sabcde=2S△cda=2x(2x1x1)=14、三角形与圆混合类型将ACAD绕A点按顺时针方向旋转60o到ABAD',经过旋转变化，将图(3-1-a)中的DC与BD组合在一条直线上，见图(3-1-b)此时ZD'BD是个平角，AADD'为正三角形。图(3-1-a)图(3-1-a)图(3-1-b)例7.例7.如图(7-1),正三角形ABC内接于00,P是劣弧BC上任意一点，PA=2,则四边形ABPC的面积为.图(7-2)图(图(7-2)简解：延长PB至P'使得P'B=PC,连结AP'，则AAP'B^AAPC(SAS)

:,AP'=AP,ZP'AB=ZPAC,又•・•ZBAC=60。・•・△P'AP为正三角形四边形ABPC△AP'P四边形ABPC△AP'P=J3四、与旋转有关的探索型题目1、条件探索型条件探索型的特征是给出了结论,要求探索使该结论成立所具备的条件.解题时,一般需要从结论出发,逆向思维解（即执果索因）.例1:（遂宁）如图1,把正方形ACFG与RtAACB按如图（甲）所示重叠在一起，其中AC=2,ZBAC=60o,若把RtAACB绕直角顶点C按顺时针方向旋转,使斜边AB恰好经过正方形ACFG的顶点F,得△BzC‘，AB分别与A，C,A，B‘相交于D、E,如图（乙）所示.（1） .AACB至少旋转多少度才能得到AA，B，C?说明理由.（2） .求AACB与AA，B，C，的重叠部分（即四边形CDEF）的面积（若取近似值，则精确到o.1)图1A_ 图1A_ G_解：(l)TACGF是正方形，A，B，经过点F,・・・A，C=CF.又VZA，=60°,・•・ △CF是等边三角形.又IZA，CF=60°・•・ZACA，=90°一60°=30° AABC至少旋转30。才能得到AA，CB，.(2)IZACA，=30° ,ZBAC=60°,AZA，DE=90°.又•・•AC=2,可求得CD=、；'3..・・A，D=2—©'3.在RtAA，DE中，DE=A，Dtan60°=(2—_73)•怎=2柘一3.

TOC\o"1-5"\h\z11 7・•・△A7DE的面积为：2AD・DE=亍（2—\3）・（2朽一3）=寸打—6.又•・•ABf=4, AfF=2,・・・F是A'B'的中点.・•・△A'CF的面积=2△ABC的面积,而B‘C=A'C・tan60°=2J3,・•・S=X2X2<3=2j3,S =J3△ABC2 AA'CF7 7 5:、 四边形DCFE的面积为：23—（2V3—6）=\：3—一—<3+6=6一一2（若取近似值，则结果应约为1.7.）2、探索结论型结论探索型是指在一定的条件下无结论或结论不明确，需要探索发现与之相应的结论的题目；解结论探索型题的方法是由因导果.例2:（衡阳市）已知，如图2,平行四边形ABCD中，AB〃CD,AB=1,BC= ，对角线AC、BD交于0点，将直线AC绕点0顺时针旋转，分别交BC、AD于点E、F.⑴证明：当旋转角为900时，四边形是平行四边形;⑵试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；⑶在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由：如果能，说明理由并求出此时AC绕点0顺时针旋转的度数.解:⑴证明：当ZA0F=90。时，AB〃EF,又・.・AF〃BE,・•・四边形ABEF为平行四边形.⑵・・・A0=C0,ZFA0=ZEC0,ZA0F=ZC0E..•.△A0F9△C0E.・AF=EC.⑶四边形BEDF可是是菱形.理由:如图2,连接BF、DE.由（2）知厶A0F今△C0E.得0E=0F,Z.EF与BD互相平分.当EF丄BD时，四边形BEDF为菱形.在Rt^ABC中,AC=\5二1二2,・・・0A=1=AB.又AB丄ACAZA0B=45o，AZA0F=45o.・・・AC绕点0顺时针旋转45。时,四边形BEDF为菱形.3、存在性探索型存在型探索题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目.解存在性探

索题先假设要探索的问题存在，继而进行推导与计算，若得出矛盾或错误的结论，则不存在，反之即为所求的结论.例1.(河北)如图1—1,一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起.现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点0(点0也是BD中点)按顺时针方向旋转.(1)如图1—2,当EF与AB相交于点M,GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM,FN的长度，猜想BM,FN满足的数量关系，并证明你的猜想；(2)若三角尺GEF旋转到如图1—3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M,线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N,此时，(1)中的猜想还成立吗？D若成立，请证明;若不成立，请说明理由.CA(G)B(E)D立吗？D若成立，请证明;若不成立，请说明理由.CA(G)B(E)DAE图1—2B图1—3分析：本题主要考查旋转图形的性质，解答时应着眼于图形的旋转不变性来探索线段之间的变化规律.对于(1)问，经测量后可知BM=FN.然后利用三角形全等证明即可；对于(2)问，要明确，在继续旋转的过程中，虽然AOBM和A0FN都发生了变化，但二者之间全等的关系没变.故结论成立.解:(1)BM=FN.证明：•••△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，・•・ZABD=ZF=45°,OB=OF.又VZBOM^ZFON, ・•・△OBM^^OFN.・BM=FN.(2)BM=FN仍然成立.证明：•••△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，・ZDBA=ZGFE=45°，OB=OF.AZMBO=ZNFO=135°.又VZMOB=ZNOF, ・•・△OBM^AOFN.:.BM=FN.评注：本题利用图形旋转的不变性，探索图形在旋转过程中的有关规律，让同学们体验图形旋转变换的性质，同时也考査了同学们空间想象、规律探索、推理能力以及分析问题、解决问题的能力，是一道不可多得的优秀题目.例2.（黑龙江鸡西）已知ZAOB=9O0在ZAOB的平分线OM上有一点C,将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB（或它们的反向延长线）相交于点D、E.当三角板绕点c旋转到cd与oa垂直时（如图1）,易证：od+oe=V2oc.当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明.图2-1 图2-2 图2-3分析：由于在旋转的过程中，虽然点O的位置发生了变化，但ZAOC和ZCOE的大小不变，都是45°，因此可过C分别作OA、OB的垂线，从而转化为等腰直角三角形（图1）来处理.对于图3可仿图2处理.解：图2结论：OD+OE=./2OC.证明：过C分别作OA、OB的垂线，垂足分别为P、Q.△CPDMCQE,DP=EQ.OP=OD+DP，DQ=OE-EQ.又OP+OQ=\：3OC，即OD+DP+OE-EQ=J2OC.・•・OD+OE=\SOC.图3结论：OE-OD^'2OC.评注：从以上两例可以看出，解决这类问题的关键是要把握以下两点：

在解题时，认真观察图形，不放过一个细节，看清旋转的角度和方向，找准旋转前后的相关的角与边，在旋转的过程中，弄清变与不变的量；再解决这类问题时，我们通常将其转换成全等形求解，根据旋转变换的特征，找到对应的全等形，通过线段、角的转换达到求解的目的.练习部分一、选择题1、（2009年泸州）如图1，P是正AABC内的一点，若将△PBC绕点B旋转到△P'BA，则ZPBP'的度数是 （ ）A.45°B.60°C.90° D.120°04A.45°B.60°C.90° D.120°043A2A△1-3-2-10123y山x2、 （2009年陕西省）如图，ZA0B=90°,ZB=30°，AA'OB'可以看作是由△AOB绕点TOC\o"1-5"\h\z0顺时针旋转a角度得到的，若点A'在AB上，贝卩旋转角a的大小可以是 （）A.30° B.45° C.60° D.90°3、 （2009年桂林市、百色市）如图所示，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将AABO绕点0按顺时针方向旋转90°，得△A'B'O，则点A'的坐标为（ ）.A.（3，1）B.（3，2）C.（2，3）D.（1，3）4、 、（2009年甘肃白银）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A.等腰梯形 B.平行四边形 C.正三角形D.矩形5、 （2009年台州市）单词NAME的四个字母中，是中心对称图形的是（ ）A.N B.A C.M D.E6、 （2009年广西钦州）某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有等腰三角形、正三角形、等腰梯形、菱形等四种方案，你认为符

TOC\o"1-5"\h\z合条件的是（ ）A.等腰三角形 B.正三角形 C.等腰梯形 D.菱形7、如图，在RtAABC中，ab=ac,D、E是斜边BC上两点， 且NDAE=45°,将厶ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：©△AEDAEF;©△ABEACD;®BE+DC=DE;®BE2+DC2=DE2其中正确的是（ ）A.②④; B・①④; C・②③; D・①③8、（2009年四川省内江市）已知如图1所示的四张牌，若将其中一张牌旋转1800后得到图强**冷V图1强**冷V图1A**代*♦*52,则旋转的牌是（）t♦*♦^4*图2♦♦5••A.B. C. D.9、（2009成都）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2,3），若将0A绕原点0逆时针旋转180°得到0A'，贝y点A，在平面直角坐标系中的位置是在 （ ）（A）第一象限 （B）第二象限 （c）第三象限 （D）第四象限10、（2009年崇左）已知点A的坐标为（a,b），O为坐标原点，连结OA，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转90°得军’则点Ai的坐标为（）A. （—a, b） B. （a,—b） C. （—b, a） D. （b,-a）二、填空题1、（2009肇庆）在平面直角坐标系中，点P（2,-3）关于原点对称点P'的坐标是.2.正方形BABCD内一点P，2.正方形BABCD内一点P，4、（2009年抚顺市）如图所示，在平面直角坐标系中，、0A三个顶点的坐标是0（0心A（3,4）、（5,2）.将AOAB绕原点O按逆时针方向旋转90°后得到AOAB,则点A的坐标是 .111三、解答题1如图，P是正方形内一点，将AABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP7重合，若BP=3，求PPZ.3、如图P是等边AABC内一点，PA=3,PB=4,PC=5,则ZAPB= 4、（2009年河南）如图，在RtAABC中，ZACB=90°,ZB=60°,BC=2.点0是AC的中点，过点0的直线l从与AC重合的位置开始,绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE〃AB交直线l于点E,设直线l的旋转角为a.⑴①当a= 度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为 ;②当a= 时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为 ;⑵当a=90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由.

AB5、如图，AABC中，ZACB=90°,AC=BC=1,将AABC绕点C逆时针旋转角a。AB（0°VaV90°）得到△A1B1C1，连结BB】.设CB】交AB于D,A”分别交AB、AC于E、F.（1）在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明（△ABC与厶A1B1C1全等除外）；⑵当△BB1D是等腰三角形时，求a；（3）当a=60°时，求BD的长.6、（13分）已知RtAABC中，AC=BC,ZC=90°,D为AB边的中点,ZEDF=90°ZEDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F.当ZEDF绕D点旋转到DE丄AC于E时（如图1）,易证S +S S.△DEFACEF2 △ABC当ZEDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立,S、S、S△DEF △CEF .△ABC又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明.已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A,点G、E分别在线段AD、AB上.⑴如图1,连接DF、BF,若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，判断命题：“在旋转的过程中线段DF与BF的长始终相等.”是否正确，若正确请说明理由，若不正确请举反例说明;(2)若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG,在旋转的过程中，你能否找到一条线段的长与线段DG的长始终相等.并以图2为例说明理由.8、将两块含30。角且大小相同的直角三角板如图1摆放.将图1中ADEC绕点C顺时针旋转任意角度，则ZACB+ZBCA=11 、将图1中厶ABC绕点C顺时针旋转45°得图2,点P是AC1111与AB的交点。求出图中AACP的各个内角的度数；1J2求证：CP=—AP；121、将图2中厶ABC绕点C顺时针旋转30°到厶ABC(如图3),点1122P是AC与AB的交点。22①求出图中ACPP的各个内角的度数;12图4②线段CP与PP之间存在一个确定112图4的等量关系，请你写出这个关系式并说明理由；

、将图3中线段CP绕点C顺时针旋转60°到CP(如图4),连结PP,1332求证：PP丄AB.329、把两个全等的直角三角板ABC和EFG叠放在一起，使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点0重合，其中NB=NF=30°,斜边AB和EF长均为4・当EG丄AC于点K,GF丄BC于点H时(如图①)，求GH：GK的值现将三角板EFG由图①所示的位置绕0点沿逆时针方向旋转，旋转角a满足条件：0°Va<30°(如图②)，EG交AC于点K,GF交BC于点H,GH：GK的值是否改变？证明你发现的结论；在②下，连接HK,在上述旋转过程中，设GH=x,AGKH的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；C图1C图110、(海口实验区)在△ABC中，NACB=90°,AC=BC，直线MN经过点C,且AD丄MN于D,BE丄MN于E.(1)、当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证：①AADC^ACEB；®DE=AD+BE；(2)、当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证：DE=AD-BE；MB(3)、当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.B11.已知：将一副三角板(RtAABC和RtADEF)如图①摆放，点E、A、D、B在一条直线上,且D是AB的中点。将Rt^DEF绕点D顺时针方向旋转角a(0°