高等数学第六版本

习题9-21计算下列二重积分:(1),其中D{(xy)||x|1|y|1};解积分区域可表示为D1x11y1于是(2),其中D是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区域:解积分区域可表示为D0x20y2x于是(3),其中D{(xy)|0x1,0y1}解(4),其中D是顶点分别为(0,0),(p,0),和(p,p)的三角形闭区域.解积分区域可表示为D0x0yx于是,2.画出积分区域,并计算下列二重积分:(1),其中D是由两条抛物线所围成的闭区域;解积分区域图如并且D{(xy)|0x1}于是(2),其中D是由圆周x2+y2=4及y轴所围成的右半闭区域;解积分区域图如并且D{(xy)|2y2}于是(3),其中D{(xy)||x||y|1}解积分区域图如并且D{(xy)|1x0x1yx1}{(xy)|0x1x1yx1}于是=e-e-1(4),其中D是由直线y=2,y=x及y=2x轴所围成的闭区域解积分区域图如并且D{(xy)|0y2}于是3.如果二重积分的被积函数f(x,y)是两个函数f1(x)及f2(y)的乘积,即f(x,y)=f1(x)f2(y),积分区域D{(xy)|axb,cyd},证明这个二重积分等于两个单积分的乘积,即证明而故由于的值是一常数因而可提到积分号的外面于是得4.化二重积分为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分),其中积分区域D是:(1)由直线y=x及抛物线y2=4x所围成的闭区域;解积分区域如图所示并且D{(xy)|}或D{(xy)|}所以或(2)由x轴及半圆周x2+y2=r2(y0)所围成的闭区域;解积分区域如图所示并且D{(xy)|}或D{(xy)|}所以或(3)由直线y=x,x=2及双曲线(x>0)所围成的闭区域;解积分区域如图所示并且D{(xy)|}或D{(xy)|}{(xy)|}所以或(4)环形闭区域{(x,y)|1x2+y24}.解如图所示用直线x=-1和x=1可将积分区域D分成四部分,分别记做D1,D2,D3,D4于是用直线y=1,和y=-1可将积分区域D分成四部分,分别记做D1,D2,D3,D4,如图所示.于是5设f(x,y)在D上连续,其中D是由直线y=x、y=a及x=b(b>a)围成的闭区域,证明:.证明积分区域如图所示并且积分区域可表示为D{(xy)|axbayx}或D{(xy)|aybyxb}于是或因此.6改换下列二次积分的积分次序(1);解由根据积分限可得积分区域D{(xy)|0y10xy}如图因为积分区域还可以表示为D{(xy)|0x1xy1}所以(2);解由根据积分限可得积分区域D{(xy)|0y2y2x2y}如图因为积分区域还可以表示为D={(x,y)|0£x£4,},所以.(3);解由根据积分限可得积分区域,如图.因为积分区域还可以表示为,所以(4);解由根据积分限可得积分区域,如图.因为积分区域还可以表示为,所以.(5);解由根据积分限可得积分区域D={(x,y)|1£x£e,0£y£lnx},如图.因为积分区域还可以表示为D={(x,y)|0£y£1,ey£x£e},所以(6)(其中a³0)．解由根据积分限可得积分区域,如图.因为积分区域还可以表示为,所以.7.设平面薄片所占的闭区域D由直线x+y=2,y=x和x轴所围成,它的面密度为m(x,y)=x2+y2,求该薄片的质量.解如图,该薄片的质量为.8.计算由四个平面x=0,y=0,x=1,y=1所围成的柱体被平面z=0及2x+3y+z=6截得的立体的体积.解四个平面所围成的立体如图,所求体积为.9.求由平面x=0,y=0,x+y=1所围成的柱体被平面z=0及抛物面x2+y2=6-z截得的立体的体积.解立体在xOy面上的投影区域为D={(x,y)|0£x£1,0£y£1-x},所求立体的体积为以曲面z=6-x2-y2为顶,以区域D为底的曲顶柱体的体积,即.10.求由曲面z=x2+2y2及z=6-2x2-y2所围成的立体的体积.解由消去z,得x2+2y2=6-2x2-y2,即x2+y2=2,故立体在xOy面上的投影区域为x2+y2£2,因为积分区域关于x及y轴均对称,并且被积函数关于x,y都是偶函数,所以.11画出积分区域把积分表示为极坐标形式的二次积分,其中积分区域D是:(1){(x,y)|x2+y2a2}(a>0);解积分区域D如图因为D{()|020a}所以(2){(x,y)|x2+y22x};解积分区域D如图因为所以(3){(x,y)|a2x2+y2b2},其中0a<b解积分区域D如图因为D{()|02ab}所以(4){(x,y)|0y1-x,0x1}.解积分区域D如图因为所以12化下列二次积分为极坐标形式的二次积分:(1);解积分区域D如图所示因为所以(2);解积分区域D如图所示并且所示(3);解积分区域D如图所示并且所以(4).解积分区域D如图所示并且所以13把下列积分化为极坐标形式,并计算积分值:(1);解积分区域D如图所示因为所以(2);解积分区域D如图所示因为所以(3);解积分区域D如图所示因为所以(4).解积分区域D如图所示因为所以14.利用极坐标计算下列各题:(1)，其中D是由圆周x2+y2=4所围成的闭区域;解在极坐标下D={(r,q)|0£q£2p,0£r£2},所以.(2)，其中D是由圆周x2+y2=1及坐标轴所围成的在第一象限的闭区域;解在极坐标下,所以.(3),其中D是由圆周x2+y2=4,x2+y2=1及直线y=0,y=x所围成的第一象限的闭区域.解在极坐标下,所以.15选用适当的坐标计算下列各题:(1)，其中D是由直线x=2，y=x及曲线xy=1所围成的闭区域解因为积分区域可表示为,所以(2),其中D是由圆周x2+y2=1及坐标轴所围成的在第一象限的闭区域;解在极坐标下,所以(3)其中D是由直线y=x,y=x+a,y=a,y=3a(a>0)所围成的闭区域;解因为积分区域可表示为D{(xy)|ay3ayaxy},所以(4)其中D是圆环形闭区域{(x,y)|a2x2+y2b2}解在极坐标下D{()|02ab},所以16设平面薄片所占的闭区域D由螺线2上一段弧()与直线所围成,它的面密度为(x,y)=x2+y2.求这薄片的质量.解区域如图所示在极坐标下所以所求质量17求由平面