冲刺复习【图形与证明】

中考模拟分类汇编图形与证明一、选择题1.（2022北京海淀区·模拟）若两圆的半径分别为和3，圆心距为1，则这两圆的位置关系是A．内含B．内切C．相交D．外切答案：B2.（2022北京西城区·模拟）若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为A、5 B、6 C、7D答案：D3.（2022北京宣武区·模拟）⊙O的半径为，圆心O到直线的距离为，则直线与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定答案：A4。（2022苏：高新区·模拟）．顺次连接某四边形各边中点构成一个菱形，则这个四边形一定是A．菱形B．矩形C．等腰梯形D．对角线相等的四边形答案：D5．（09荔湾区一模）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（）A．有一个内角大于60°B．有一个内角小于60°C．每一个内角都大于60°D．每一个内角都小于60°答案：C6、（09蚌埠二中自主招生试题）下列命题中正确的个数有……………【】①实数不是有理数就是无理数；②a＜a＋a；③121的平方根是±11；④在实数范围内，非负数一定是正数；⑤两个无理数之和一定是无理数A.1个B.2个C.3个 D.4答案：B（第1题）二、填空题（第1题）1．（2022年上海市黄浦区二模）如图，已知，在△OAD和△OBC中，OD＝OC，若不增加任何字母与辅助线，要使△OAD≌△OBC.，则还需增加一个条件是*.答案：OA=OB或∠D＝∠C或∠OAD＝∠OBC（填其中一个即可）2．（2022年上海市浦东新区预测）在四边形ABCD中，AB∥CD，如果要使这个四边形成为平行四边形，那么还需添加一个条件，这个条件可以是．答案：等（第（第3题图）3．（2022年上海市松江区模拟）如图，在四边形中，AB≠CD，分别是的中点，要使四边形是菱形，四边形还应满足的一个条件是．答案：AD=BC或四边形ABCD是等腰梯形；三、解答题1.（2022北京东城·模拟）．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，FCABCDPE．O∴BF=EC.…1分ABCDPE．O在△ABF和△DEC中，…3分∴△ABF≌△DEC.…………4分∴AF＝DC.…………5分4．（2022北京海淀区·模拟）．如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B.（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长.答案：（1）证明:如图,连接AO并延长交⊙O于点E,连接BE,则∠ABE=90°.∴∠EAB+∠E=90°.……1分∵∠E=∠C,∠C=∠BAD，∴∠EAB+∠BAD=90°.∴AD是⊙O的切线.……2分（2）解：由（1）可知∠ABE=90°.∵AE=2AO=6,AB=4,∴.…………………3分∵∠E=∠C=∠BAD,BD⊥AB,∴…………………4分∴∴.…………………5分5.（2022北京西城区·模拟）已知：如图，△ABC中，AB=AC，BC为最大边，点D、E分别在BC、AC上，BD=CE，F为BA延长线上一点，BF=CD.求证：∠DEF=∠DFE.答案：证明：如图∵AB=AC，∴∠B=∠C．----------------------1分在△BDF和△CED中，∴△BDF≌△CED．----------------------------------3分∴DF=ED．----------------------------------------4分∴∠DEF=∠DFE．------------------------------------5分6.（2022北京宣武区·模拟）如图，在ABCD中，点E是AD的中点，BE的延长线与CD的延长线相交于点F．(1)求证：△ABE≌△DFE；(2)连结BD、AF，请判断四边形ABDF的形状，并证明你的结论．答案：证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CF，∴∠1=∠2，∠3=∠4．∵E是AD的中点，∴AE=DE，∴△ABE≌△DFE．………2分(2)四边形ABDF是平行四边形．…………3分∵△ABE≌△DFE，∴AB=DF．又∵AB∥CF，∴四边形ABDF是平行四边形．………………5分7.（2022北京丰台区·模拟）已知：如图，AB∥DE，∠A＝∠D，且BE＝CF.求证：∠ACB＝∠F.答案：．证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF， 1分∵BE＝CF，∴BE＋CE＝CF＋CE，即BC＝EF， 2分∵∠A＝∠D，∴△ABC≌△DEF． 4分∴∠ACB＝∠F. 5分8.（2022北京朝阳区·模拟）．已知：如图，AD∥BC，AD＝BC，E为BC上一点，且AE＝AB.求证：DE＝AC.答案：证明：∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠1.……1分∵AE＝AB，∴∠1＝∠B.………2分∴∠B＝∠DAE.……………3分又AD＝BC，∴△ABC≌△AED.……………………4分∴DE＝AC.…………………5分9.（2022北京崇文区·模拟）如图，已知．求证：．答案：证明：．．又，．10.（2022北京崇文区·模拟）如图，以等腰中的腰为直径作⊙，交底边于点．过点作，垂足为．（=1\*ROMANI）求证：为⊙的切线；（=2\*ROMANII）若⊙的半径为5，，求的长．答案：解：（=1\*ROMANI）证明：连接，连接是直径，，又是等腰三角形，∴是的中点．．，．为⊙的切线． （=2\*ROMANII）在等腰中，，知是等边三角形．⊙的半径为5，，．11.（2022北京密云区·模拟）已知：如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，求证：∠BAE＝∠DCF.证明：答案：证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD且AB＝CD…1分∴∠ABE＝∠CDF………2分又∵AE⊥BD，CF⊥BD∴∠AEB＝∠CFD＝900…3分∴Rt△ABE≌Rt△CDF…4分∴∠BAE＝∠DCF……….5分12.（2022北京平谷区·模拟）.已知：如图，四边形ABCD是等腰梯形，AB=DC，AD∥BC，E是AD中点．求证：EB=EC.答案：证明：∵AB=DC，AD∥BC，∴∠A=∠D……………2分∵E是AD中点，∴AE=DE ………….3分在△BAE和△CDE中∴△BAE≌△CDE………………4分∴EB=EC………………5分13.（2022北京石景山区·模拟）已知：如图，在菱形中，分别延长、到、，使得，联结、．求证：．答案：证明：∵四边形ABCD是菱形，∴，．∴．…2分在和中，∴≌．…………………4分∴．…………………5分14.（2022北京通州区·模拟）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，延长底边AB到E，使得BE=DC.求证：AC=CE.答案：证明：在等腰梯形ABCD中∵AB∥CDAD=CB，∴∠DAB=∠CBA……………1分又∵∠CDA＋∠DAB=180°∠CBA＋∠CBE=180°∴∠CDA=∠CBE………………2分又∵BE=DC…3分∴△ADC≌△CBE…………4分∴AC=CE……5分15.（2022北京通州区·模拟）．请阅读下列材料：已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE=45°.探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连结E′D，使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；图（1）（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明.图（2）答案：（1）DE2=BD2+EC2……1分证明：根据△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE’∴△AEC≌△ABE’……2分∴BE’=EC,AE’=AE∠C=∠ABE’,∠EAC=∠E’AB在Rt△ABC中∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB=45°∴∠ABC＋∠ABE’=90°即∠E’BD=90°………3分∴E’B2＋BD2=E’D2又∵∠DAE=45°∴∠BAD＋∠EAC=45°∴∠E’AB＋∠BAD=45°即∠E’AD=45°∴△AE’D≌△AED∴DE=DE’∴DE2=BD2+EC2……………4分（2）关系式DE2=BD2+EC2仍然成立………5分证明：将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE∴△AFD≌△ABD……………6分∴AF=AB，FD=DB∠FAD=∠BAD，∠AFD=∠ABD又∵AB=AC，∴AF=AC∵∠FAE=∠FAD＋∠DAE=∠FAD＋45°∠EAC=∠BAC－∠BAE=90°－(∠DAE－∠DAB)=45°＋∠DAB∴∠FAE=∠EAC又∵AE=AE∴△AFE≌△ACE∴FE=EC,∠AFE=∠ACE=45°∠AFD=∠ABD=180°－∠ABC=135°∴∠DFE=∠AFD－∠AFE=135°－45°=90°…7分∴在Rt△DFE中DF2＋FE2=DE2即DE2=BD2+EC2…………………8分16.（2022广东：汕头市：金平区·模拟）．Rt△ABC中，BC=9，CA=12，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥DB交AB于点E．（1）设⊙O是△BDE的外接圆，求证:AC是⊙O的切线;（16题图）（2）设⊙O交BC于点F，连结EF，求⊙O的半径及eq\f(EF,AC)的值．（16题图）答案：（1）证明：由已知DE⊥DB，⊙O是Rt△BDE的外接圆，∴BE是⊙O的直径，点O是BE的中点，连结OD，………………1分12123∴∠1＝∠2又∵OB＝OD∴∠2＝∠3∴∠1＝∠3………………3分∴BC∥OD又∵∠C＝90°∴∠ODC＝90°………………4分又∵OD是⊙O的半径，OD⊥AC∴AC是⊙O的切线．………………5分（2）解：设⊙O的半径为r，在Rt△ABC中，AB＝eq\r(BC2＋CA2)＝eq\r(92＋122)＝15…………6分∵BC∥OD∴△ADO∽△ACB．∴．∴．………………8分∴r＝eq\f(45,8)．∴BE=eq\f(45,4)………………9分又∵BE是⊙O的直径．∴∠BFE＝∠C＝90∴BC∥OD∴△BEF∽△BAC………………11分∴．………………12分17.（2022广东：汕头市：金平区·模拟）．如图，已知：过□ABCD的对角线BD上一点O的直线分别交DA和BC的延长线于E、F。请问：OE与OF相等吗？若相等请证明，若不相等，需添加什么条件就能证得ABABCDEFO（17题图）答案：答：∵O是BD上任意一点，∴OE与OF不一定相等当O是BD中点时，就可证得OE＝OF…………2分ABCDABCDEFO（17题图）∴OB＝OD………………3分又∵□ABCD中AD∥BC∴∠ADB＝∠DBC∠E＝∠F，………5分∴△ODE≌△OEF………………6分∴OE＝OF………………7分（本题答案不唯一）ABCDE18．（2022年上海市ABCDE已知：如图，△ABC与△BDE都是正三角形，且点D在边AC上，并与端点A、C不重合．求证：（1）△ABE≌△CBD；（2）四边形AEBC是梯形．答案：证明：（1）在正△ABC与正△BDE中，∵，，，∴．∴△ABE≌△CBD．（2）∵△ABE≌△CBD，∴，．∴．∴．又∵，∴．∴四边形AEBC是梯形．ODCPAB第19题ODCPAB第19题EPB与⊙O相交于点A、B，PD与⊙O相交于C、D，AB=CD.求证：（1）PO平分∠BPD；（2）PA=PC；（3）.答案：证明：（1）分别取弧AB、CD的中点M、N，联接OM、ON交PB于点F、交PD于点G，∴OM⊥PB，ON⊥PD．∵AB=CD，21OD21ODCPAB第19题FGE34MN∴PO平分∠BPD．（2）∵PO平分∠BPD，∴∠1=∠2．∵OF⊥PB，OG⊥PD，∴∠3=∠4．∴PF=PG．∵AB=CD，∴，．∴AF=CG．∴PA=PC．(3)∵AB=CD，∴．∵OF⊥PB，OG⊥PD，∴，．∴．∵∠3=∠4，∴．∴．ABCDE20．（2022年上海市青浦区模拟）如图，在中，，是边上一点，且，点是线段的中点，连结．ABCDE（1）求证：；（2）若，求证：是等腰直角三角形．答案：（1）证明：由得（）．由点是的中点，得即．由得（）．由得，又，所以，所以（）．因为所以．（）（2）由得（），又得∽（），所以，又，所以（）．因为，所以即．又所以是等腰直角三角形．（）21．（2022年上海市松江区模拟）如图，在△ABC中，AB=BC，BD是中线，过点D作DE∥BC，过点A作AE∥BD，AE与DE交于点E．EADBCEADBC（第21题图）答案：解：证明：是的中点，∴,，∴∴，∴∴四边形是平行四边形，∴即∴平行四边形是矩形22．（2022年上海市徐汇区模拟）如图，中，，，以点为圆心长为半径作弧交于点，联结，过点作交于点，联结．ACBDACBDEF（2）．（6分）答案：证明:(1)∵,∴∵即∴∴∴∴(2)（证法一）联结．∵，，∴≌∴，∵∴∴∥，∵∴（证法二）∵，∴∵∴∴∵，∵，∴∴∴ADCBOFE23．（2022年上海市长宁区模拟）如图，点C在⊙O的弦AB上，COADCBOFE（1）求证：OC=OF；（2）求证：AB=DE。。答案：（1）证明△ACO≌△DFO时A、A、S：1’×3=3△ACO≌△DFOOF=OC（2）①作OG⊥AB，OH⊥DE，G、H分别为垂足，∵△ACO≌△DFO∴OG=OH∴AB=DEAQEPMAQEPMNDCBABDCEI图1证△ABDCEI图124．（2022年上海市长宁区模拟）如图1，△ABC中，AI、BI分别平分∠BAC、∠ABC。CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，交BI延长线于E，联结CI。（1）△ABC变化时，设∠BAC=2α。若用α表示∠BIC和∠E，那么∠BIC=_______，∠E=_______；（2）若AB=1，且△ABC与△ICE相似，求相应AC长；（3）如图2，延长AI交EC延长线于F。当△ABC形状、大小变化时，图中有哪些三角形始终与△ABI相似？写出这些三角形，并选其中之一证明。答案：（1）900+ααFABDCEI图2（2）分类i）∠FABDCEI图2ii）∠ABC=900，推出Rt△ABC中，∠BAC=600，∠ACB=300AC=2AB=2iii）∠ACB=900，推出Rt△ABC中，∠BAC=600，∠ABC=300，AC=AB=（3）写出：△EIF△ECB△ACF证明其中一个三角形与△AIB相似25．（2022年上海市奉贤区调研）AECBFD第25题已知：如图，在中，是边上的一点，是的中点，，过点作的平行线交与的延长线于点，且,联结．AECBFD第25题（1）求证：是的中点；（2）如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论．答案：（1）证明：是的中点，即：是的中点；（2），四边形是平行四边形即平行四边形是矩形。DEABCFO26．（2022年上海市虹口区模拟）已知：如图，是矩形的对角线的垂直平分线，与对角线及边、分别交于点、、．DEABCFO（1）求证：四边形是菱形；（2）如果，求的值．答案：（1）证明：∵四边形是矩形，∴，∴．∵垂直平分，∴，∴≌∴∴四边形是平行四边形．又，∴四边形是菱形．（2）解：由（1）知：，又∵，∴，又，∴，由（1）知，四边形是菱形，∴,，∴,又,∴∴,即.27．（2022年上海市黄浦区二模）如图，在⊙O中，弦AB垂直于弦CD，垂足是E.求证：．答案：如图，在△ACE与△DBE中，∵AB⊥CD（已知），∴∠AEC＝∠DEB；又∵∠ACE＝∠DBE（同弧所对的圆周角相等），∴△ACE∽△DBE；∴.28．（2022年上海市黄浦区二模）如图，在直线梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8厘米，AD＝24厘米，BC＝26厘米，AB为⊙O的直径.动点P从点A开始沿AD边向点D以1厘米/秒的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3厘米/秒的速度运动.P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动.设运动时间为t秒.求：(1)t分别为何值时，四边形PQCD为平行四边形，等腰梯形？（第28题）(2)t分别为何值时，直线PQ与⊙O相切、相交、相离？（第28题）答案：(1)如图1，因为AD∥BC，则只要PD＝QC时，四边形PQCD为平行四边形，此时有24－t＝3t，解得t=6，（图1）即当t=6秒时，四边形PQCD为平行四边形；（图1）（图2）同理，只要PDQC，PQ＝DC时，四边形PQCD为等腰梯形，过P、D作BC的垂线交BC于E、F两点（如图2），（图2）由等腰三角形的性质可知，EF＝PD，QE＝FC＝2∴解得这时∴t=7秒时，四边形PQCD为等腰梯形；（2）设运动t秒时，直线PQ与⊙O相切于G,过P作PH⊥BC，垂足为H（如图3），则PH＝AB，BH＝AP，即PH＝8，QH＝26－3t－t=26－4t,由切线长定理PQ＝AP＋BQ＝t＋26－3t=26－2t，由勾股定理，得，即，化简整理得，解得，，（图3）即秒或秒时，直线PQ与⊙O相切.（图3）当秒时，PQ与⊙O相交当（秒）时，Q点运动到B点，P点沿未运动到D点，但也停止运动，此时PQ与⊙O相交∴当⊙或时，直线PQ与⊙O相切；当⊙或时，直线PQ与⊙O相交当⊙秒或秒时，直线PQ与⊙O相切⊙⊙OEDCBA29.（2022年上海市黄浦区模拟）如图，在中，点与分别是边、上的点，且∥，是与的交点.OEDCBA（1）求证：；（2）试问：与的位置关系如何？并加以论证.答案：解：（1）∵，∴，∴.∵，∴≌，∴.（2）答：.∵，∴∵，∴，∴∵，，∴≌，∴.∵，∴.30．（2022年上海市金山区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O是斜边AB上的中点，BF∥AC.(1)求证：△AOE≌△BOF；(2)求证：四边形BCEF是矩形.答案：证明：(1)∵BF∥AC∴∠A＝∠OBF∵AO＝BO，∠AOE＝∠BOF∴△AOE≌△BOF(2)∵△AOE≌△BOF∴AE＝BF∵AE＝CE∴CE＝BF又∵CE∥BF∴四边形BCEF是平行四边形又∵∠C＝90°∴四边形BCEF是矩形31．（2022年上海市静安区模拟）已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BC，AC平分∠DAB，点E为AC的中点．DABCE求证：DABCE答案：证法一：∵ABFDABCEFDABCOPE（第33题图）BACDEPFG（第34题图）FDABCEFDABCOPE（第33题图）BACDEPFG（第34题图）（2）（填空，使下列命题成立，不要求证明）如图3，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点.当时，四边形EFGH为矩形.当时，四边形EFGH为菱形.当时，四边形EFGH为正方形.第16题第16题答案：（1）答：当F为BC中点时，四边形GDEF为平行四边形证明：∵G、F分别是AC、BC中点，∴GF∥AB,且GF=AB同理可得，DE∥AB,且DE=AB∴GF∥DE,且GF=DE∴四边形GDEF是平行四边形(2)DB⊥AC，DB=AC;DB⊥AC，且DB=AC.36．（2022年上海市南汇区模拟）如图①，在锐角⊿ABC中，BC>AB>AC，D和E分别是BC和AB上的动点，联结AD，DE.(1)当D、E运动时，在图②中画出仅有一组三角形相似的图形；在图③中画出仅有两组三角形相似的图形；在图④中画出仅有三组三角形相似的图形.（要求在图中标出相等的角，并写出相似的三角形）(2)设BC=9，AB=8，AC=6，就图③求出DE的长.（直接应用相似结论）答案：解（1）图②中仅有⊿ABC∽⊿DAC；图③中仅有⊿ABC∽⊿DAC，⊿ABD∽⊿DBE；图④中仅有⊿ABD∽⊿ADE∽⊿DBE；作图正确且表述也正确各2分，作图正确，表述有错误扣1分.（2）在图③中，由⊿ABC∽⊿DAC，得∴BD=BC-CD=5.由⊿ABD∽⊿DBE，得DE=_37题_E_D_C_B__37题_E_D_C_B_A∠DAB=∠DBA，AC=18，△CDB的周长是28，求BC的长.答案：BC=10_38题_E_D_C_B_A38、（09安徽淮南模拟）如图，_38题_E_D_C_B_A【证明】略39．（本小题满分９分）图9（09年番禺区模拟）如图9，在ΔABC和ΔDCB中，AC与BD相交于点，AB=DC，AC=BD.图9(1)求证:ΔABC≌ΔDCB；(2)判断ΔOBC是否是等腰三角形，并说明理由．（1）证明：在和中，， 3分（SSS） 5分（2）是等腰三角形． 7分，, 8分,即ΔOBC是等腰三角形。 9分40．（本小题满分14分）（09年番禺区模拟）如图14，点O是线段AB的中点，分别以AO和OB为边在线段AB的同侧作等边三角形OAM和等边三角形OBN，连结AN、BM相交于点P．（1）证明;（2）求的大小；（3）如图15，若ΔOAM固定,将ΔOBN绕着点O旋转角度（ΔOBN形状和大小不变，），试探究大小是否发生变化，并对结论给予证明．图15图15图14（1）证明：连结,且OAM和OBN是等边三角形，，, 1分,且,四边形为平行四边形. 3分又,平行四边形为菱形,. 4分（2）四边形为菱形,平分, 5分又在等边OBN中,,即. 6分同理. 8分（3）在旋转过程中大小不发生变化,始终保持不变. 9分证明：①若ΔOBN绕着点O逆时针旋转或顺时针旋转时，如图15，在和中，,又,, 10分又,≌,. 11分. 12分②若ΔOBN绕着点O逆时针旋转或顺时针旋转时，点与或重合,此时仍有. 13分③若ΔOBN绕着点O逆时针旋转或顺时针旋转时，类似①可证. 14分41．（本小题满分12分）（09广州萝岗区一模）如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N.求证：（1）；（2）证明：（1）四边形和四边形都是正方形（2）由（1）得………………..9分∴……………12分∴………..12分42．（本小题满分14分）（09广州萝岗区一模）ABDCEO如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，ABDCEO（1）证明：；（2）若cm，cm，求OE的长．解（1）∵∥，∴．……2分∵⊙O内切于梯形，∴平分，有，………3分平分，有．………4分∴．………5分∴．………6分（2）∵在Rt△中，cm，cm，∴由勾股定理，得cm．………8分∵为切点，∴．有．…9分∴………………10分又为公共角，∴△∽△．………12分∴，∴cm． ………14分ADBOC第43题图43．(本题共10分)（ADBOC第43题图(1)试判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若D为⊙O上一点，∠ACD＝45°，AD＝，求扇形OAC的面积．答案：解：（1）相切（1分）理由（略）（4分）不交待“O是半径OA的外端”扣一分（2）S＝44．(本题共12分)（09南通市二模）如图1，在6×8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P、Q分别从点F、A出发向右移动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点E时，两个点都停止运动。(1)请在6×8的网格纸中画出运动时间t为2秒时的线段PQ；(2)如图2，动点P、Q在运动的过程中，PQ能否垂直于BF？请说明理由。(3)在动点P、Q运动的过程中，△PQB能否成为等腰三角形？若能，请求出相应的运动时间t；若不能，请说明理由．A（Q）A（Q）AQBBEEFF（P）P

答案：（1）略……2分（2）不能……3分若PQ⊥BF时,……5分,,所以不能……6分(3)①BP=PQ,或8(舍去)…8分②BQ=PQ,……10分③BP=BQ,无解……12分45．（09苏州模拟）如图，已知是等边三角形，、分别在边、上，且，连结并延长至点，使，连结、和.（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明.BCDEBCDEAF答案：（1）或或，证明（略）；（2）四边形是平行四边形，证明（略）．·ABPO46.（09苏州模拟）已知⊙割线交⊙于、两点，与⊙交于点，且，．·ABPO(1)求⊙的半径；(2)求的值．（结果可保留根号）答案：（1）；（2）47．（09苏州模拟）把一副三角板如图甲放置，其中，，，斜边，．把三角板绕点顺时针旋转得到（如图乙）．这时与相交于点，与相交于点．（甲）ACEDB（1）求的度数；（2）求线段的长；（3）若把三角形绕着点顺时针再旋转得，这时点在的内部、外部、还是边上？说明理由．（甲）ACEDBBB（乙）AE11CD11OF54123答案：解：（1）如图所示，54123∴．又，∴．（2），∴．，∴．又，，∴．，∴．又，∴．在中，．（3）点在内部．理由如下：设（或延长线）交于点P，则．在中，，，即，∴点在内部．（本大题满分分）48．（09苏州模拟）在中，，，是上的动点（不与，重合），过点作交于点．以为直径作⊙，并在⊙内作内接矩形．令．（1）用含的代数式表示的面积；（2）当为何值时，⊙与直线相切？ABCMND图2OABCMNP图1OABABCMND图2OABCMNP图1OABCMNP图3OABCMNP图1O答案：解：（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，ABCMNP图1O∴△AMN∽△ABC．∴，即．∴AN＝x．∴=．（0＜＜4）（2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO=OD=MN．ABCMND图2OABCMND图2OQ由（1）知△AMN∽△ABC．∴，即．∴，∴．过M点作MQ⊥BC于Q，则．在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，∴△BMQ∽△BCA．∴．∴，．∴x＝．∴当x＝时，⊙O与直线BC相切．（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点．ABCMNP图3O∵MN∥BC，∴∠AMN=∠ABCMNP图3O∴△AMO∽△ABP．∴．AM＝MB＝2．故以下分两种情况讨论：ABCMNP图4OEF=1\*GB3①当0＜ABCMNP图4OEF∴当＝2时，=2\*GB3②当2＜＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F．∵四边形AMPN是矩形，∴PN∥AM，PN＝AM＝x．又∵MN∥BC，∴四边形MBFN是平行四边形．∴FN＝BM＝4－x．∴．又△PEF∽△ACB．∴．∴．＝.当2＜＜4时，．∴当时，满足2＜＜4，．综上所述，当时，值最大，最大值是2．49．（09徐州市模拟）（8分）已知：如图，AB=AC，AE=AD，点D、E分别在AB、AC上．（第49题）求证：∠B=∠C（第49题）答案：证明略50．（09徐州市模拟）（8分）如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC交⊙O于点F．（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？（2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三角形并说明理由．（第50题）（第50题）答案：(1)略(2)△ABC属于锐角三角形51．（09徐州市模拟）（10分）已知四边形ABCD中，AD与BC不平行，E、F、G、H分别是线段AB、AC、CD、BD的中点．（1）证明：四边形EFGH是平行四边形；（2）图中不再添加其它的点和线，根据现有条件，在空格内分别添加一个你认为正确的条件，使下列命题成立：①当四边形ABCD满足条件时，四边形EFGH是菱形；(第51题)②当四边形ABCD满足条件时，四边形EFGH是矩形．(第51题)答案：证明：（1）∵E、F、G、H分别是线段AB、AC、CD、BD的中点，∴EH、FG分别是△ABD、△ACD的中位线，∴EH∥AD，FG∥AD，，，∴EH∥FG，，∴四边形EFGH是平行四边形．（2）；（3）．52．（09荔湾区一模）（本题满分12分）如图，在中，，BD是的平分线，AD=20，求BC的长.答案：.解:,.-----------------------------------2分.是的平分线,.-----------------------------------4分.AD=DB=20.---------------------------------------6分------------8分.,---------------------10分..--------------------------------------12分.53．（本题满分14分）（09荔湾区一模）ABCDERPHQ如图，在Rt△ABC中，∠A＝90º，AB＝6，AC＝8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设ABCDERPHQ（1）求点D到BC的距离DH的长；（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．ABCABCDERPHQABCDERPHQABCDERPHQ答案：解：（1），，，．点为中点，．，．，，．---------------2分（2），．，，，，即关于的函数关系式为：．---------------5分（3）存在，分三种情况：ABCDERPHQM2ABCDERPHQM21，，．，，ABCDEABCDERPHQABCDERPABCDERPHQ．---------------10分③当时，则为中垂线上的点，于是点为的中点，．，，．---------------13分综上所述，当为或6或时，为等腰三角形．---------------14分54．（本题满分14分）（09荔湾区一模）如图，四边形ABCD中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．（1）求证：AB·AF＝CB·CD；ABCDEFP·（2）已知AB＝15cm，BC＝9cm，P是射线DE上的动点．设DP＝xcm（），四边形ABCDEFP·①求y关于x的函数关系式；②当x为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时y的值．答案：证明：（1）∵，，∴DE垂直平分AC，∴,∠DFA＝∠DFC＝90°，∠DAF＝∠DCF．∵∠DAB＝∠DAF＋∠CAB＝90°，∠CAB＋∠B＝90°，∴∠DCF＝∠DAF＝∠B．2分在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC＝∠ACB＝90°，∠DCF＝∠B，∴△DCF∽△ABC．---------------3分∴，即．∴AB·AF＝CB·CD．---------------5分（2）解：①∵AB＝15，BC＝9，∠ACB＝90°，∴，∴．∴（）．---------------9分②∵BC＝9（定值），∴△PBC的周长最小，就是PB＋PC最小．由（1）知，点C关于直线DE的对称点是点A，∴PB+PC＝PB+PA，故只要求PB+PA最小．显然当P、A、B三点共线时PB+PA最小．此时DP＝DE，PB+PA＝AB．由（1），，，得△DAF∽△ABC．EF∥BC，得，EF=．∴AF∶BC＝AD∶AB，即6∶9＝AD∶15．∴AD＝10．Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6，∴DF＝8．∴．∴当时，△PBC的周长最小，此时．---------------14分55题图55.（09河北省模拟）（本题满分9分）如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC为对角线．将绕点A逆时针旋转60°得到，连结．55题图（1）求证：≌．求在旋转过程中线段CD扫过图形的面积．答案：解：（1）由旋转可知：，．在菱形ABCD中，∠BAD=60°∴∴．又∵∴≌．（2）连结BD交AC于点O，则BD⊥AC，．在Rt中，，，∴．∴∴．∵，∴CD扫过图形的面积为=12π．56.（本题满分10分）（09河北省模拟）把两个正方形纸片在相同的顶点A处钉上一个钉子，然后旋转小正方形AEFG.已知大正方形的边长为4，小正方形的边长为a（）．(以下答案可以用含a的代数式表示)（1）把小正方形AEFG绕A点旋转，让点F落在正方形ABCD的边AD上得图1，求的面积；（2）把小正方形AEFG绕A点按逆时针方向旋转45°得图2，求图中的面积；24题图24题图图1图2（3）把小正方形AEFG绕A点旋转任意角度，在旋转过程中，设的面积为，试求的取值范围，并说明理由．56题图156题图1答案：解：（1）＝－∵小正方形的边长为a,∴AF=56题图2∴＝－56题图2＝4×4×－×4×＝8－2（2）如图1，＝+－=×4×4+×(4+)－×(4+)＝8（3）如图2，作FH⊥BD于H点，连结AF.则56题图3＝×BD×FH56题图3因为小正方形AEFG绕A点旋转任意角度，所以点F离线段BD的距离是变化的，即FH的长度是变化的.由于BD得长度是定值，所以当FH取得最大值时最大，当FH取得最小值时最小.所以当点F离BD最远时，FH取得最大值,此时点F、A、H在同一条直线上（如图3所示）;当点F离BD最近时，FH取得最小值，此时点F、A、H也在同一条直线上（如图4所示）.56题图4在图3中，＝BD×FH=×4(2+a)＝8+4a56题图4在图4中,＝BD×FH=×4(2-a)＝8－4a∴的取值范围是：8－4a≤≤8+4a57.（本题满分12分）（09河北省模拟）如图，在矩形中，，，点是边上的动点（点不与点、点重合），过点作直线，交边于点，再把沿着动直线对折，点的对应点是点，设的长度为，与矩形重叠部分的面积为．（1）求的度数；（2）当取何值时，点落在矩形的边上？（3）求与之间的函数关系式；DDQCBPRA57题图BADC（备用图1）BADC（备用图2）答案：DQCBPRA57题图解：DQCBPRA57题图又，，，，．，．，．DQCBDQCBPRA26题图1，．由（1）知，，，．，，．在中，根据题意得：，解这个方程得：．（3）当点在矩形的内部或边上时，，×，当时，CQBPDR57题图2ACQBPDR57题图2AFE在中，，，又，，在中，，．，，当时，．综上所述，与之间的函数解析式是：58、（09蚌埠二中自主招生试题）（12分）如图所示等腰梯形中，∥，,对角线与交于,,点分别是的中点。求证：△是等边三角形。答案：证明：连CS。∵ABCD是等腰梯形，且AC与BD相交于O，∴AO=BO,CO=DO.∵∠ACD=60°，∴△OCD与△OAB均为等边三角形.∵S是OD的中点，∴CS⊥DO.在Rt△BSC中，Q为BC中点，SQ是斜边BC的中线，∴SQ=BC.同理BP⊥AC.在Rt△BPC中，PQ=BC.又SP是△OAD的中位线，∴SP=AD=BC.∴SP=PQ=SQ.故△SPQ为等边三角形.59、（安徽寿县2022毕业质量检测）已知，如图AB是⊙O的直径，∠BAC＝45°，AB＝BC.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)设阴影部分的面积分别为x、y,⊙O的面积为S,请直接写出S与x、y的关系式．（关系式不唯一，写出一种即可）答案：60.（本小题满分9分）（09从化市二模）如图5，△ABC中，AB＝AC，D是CA延长线上的一点，且∠B＝∠DAM。求证：AM∥BC．图5答案：证明:∵AB＝AC………1分∴∠B＝∠C………3分∵∠B＝∠DAM………4分∴∠C＝∠DAM………6分∴AM∥BC………9分61.(本题满分10分)（09从化市二模）如图6，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．画出将向下平移4个单位后得到的.ABC画出将绕点顺时针旋转后得到的.ABC求点旋转到所经过的路线长.ABC答案：（1）画出…………3ABC（2）画出…………6分(3)连结＝＝.…………8分点旋转到所经过的路线长为=………10分62.（本小题满分12分）（09从化市二模）.答案：解：(1)∵AB是⊙O的直径∴…………2分∵PA是⊙O的切线∴…………4分∵BC∥OP∴则△ABC∽△POA………………6分(2)∵AB是⊙O的直径，且∴OA∵在中，∴……………9分∵由(1)可知△ABC∽△POA∴……………10分则……11分∴求得…………12分H63.（本小题满分12分）（09广州花都区毕业综合测试）如图，的半径为2，、是的切线，，为切点，．H求的度数；求的面积．答案：解：（1）∵∠OAB＝30°∴∠AOB＝180°－2×30°＝120°……2分又∵、是的切线∴∠OAP＝∠OBP＝90°……4分∴∠P＝360°-90°-90°-120°＝60°……5分（2）过点O作OH⊥AB于H，可知AH＝BH……6分∵∠OAB＝30°，OA＝2∴OH＝1，AH＝……9分∴AB＝……10分∴……12分64.（本小题满分14分）（09广州花都区毕业综合测试）如图，⊙O的直径EF=cm，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=cm．E、F、A、B四点共线。Rt△ABC以1cm/s的速度沿EF所在直线由右向左匀速运动，设运动时间为t(s)，当t=0s时，点B与点F重合。当t为何值时，Rt△ABC的直角边与⊙O相切？当Rt△ABC的直角边与⊙O相切时，请求出重叠部分的面积（精确到）。答案：解：（1）∵∠BAC=30°，AB=图1∴BC＝图1又∵⊙O的直径EF=，即半径为∠ACB=90°∴当点B运动到圆心O时，AC边与⊙O相切（如图1所示）……1分此时运动距离为FO＝图2∴t＝s……2分图2当BC边与⊙O相切时(如图2所示)，设切点为G连结OG，则OG⊥BC……3分由已知，∠BOG=∠BAC=30°，OG＝∴……4分又FO＝∴BF＝（此步亦可利用相似求解，请参照给分）∴此时s……5分由上所述，当秒时，Rt△ABC的直角边与⊙O相切…6分（2）由图1，此时⊙O与Rt△ABC的重叠部分为扇形COF……7分由已知，∠COF=60°，∴……8分由图2，设AC与⊙O交于点M，此时⊙O与Rt△ABC的重叠部分为扇形OMGE加上△OAM……9分过点M作MN⊥OG于N，则MN＝GC由（1）可知BG＝1则MN＝GC＝……10分∴∴∠MON=25°，即∠MOE=55°……11分∴……12分又∵OM＝，∴点M到AB的距离……13分∴此时⊙O与Rt△ABC的重叠部分的面积为…14分65．（本小题满分9分） （广州天河区09一模）第65题如图，已知，AC和BD相交于点O，E是AD的中点,连结OE．第65题（1）求证：△AOB≌△DOC；（2）求的度数．答案：解：（1）证明：在△AOB和△COD中∵∴△A