数值分析思考题典型例题

数值分析思考题11、讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。2、相对误差在什么情况下可以用下式代替？***ex-x

=—=——xx3、查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。4、取血。1.41,计算（夜-17，不用计算而直接判断下列式子中哪种计算效果最好？为什么？,(5)99-7072.应用梯形公式b—a计算积分，=£「公的近似值，在整个计算过程中按四舍五入规则取五位小数。计算中产生的误差的主要原因是截断误差还是舍入误差？为什么？,(5)99-7072.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出他们有几位有效数字，并给出其绝对误差限与相对误差限。（1）%*=1.1021；（2）%2*=°・°31.（3）七*=560.40。.下列公式如何计算才比较准确？⑴如1,<<1；⑵J'，，N>>1；（3）Jx+--Jx--,|x|»1o2Jn/+]NXNx.序列｛y“｝满足递推关系”=10几_]T,n=l,2,,若为=75。1.41,计算到加时误差有多大？这个计算过程数值稳定吗？数值分析思考题71、判断如下命题是否正确：(a)对应于给定特征值的特征向量是唯一的；(b)每个〃阶的方阵一定有〃个线性无关的特征向量；(c)实矩阵的特征值一定是实的；(d)一个〃阶方阵奇异的充分必要条件是：0是该矩阵的特征值；(e)任意的〃阶的方阵，一定与某个对角矩阵相似；(f)如果两个〃阶方阵的特征值相同，这两个矩阵一定相似；(g)一个〃阶方阵的所有特征值都为3这个矩阵一定是零矩阵；2、下面各类的任意〃阶矩阵，哪些矩阵的特征值一定可以用有限的代数运算精确求解？(a)实对称矩阵；(d)上三角矩阵；(b)对角矩阵；(e)上Hessenberg矩阵；(c)三对角矩阵；⑴没有重特征值的实矩阵。3、对非奇异的矩阵，将下面各算法的复杂度由低到高排列出来：(a)计算矩阵的所有特征值和特征向量；(b)用列主元Gauss消去法计算矩阵的LU分解；(c)计算矩阵的逆；(d)回带求解系数矩阵为上三角的线性方程组。4、求解特征值问题的条件数与求解线性方程组问题的条件数是否相同，两者分别是什么？实对称矩阵的特征值问题总是良态的吗？数值分析思考题81、一个算法局部误差和整体误差的区别是什么？如何定义常微分方程数值方法的阶？2、显式方法和隐式方法的优缺点分别是什么？多步法中为什么还要使用单步法？3、刚性问题的求解困难主要体现在哪儿？计算刚性问题的最简单的稳定方法是什么？4、分别用欧拉向前法、欧拉向后法、改进的欧拉法、经典的四阶dy_(1)dy_(1)\dxdy_(1)\dxdy_(1)\dxRunge-Kuttady_(1)\dx=x3--,1<x<2

%y(l)=0.4②满足常。数值分析思考题21、怎样确定一个隔根区间？如何求解一个方程的全部实根？如：已知方程：/(x)=e*+10x-2=0在(-co,+Q0)有实数根，用二分法求它的全部实根，要求误差满足氏7*|<10-2?若要求人7*|<10q需二分区间多少次？2、求解一个非线性方程的迭代法有哪些充分条件可以保障迭代序列收敛于方程的根？对方程/(*)=一一％2一1=0,试构造两种不同的迭代法，且均收敛于方程在［1,2］中的唯一根。3、设〃>0,应用牛顿法于方程/一〃=(),导出求立方根四的计算公式，并确定常数"应和r使得迭代法“A+i=P"a+冬~"I~'A=0,1,2,X局部收敛于如，并使收敛阶尽量高。最高是几阶的方法?4、对于不动点方程x=0(x),°(x)满足映内性和压缩性是存在不动点的充分条件，他们也是必要条件吗？试证明：(1)函数夕(x)=2x-l在闭区间［0,2］上不是映内的，但在其上有不动点；(2)函数0(%)=111(1+1)在任何区间［6可上都是压缩的，但没有不动点。5、设d是方程f(x)=0的根，且八丁)。0,广(%)在是的某个邻域上连续。试证明：Newton迭代序列｛%｝满足6.6.设有方程工6.设有6.设有方程工6.设有方程工6.设有方程工=1+—sinxo对于迭代法=9(4)=1+，§加(乙)，试证：对任何〃N1.5,迭代函数夕(X)在闭区间［0.5,b］上满足映内性和压缩性。用所给方法求方程的根x*,使其有6.设有方程工数值分析思考题3Gauss消去法和LU三角分解法解线性方程组的工作量相同吗？工作量为多少？平方根方法的工作量为多少？2、求解一个线性方程的LU分解法什么条件下可以保障成功？选主元的目的是什么？列主元和全主元Gauss消去法求解线性方程组各有什么优点？3、仅当系数矩阵是病态或者奇异的时候，不选主元的Gauss消去法才会失败吗？系数矩阵是对称正定的线性方程组总是良态的吗？一个奇异的矩阵必没有LU分解吗？一个非奇异对称的矩阵不是正定就没有Choiesky分解吗？4、奇异矩阵的范数一定为零吗？范数为零的矩阵一定为零矩阵吗？矩阵1-范数和2-范数，通常哪个更容易计算？为什么？构造一个条件数为1的非单位矩阵的方阵。5、若Ae/T"是列严格对角占优的(对每一列j：1<j<nf满足：到册〈旬)，证明A有三角分解A=£U,且，.<1,(z>j)o/=!6、设%=，七』7R"，Pj>b,j=12证明\xI=YPj\xjj=i是R"上的一种向量范数。7、证明矩阵范数的性质：||4<||<^||4,||4<>ffiLo若a对称时，||a||f=(a12+^++儿>,其中4,，=12「〃为4的特征值。8、已知线性方程组2.00021.99981.99982.0002々(1)求系数矩阵的逆*和条件数&次/(A)；(2)若方程组右端有微小扰动劭=(2x10-4,—2x107)7,不用求解方程组，试利用解与系数扰动之间的关系式来估计解的相对变化率。.用三角分解法求解方程组24241024102410114—2410114—1.用列主元消去法求解方程组122一3々+39=15—18%]+3%2—=-15X1+工2+=611.用Choiesky分解法求解方程组164164816481648164845-4-4=310数值分析思考题41、对给定的连续函数，构造等距节点上的Lagrange插值多项式，节点数目越多,得到的插值多项式越接近被逼近的函数？同样的结论对三次样条插值函数成立吗？样条插值函数具有较好的稳定性吗？2、数据量特别大时，你选择哪种方法？（1）Lagrange插值多项式,（2）三次Hermite插值函数，（3）三次样条插值函数，（4）最小二乘拟合。3、何为高次插值的Runge现象，应如何避免？4、分段低次插值有何优缺点？如何估计误差？5、已知函数/（%）的下列观测值：巧0.100.150.250.30/（X,）0.9048370.8607080.7788010.740818利用Lagrange或Newton插值方法计算,（0・175）的近似值。若另外测得一个新点：/（。・2）«0.82,试估计用上述方法计算/（0.175）的近似值的误差。6、证明关于互异节点｛巧｝二的Lagrange插值基函数｛4（%）｝二满足三1；1=0三N,j=l,2,••,〃；1=0n⑶叫j=l,2,…1=0⑷力4（。）q=＜。，J='"1=0'［（一1）"%0/…%，，=〃+1・7、插值与拟合的相同点和不同点分别是什么？8、写出n次多项式拟合的一般形式，奇函数和偶函数的多项式拟合的一般形式。9、超定（矛盾）线性方程组的最小二乘解有哪些情况？说明它与广义逆的关系。数值分析思考题51、简述一般插值型求积公式的积分原理。Newton-Cotes求积公式为什么没有Gauss型求积公式代数精度高？2、梯形法与两个节点的Gauss型方法哪个更精确？证明Simpson方法的代数精度为303、确定下列数值积分公式中的参数，使它有尽可能高的代数精度。(D『J(x)公«A_1/(-/z)+4/(0)+A,/(/z)；J-h(2)£f(x)dx«+w2/(2)+w3f'(1)+wj'(2)o4、将［1,2］四等分，使用复化的两点Gauss-Legendre公式计算的数值积分，误差不超过10-8。5、建立Gauss型求积公式计算4/(%)+4/(々)。数值分析思考题61、数值计算中迭代法与直接法的区别是什么？2、详述你所知道的线性方程组的迭代法的收敛性定理。3、详述你所知道的非线性方程