大学微积分复习题

本文格式为Word版，下载可任意编辑——大学微积分复习题0201《微积分（上）》2023年06月期末考试指导

一、考试说明

考试题型包括：

选择题（10道题，每题2分或者3分）。填空题（5-10道题，每题2分或者3分）。计算题（一般5-7道题，共40分或者50分）。证明题（2道题，平均每题10分）。考试时间：90分钟。

二、课程章节要点

第一章、函数、极限、连续、实数的连续性(一)函数1．考试内容

集合的定义，集合的性质以及运算，函数的定义，函数的表示法，分段函数，反函数，复合函数，隐函数，函数的性质(有界性、奇偶性、周期性、单调性)，基本初等函数，初等函数。

2．考试要求

(1)理解集合的概念。把握集合运算的规则。

(2)理解函数的概念。把握函数的表示法，会求函数的定义域。(3)了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。(4)了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。(5)把握基本初等函数的性质和图像，了解初等函数的概念。(二)极限1．考试内容

数列极限的定义与性质，函数极限的定义及性质，函数的左极限与右极限，无穷小与无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则(单调有界准则和夹逼准则)，两个重要极限。2．考试要求

(1)理解数列及函数极限的概念

(2)会求数列极限。会求函数的极限(含左极限、右极限)。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。

(3)了解极限的有关性质(惟一性，有界性)。把握极限的四则运算法则。

(4)理解无穷小和无穷大的概念。把握无穷小的性质、无穷小和无穷大的关系。了解高阶、同阶、等价无穷小的概念。

(5)把握用两个重要极限求极限的方法。(三)连续1．考试内容

函数连续的概念，左连续与右连续，函数的休止点，连续函数的四则运算法则，复合函数的连续性，反函数的连续性，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理，零点定理)。2．考试要求

(1)理解函数连续性的概念(含左连续、右连续)。会求函数的休止点。

(2)把握连续函数的四则运算法则。

(3)了解复合函数、反函数和初等函数的连续性。

(4)了解闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理，零点定理)。其次章、一元函数微分学(一)导数与微分1．考试内容

导数与微分的定义，左导数与右导数，导数的几何意义，函数的可导性、可微性与连续性的关系，导数与微分的四则运算，导数与微分的基本公式，复合函数的求导法，隐函数的求导法，高阶导数。2．考试要求

(1)理解导数的概念及其几何意义。了解左导数与右导数的概念。(2)了解函数可导性、可微性与连续性的关系。(3)会求平面曲线上一点处的切线方程和法线方程。

(4)熟练把握导数的基本公式、四则运算法则及复合函数的求导方法。(5)会求隐函数的一阶导数。

(6)了解高阶导数的概念。会求函数的二阶导数。(7)了解微分的概念。会求函数的微分。(二)微分中值定理及导数的应用1．考试内容

微分中值定理(罗尔定理、拉格朗日中值定理)，洛必达法则，函数单调性的判别，函数的极值，函数的最大、最小值，函数图形的凹凸性与拐点。2．考试要求

(1)了解罗尔定理、拉格朗日中值定理。

(2)熟练把握用洛必达法则求未定式极限的方法。(3)把握利用导数判断函数单调性的方法。

(4)理解函数极值的概念。把握求函数的极值与最大、最小值的方法，并会求解简单的应用问题。

(5)会判断平面曲线的凹凸性。会求平面曲线的拐点。第三章、一元函数积分学(一)不定积分1．考试内容

原函数与不定积分的概念，不定积分的基本性质，不定积分的基本公式，不定积分的换元积分法与分部积分法。2．考试要求

(1)理解原函数与不定积分的概念。把握不定积分的基本性质。(2)熟练把握不定积分的基本公式。

(3)熟练把握不定积分的第一类换元法，把握不定积分的其次类换元法(仅限于三角代换与简单的根式代换)。

(4)熟练把握不定积分的分部积分法。(二)定积分1．考试内容

定积分的概念与基本性质，定积分的几何意义，变上限积分定义的函数及其导数，牛顿-莱布尼茨公式，定积分的换元法与分部积分法，定积分的应用(平面图形的面积、旋转体的体积)。

2．考试要求

(1)理解定积分的概念。了解定积分的几何意义。把握定积分的基本性质。(2)理解变上限积分作为其上限的函数的含义，会求这类函数的导数。(3)把握牛顿-莱布尼茨公式。

(4)熟练把握定积分的换元法与分部积分法。

(5)会应用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积。(三)广义积分1．考试内容

广义积分的概念与基本性质，广义积分的计算，广义积分的应用。2．考试要求

(1)理解广义积分的概念。

(2)了解广义积分的实际背景和意义。(3)把握广义积分的基本性质。(4)熟练把握广义积分的计算。

三、练习题

一、单项选择题1.函数y?x?1lnx?16?x2的定义域是（）A、?0,1?

B、?0,1??1,4?C、?0,4?2.当x?1时，以下变量中不是无穷小量的是（）A、x2?1

B、x?x?2??1

C、3x2?2x?1

3.f?x??x?2在x?2的导数为（）A、1

B、0C、?1x4.极限lim?2?x?x????x??=（）1A、e2

B、2

C、e25.设函数f?x?在x?2可导，且f'?2??2，则limf?2?h??f?2?h?02h=（A、12

B、1C、2

?x6.设f?x???,x?0?11?ex，则f?x?在x?0处（）

??0,x?0A、左导数不存在B、右导数不存在

C、f'?0??0

D、?0,1??1,4?D、4x2?2x?1D、不存在

D、1

D、4

D、不可导

）7.设f'?lnx??A、lnx?C

1?x?0?，则f?x?=（）xB、ex?CC、?e?x?CD、e?x?C

8.以下关系正确的是（）A、d?f?x?dx?f?x?C、

?

B、?f'?x?dx?f?x?D、

df?x?dx?f?x??Cdx?df?x?dx?f?x?dx?sinx?cosxsinx?cosxdx=（）

9.

?203A、0

3B、?

23C、

2D、3

10.以下广义积分发散的是（）A、???dxxx1B、?dx0x21C、?1dx1?x0

D、?0e?xdx

??二、填空题1.2.

?1021?xdx?__________.

?1dxxx02?13?_____________.

?3.limx?0?1?t3?1?t3dt??x3?_____________.

0sintdt31???1?2x?kx,x?04.设f?x???在x?0连续，则k?__________.

?x≤0?e,15.函数f?x??x??2在?1,2?上满足拉格朗日中值定理的??_______________.

x6.y?x3?27x?2在?1,2?上的最大值为_____________.7.

?1?dxx?__________.

8.设f?x?在x0点有：f'?x0??0,f''?x0??0，则f?x0?是f?x?的___________值.9.设y?y?x?是由方程arctany?lnx2?y2确定的隐函数，则y'?________________.x?10.limx?0x0sin?t2?dtx3?_________________.

三、计算题

ksin2x?x2sin1x?1，求k.

1.设limx?0x2.求lim??n???12?n?1?1n2?2?…????.2n?n?13.设函数y?xsinx，求y'.4.求函数f?x???1?tdt的极值，并说明是极大值还是微小值.01?t2x?ln?1?ax?x?0?sin2x??x?0在x?0处连续，求a，b.5.设f?x???1?bx?e?1x?0??x6、求由曲线xy?1及直线y?x,y?2所围图形面积.

?7、计算?2?cosx?cos3xdx.

?28、设y?f?sinx2?，求dy.四、证明题

e1.证明：当x?1时，e?.

xx22、证明：当x?0时，证明x??ln?1?x??x.

21x3、证明：?xf?sinx?dx?0??2?0?f?sinx?dx.

四、习题解答提醒

一、单项选择题DDDCBDCCAB二、填空题1.

1ln22.6

13.

3

4.?25.26.?24

7.2?x?ln1?x??C

????8.极大9.y'?110.

3x?yx?y三、计算题11.k?.

22.1.

3.提醒：lny?sinxlnx，?y'sinxsinx??cosxlnx?，?y'?xsinx?cosxlnx??.yxx??1?xx2?2x?11?14.提醒：f'?x???0?x?1,f''x??0,?f''1???0,?f1??ln2??????222421?x2?1?x?极大值.

?ln?1?ax?x?0?sin2x??x?0在x?0处连续.根据连续定义解题：5、提醒：由于f?x???1?bx?e?1x?0??x

f?0?0??limf?x??lim?x?0x?0ln?1?ax?sin2x?limaaxa?，利用连续性，?1?a?2.x?02x22ebx?1bebxf?0?0??limf?x??lim?lim?b，利用连续性b?1.

x?0x?01x?0?x2?1?36、提醒：S??1?y??dy??ln2.

y?2????7、提醒：?2??2cosx?cosxdx??32??2cosxsinxdx??2?20?cosx?124dcosx?.

38、提醒：利用微分定义得dy?f'?sinx2?cosx2?2xdx.

四、证明题

e?1?ee?e1.提醒：令??x??e?，则?'?x??e??2??2?2?0，?x?1?，???x?当x?1时

xx?x?xe严格单增，但??1??0，所以当x?1时??x??0，亦即e?.

xx2x22、提醒：令f?x??ln?1?x??x?,f'?x??（当x?0时），

21?x1x1x1x12

所以f?x?在x?0时严格单调增，但f?0??0，所以f?x??0