数集确界原理

数集确界原理第1页，共23页，2023年，2月20日，星期五§1.2数集·确界原理一、区间与邻域

二、上确界、下确界第2页，共23页，2023年，2月20日，星期五一、区间与邻域1.集合:具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.有限集无限集第3页，共23页，2023年，2月20日，星期五数集分类:N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集数集间的关系:例如不含任何元素的集合称为空集.例如,规定空集为任何集合的子集.第4页，共23页，2023年，2月20日，星期五2.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.称为开区间,称为闭区间,第5页，共23页，2023年，2月20日，星期五称为半开区间,称为半开区间,有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.第6页，共23页，2023年，2月20日，星期五3.邻域:第7页，共23页，2023年，2月20日，星期五二有界集·确界原理1有（无）界数集:定义(上、下有界,有界)数集S有上界数集S无上界数集S有下界数集S无下界数集S有界数集S无界第8页，共23页，2023年，2月20日，星期五例1证明集合

是无界数集.证明：由无界集定义，E为无界集.第9页，共23页，2023年，2月20日，星期五2确界:直观定义:若数集S有上界，则它有无穷多个上界，其中最小的一个上界称为数集S的上确界，同样，有下界数集S最大的一个下界称为数集S的下确界，MM2M1上确界上界m2mm1下确界下界第10页，共23页，2023年，2月20日，星期五确界的精确定义

第11页，共23页，2023年，2月20日，星期五

证必要性，用反证法.第12页，共23页，2023年，2月20日，星期五第13页，共23页，2023年，2月20日，星期五第14页，共23页，2023年，2月20日，星期五例3设数集S有上确界.证明第15页，共23页，2023年，2月20日，星期五例4设A,B为非空数集,满足:证明数集A有上确界,数集B有下确界,且证:

故有确界原理知,数集A有上确界,数集B有下确界.

是数集A的一个上界,而由上确界的定义知由假设,数集B中任一数

都是数集A的上界,A中任一数

都是B的下界,

是数集A的最小上界,故有

而此式又表明数

是数集B的一个下界,

故由下确界的定义证得

第16页，共23页，2023年，2月20日，星期五例5

为非空数集,

试证明:

证

有或

由和分别是的下界,有或即

是数集的下界,

.和.第17页，共23页，2023年，2月20日，星期五

3.数集与确界的关系:确界不一定属于原集合.以例1⑵为例做解释.

4.确界与最值的关系:

设E为数集.

⑴E的最值必属于E,但确界未必,确界是一种临界点.

⑵

非空有界数集必有确界(见下面的确界原理),但未必有最值.

⑶

若存在,必有对下确界有类似的结论.第18页，共23页，2023年，2月20日，星期五

5确界原理

定理1(确界原理).设E为非空数集，若E有上界，则E必有上确界；若E有下界，则E必有下确界。第19页，共23页，2023年，2月20日，星期五非空，有上界：，(1).若中有最大数，则即为上确界；中无最大数，用下述方法产生实数的一个分划；，其余的实数归入下类，则是实数的一个分划。证明设.(2).若的一切上界归入上类

。其次，由于不是的最大数，所以它不是的上界，即。这说明中任一元素都属于下类；A,B不空.首先取第20页，共23页，2023年，2月20日，星期五A、B不漏性由A、B定义即可看出；

A、B不乱.设，因a不是E的上界，，使得，而E内每一元素属于A，所以

.

由的证明可见无最大数.

所以是实数的一个分划.由戴德金定理，知上类B必有最小数，记作c.﹐由知，即得.这表明c是的一个上界.

若b是E的一个上界，则

，由此得

，所以c是上界中最小的，由上确界定义，为集合的上确界，记作

。

第21页，共23页，2023年，2月20日，星期五下证:非空的有下界的集合必有下确界。事实上，设集合

有下界b，

则非空集合有上界-b，

利用集合

上确界的存在性，

即可得出集合E的下确界存在。定理1解决了非空有上(下)界集合的上(下)确界存在性问题，我们可以利用上确界的存在性，得出我们所研究的某一类量（如弧长）的存在性。若全序集中任一非空有上界的集合必有上确界，我们称该全序集是完备的。定理1刻划了实数集是完备的。