数学分析第十九章课件含参变量的积分

数学分析第十九章课件含参变量的积分第1页，共52页，2023年，2月20日，星期五设函数f（x,y）在[a,b][c,d]有意义，对[a,b]上任一f(x0，y)在[c,d]上可积，则这个数当然与就确定一个数，有关。当在[a,b]变动时，这样的积分就确定一个函数。称积分为含参变量的积分，参变量为x下面讨论由积分所确定的函数的连续性，可微性，可积性。（相当于“函数项级数的和函数的三个性质）导言第2页，共52页，2023年，2月20日，星期五§1含参变量的正常积分第3页，共52页，2023年，2月20日，星期五

在

上连续，则在[a,b]连续证明：，有由于f(x,y)

在连续，因而一致连续，故对任给的存在，对任意的，只要就有定理19.1

若

对任意第4页，共52页，2023年，2月20日，星期五因此只要，就有，对都成立，因而这就证明了I(x)在x

点连续，由的任意性，知，I(x)在[a,b]连续。定理19.1证完。等价于：而交换次序。第5页，共52页，2023年，2月20日，星期五（积分下求导数）设和在上连续，则在有连续的导函数，且即定理19.2证明P262第6页，共52页，2023年，2月20日，星期五例1.

求：其中解：对任意存在b

使得，于是都在连续，由定理19.2得当时第7页，共52页，2023年，2月20日，星期五令则因此第8页，共52页，2023年，2月20日，星期五积分得又由及的连续性，得：因此第9页，共52页，2023年，2月20日，星期五1）函数的范围满足Th19.2的条件3）积分求出，确立常数2）求出最后求得：方法步骤：第10页，共52页，2023年，2月20日，星期五例2.

计算定积分这个积分并不带参变量，但如果直接求,积不出来，

我们将通过积分求导数，再求出I=I(1)，记为此，引入参变量，考虑含参变量积分解：

第11页，共52页，2023年，2月20日，星期五

则它们都在

上连续，根据定理19.2，有第12页，共52页，2023年，2月20日，星期五

注意到I(0)=0，故从而第13页，共52页，2023年，2月20日，星期五1）引入参变量，考察含参变量积分

验证在[0,1]×[0,1]3）求2）求出上满足Th19.2。方法步骤：第14页，共52页，2023年，2月20日，星期五相应于定积分中的积分上限函数：（复习定义和结论）考虑函数有下面定理：第15页，共52页，2023年，2月20日，星期五定理19.3

设函数f(x,y)在矩形区域上连续，则（1）在

连续；

在连续，则

在有连续偏导数。（2）若对各变元第16页，共52页，2023年，2月20日，星期五证明：（1）对任意

，，则由于f(x,y)在

连续，因而有界，使且一致连续，知存在第17页，共52页，2023年，2月20日，星期五且对任意给的，存在，对任意的

，

，只要

，和就有取

，则当

时，有，第18页，共52页，2023年，2月20日，星期五即在

点连续，由

的任意性，便证得在连续。又由定理19.2，I对x也有连续的偏导数这就是所要证明的，定理19.3证完（2）由微积分基本定理，I对u有连续的偏导数第19页，共52页，2023年，2月20日，星期五定理19.4：设函数f(x,y)

在c(x)，d(x)都在[a,b]上连续，并且有

上连续，当则在[a,b]连续。定理19.4第20页，共52页，2023年，2月20日，星期五证明:令u=d(x),v=c(x),

根据定理19.3在

连续。由复合函数的连续性知在[a,b]连续。定理19.4证完。第21页，共52页，2023年，2月20日，星期五定理19.5设函数f(x,y)，

都在上连续，又和

在[a,b]存在，且当

时，有,，则在[a,b]可导，且证明:令定理19.5第22页，共52页，2023年，2月20日，星期五则

，由定理19.3，H对各变

时，,故由复合函数求导数的链式法则，在[a,b]可导，且元有连续的偏导数,

又

在[a,b]

可导，且当第23页，共52页，2023年，2月20日，星期五例3.设，求解:这个积分积不出来，但由定理19.5有第24页，共52页，2023年，2月20日，星期五例4.设f(x)

在x=0的某邻域内连续，则微分方程附近可表成其中n是任意正整数。的解在x=0

证明:利用定理19.5，则第25页，共52页，2023年，2月20日，星期五一般地有

的可积性（积分问题）

在[a,b]

可积.通常记最后讨论从而显然记号：若称为先对y后对x的累次积分第26页，共52页，2023年，2月20日，星期五（积分交换次序）

在[a,b]可积，且即设f(x,y)在[a,b]

[c,d]连续，则

定理19.6第27页，共52页，2023年，2月20日，星期五证明：先证明：2.确定中的常数c=0

（取u=a）

中令u=b

得证.令3.在例5.求其中第28页，共52页，2023年，2月20日，星期五解：，令在连续，则积分交换次序，在例1中已求出故，用变量代换，第29页，共52页，2023年，2月20日，星期五§2

含参变量的广义积分1.一致收敛广义积分有两种情形，一种是无穷限积分，另一种为瑕积分.

回忆函数项级数的情形，在和函数分析性质的研究中，一致收敛的概念起了关键作用.通过一致收敛，把无穷和的性质化为有限和的研究.在含参变量广义积分的讨论中，我们也引入一致收敛的概念.本章主要讨论无穷限的情形，但是所有的结果都可以平行地推广到瑕积分的情形.一致收敛的概念起了关键作用.他们都是含参变量正常积分的极限，这与函数项级数十分类似.第30页，共52页，2023年，2月20日，星期五设f(x,y)定义在[a,b]×[c,]，且对任意xI(x)=收敛。若对任意的都成立，则称含参变量的广义积分在[a,b]一致收敛.[a,b],无穷积分或，存在，当时，有定义19.1对x[a,b]第31页，共52页，2023年，2月20日，星期五例1.证明：含参变量的广义积分一致收敛.其中a>0；,而,所以对任给的,存在,当A>时有,从而当时，对任意的有这就证明了（1）在不一致收敛.证明:(1)因为（2）在在一致收敛。第32页，共52页，2023年，2月20日，星期五含参变量的广义积分在[a,b]一致收敛的充要条件是对任给的，存在正数，当时，对任意的[a,b]

，有定理19.7(一致收敛的柯西准则)一致收敛判别法：第33页，共52页，2023年，2月20日，星期五定理19.8（魏尔斯特拉斯判别法，或M判别法，或控制收敛判别法）与常数B>c，使得当与[a,b]时，有而广义积分是收敛的，则在[a,b]一致收敛。设存在函数第34页，共52页，2023年，2月20日，星期五设（1）含参变量的正常积分在与[a,b]有界，即存在M>0，(2)对每个固定的[a,b]，函数g(x,y)关于y是单调的，时，g(x,y)在[a,b

]一致地趋向于0。则在[a,b]一致收敛。对任意的A>c及任意[a,b]有且当含参变量广义积分定理19.9（狄利克雷判别法）第35页，共52页，2023年，2月20日，星期五设（1）在[a,b]一致收敛；[a,b]，函数g(x,y)关于y单调，[a,b],则含参变量广义积分

在[a,b]一致收敛。（2）对每一个固定的且g(x,y

)在有界。定理19.10（阿贝尔判别法）第36页，共52页，2023年，2月20日，星期五例2.

证明在一致收敛对与成立，而广义积分收敛，因此在一致收敛。证明:用魏尔斯特拉斯判别法由于例3.证明在一致收敛.第37页，共52页，2023年，2月20日，星期五在若含参变量广义积分在[a,b]上一致收敛，设则I(x)在[a,b]连续。2

含参变量广义积分的分析性质定理19.11（积分号下取极限）上连续，第38页，共52页，2023年，2月20日，星期五设在在[a,b]上一致收敛，则即

定理19.12（积分交换次序）上连续。若含参变量广义积分第39页，共52页，2023年，2月20日，星期五设和都在上连续，在[a,b]上收敛，在[a,b]上一致收敛，

在[a,b]可导，且

即交换x,y结论依然成立则定理19.13（积分号下求导）若第40页，共52页，2023年，2月20日，星期五例4.求狄利克雷积分例6.

计算积分解：令，则例5.

计算积分解：利用例4.解：注意到第41页，共52页，2023年，2月20日，星期五定理19.14(迪尼)设f(x,y)在连续，非负.若在收敛，且作为y

的函数在连续，则在是一致收敛的.第42页，共52页，2023年，2月20日，星期五定理19.15设在连续且非负都收敛，且分别在和连续，，，中有一个存在，则另一个也存在，且两者相等.若第43页，共52页，2023年，2月20日，星期五例7.计算概率积分第44页，共52页，2023年，2月20日，星期五

含参变量广义积分

它的定义域就是积分的收敛域：易知（二）性质在其定义域内连续且（一）定义：1.它为无穷限广义积分2.当时又是瑕积分有任意阶连续导数：§3欧拉积分1.Γ函数：函数第45页，共52页，2023年，2月20日，星期五(三)