2009年全国入学统一考试数学二真题及答案

1 0

1

12（22（Ⅰ）

k10，其中k

k10 ，其中k 1

2

0 0 （23（Ⅰ）x函数fx f(xx0x0

f(x00f(x00均存在f(x00f(x00f(x0f(xxx0处无定义f(x00f(x0

f(x00f(x00中至少有一个不存在f(x00f(x00中至少有一个为

x，由定义可知函数fx 在每个区间(n,n1)内连续

x

lim(1

1) ，1

x

12，2x0sinx

x0sinx1

x1sinx

x1cos

，

(n2, )x1sin

x1cos

xnsinx故函数fx 当x0时，fxxsinax与gxx2ln1bx等价无穷小，则 （A）a1,b （C）a1,b （D）a1,b 当x0时，有ln(1 J记limf(x)limxsinaxlim1acosaxa1（Jx0

J

1cos

11b

.故选

设函数zfx,y的全微分为dzxdxydy，则点0,0 zf(xy在点(x0y0又f(xy0

f(xy0，令

f

(x,y)A

f

(x,y)B

fyy(x0y0C ACB20f(xy在(xyA0时取极小值，A0 ACB20(xyf(xy ACB20时，仅此不足以判断(xyf(xy

dzxdxydy得xxyy.因此，点(00)是驻点2

2

2Ax21Bxy0Cy2且在点(00)处，ACB20，A0，可知点(00)zf(xy的极小值点.故选 4fxy连续，则1dxxfxydy1 4 4

fx,ydx 4 （C）1dy

（B）1

fx,yD1:1x2,xy2，D2:1y2,yx4y 41dxxfx,ydy1

fx,ydxf(x,DxyD:1y2,1x4y 4于是f(xy)dxdy1 4D

fxyfx在点1,1x2y22fx 12f(xf''(x0，且在点(1,112 |y''

3

f'(11f''(1在[12f'(xf'(110f(x对于f(2)f(1)f'()1 f(2)0而f(11 OO-0-123xFxx

ftdt的图形为 1-1-0123-

- - 1-01-01231-0123 x轴、y轴围成的图形的面积。f(x在[13有界，只有两个间断点（x02）

f(x在[13xF(x)x

f(t)dt在[13F(00

F(0)0

F(xxx不连续被排除（A（D）F(x在[10F(x01dtx（x[10]）xA,B2A*B*A,BA2B3 块矩阵 （A）2 O O O （D） O 0 0

B1 ；

(1)mn|A||B|

B1

0 0

A*AAA*A

AB6，知矩阵

A

B1

2B*

O

6

O

O.故选 设A，P均为3阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且PTAP 0 P(,,)，Q(,,) （A）

（D） AmnAA的左边乘以相应的m阶初AA的右边乘以相应的n阶初等矩阵. 因为

,,)(,,) 0，即QP 0

T T于是QTAQP 0AP 0 0(PTAP)

0 0 0 0 故应选

二、填空题：9-14424分，请将答案写在答题纸指定位置上曲线

在(0,0)处的切线方程 yt2ln(2t2yyf(xxx0f(x0yf(x在点(x0,f(x0处切线的斜率.x(ty(tyy(x),'(t),'(t存在'(t0dy

('(t) 曲线上点(00)对应t1.dxt1

2tln(22tln(2t)22te(1t2

2因此曲线在点(00)y已知ekxdx1，则k 【答案】

x dx

kekxdx2ekxdx2

2k0 1，则k2

注意，当k0时，ekxdx发散lim1exsinnxdx n【答案】设u(xv(x)u(x)dv(x)u(x)v(x)v(x)du(x)或者u(x)v'(x)dxI1exsinnxdx

1exd(cosnx)1excosnx1

1excos

n

n1(1e1cosn)11excosnxdx n

3e1cosnn

1excosnxdx0

1excosnxdx1d2d2n因此limInyy(xxy【答案】

x1

F(xy0yy(xyy.xyeyx1y(0)0.xyxyeyy1y(0)2yxyeyy2eyyx021y(0)0y(03函数yx2x在区间(0,1]上的最小值 【答案】f(xf(x0f(x0f(xf(x0f(x0f(x在该区间上的最小值.yx2x在(0,1的单调性. 0xy(e2xlnx)e2xlnx2(lnx1) x e1xyx2x在(0,1y(e1e2e1

(14)设，为3维列向量，T为的转置，若矩阵T相似于 0 T 【答案】 若 B，则aiibii（A，B有相同的迹 1T的迹就是T记AT，由于

a2002，于是T2 注

2

则迹trAabababTT1 2 3三、解答题：15－2394分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说（15（求极限

sin4 法当x0时，sin4 x4，1cos

1x22这是求“0”型极限.由等价无穷小因子替换sin4 x4(x0)0lim(1cosx)[xln(11

sin4 1tanxcos2x2 tanxcos2xsin2

1(14 （16（计算不定积分ln(1

(x式f(x)dxf[(t)](t)dtG(tCG[1(xC，其中t1(xx(t的udvuv1x令t ，解得1x

t2Jln(11x)dx

1)ln(1t)

1

t2 t2

t211 dt (t1)(t1)dt

dt1(1

1(t21)(t 2(t1)(t 2(t

4t

ttt111tt2t Jln(1t1

1 ttt2 2ttJx

x1)1 x)1

1CC为任意常数xxxxxx（17（

2zfxyxyxyf2阶连续偏导数，求dz与在本题中，先求dz dzf(dxdy)f(dxdy)f(ydx ffyf)dxffxf)dy，由此又可得zf 2

y(f1f2yf3

（18（yyxx0xyy20yyx过原点时，x1y0D2Dy轴旋转所得旋转体的体积。yyf(xypypp

f(x,f(x，g(x在[abyf(x，yg(x)xa，xb(abDSb

f(x)g(x)dxyf(x)(axbxa，xbxby轴旋转一周产生的旋转体的体积为V2axf(xdxbyy(x0(x0xyy20这是可降阶的微分方程.pyp1p2 这是一阶线性微分方程.两边乘

1 1

(1

2 2

1p2Cp2Cxy2 y2xCx2 yy(x过原点，可得C0.y2xC 1yy(xx1y0D11 1y(x)dx (Cx2x)dx(Cx3x2

1C12C1 1

y3x22x(x V21x(3x22x)dx2(32)17 （19（计算二重积分xydxdyDxyx12y122yDxrcosyrsinf(x,y)df(rcos,rsin xrcosyrsinD0r2(cossin)，3 3

2(cossin)I

(xy)d4

r(cossin

2(cossin

84(cossin)

d 3

(cossin)(cossin 8 4(1sin2)cos2d

1sin22)3 (sin3 3 48 [(2)8 3 （20（22yy(x是区间(,内过点(22

,

的光滑曲线，当x0点处的法线都过原点，当0xy(xyyx0.y(xyf(xxx0f(x0yf(x在点(x0,f(x0ypyqyf(xf(xPn(x，Pn(x为n 0y*(x)H(xH(x为待定的n次多项式 当x0yy(x上任意点(xyYy(x)

(Xx)其中X,Y是法线上点的坐标.由于法线均过原点，故X,Y00)y(x)

ydyxdx0d(x2y2x2y222由初始条件x ，y22

，得C2.2y (x0)（x2当0xyy(xyy相应齐次方程的特征方程为210，特征根i(i y*xyCcosxCsinx

， 22

2x2 0由此定出C1C2ycosxsinxy

2x2

x 0x（21（证 日中值定理：若函数fx在a,b上连续，在(a,b)内可导，则abfbfafbafxx0处连续，在0,0

fxA f(x在[ab上连续，在(abf(a)f(b，则存在(af'(0F(x)f(x

f(bf(a(xaF(x在[ab连续，在(abbf(x)f

f()

f(b)f.b

x(0,)，在[0,x]上 日中值定理得，(0,x)，f(x)f(0)f(xx0时0f(0)

f(x)f(0)

f()

f(x)A

（22（

设A 1，1

的.A2的所有向量 n个n维向量线性无关

0对增广矩阵(