2019高考江苏数学优编增分练：高考附加题加分练（八）随机变量及其概率分布

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精（八)随机变量及其概率分布1．袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为eq\f(5，12）。现甲、乙两人从袋中轮流摸球,甲先取，乙后取，然后甲再取,…，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X表示取球终止时取球的总次数．(1）求袋中原有白球的个数；(2）求随机变量X的概率分布及数学期望E(X)．解(1）设袋中原有n个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为eq\f（C\o\al（2,n)，C\o\al（2,9))，由题意知eq\f(C\o\al（2,n），C\o\al（2，9)）＝eq\f（5,12)，化简得n2－n－30＝0,解得n＝6或n＝－5（舍去)，故袋中原有白球的个数为6。（2）由题意，X的可能取值为1，2,3，4。P(X＝1）＝eq\f(6,9）＝eq\f（2,3)，P(X＝2)＝eq\f（3×6,9×8)＝eq\f（1，4），P(X＝3）＝eq\f（3×2×6,9×8×7）＝eq\f（1，14）,P（X＝4)＝eq\f(3×2×1×6，9×8×7×6）＝eq\f(1,84）.所以取球次数X的概率分布为X1234Peq\f(2，3)eq\f(1，4）eq\f（1，14)eq\f(1，84）所求数学期望E(X）＝1×eq\f（2,3）＋2×eq\f(1，4)＋3×eq\f(1,14）＋4×eq\f（1，84）＝eq\f（10,7）.2．某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为P1＝eq\f（2，3)，乙的命中率为P2，在射击比武活动中每人射击两发子弹则完成一次检测．在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发,则称该射击小组为“先进和谐组"．(1）若P2＝eq\f（1,2），求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；(2）在2018年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为ξ，如果E(ξ)≥5，求P2的取值范围．解(1)所求概率P＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(C\o\al(1，2)·\f（2,3）·\f（1,3)）)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（C\o\al（1,2)·\f(1，2)·\f（1，2))）＋eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)·\f（2,3)））eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,2)·\f（1，2))）＝eq\f(1，3）.（2）该小组在一次检测中荣获“先进和谐组"的概率为P＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(C\o\al(1,2)·\f(2，3)·\f(1，3））)［Ceq\o\al(1,2)·P2·(1－P2)]＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(2，3）·\f（2,3）))Peq\o\al(2,2)＝eq\f(8,9）P2－eq\f(4，9）Peq\o\al(2，2)。而ξ～B（12，P），所以E(ξ)＝12P，由E(ξ)≥5知，eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（8，9）P2－\f（4，9)P\o\al（2,2)））·12≥5，解得eq\f(3,4)≤P2≤eq\f（5,4）。又0≤P2≤1,∴eq\f（3,4）≤P2≤1.3．（2018·南通调研）从集合｛1，2,3，4，5}的所有非空子集中，等可能地取出m个．（1）若m＝1，求所取子集的元素既有奇数又有偶数的概率;（2)若m＝2，记所取子集的元素个数之差的绝对值为ξ，求ξ的概率分布及数学期望E(ξ）．解(1)当m＝1时，记事件A：“所取子集的元素既有奇数又有偶数"．则集合{1,2，3,4，5｝的非空子集数为25－1＝31，其中非空子集的元素全为奇数的子集数为23－1＝7，全为偶数的子集数为22－1＝3，所以P（A）＝eq\f（31－7＋3,31)＝eq\f（21，31).(2）当m＝2时，ξ的所有可能取值为0，1，2,3,4，则P（ξ＝0）＝eq\f(C2C\o\al(1,5）＋C2C\o\al(2，5）＋C2C\o\al（3,5）＋C2C\o\al（4，5)，C\o\al(2，31)）＝eq\f(110,465）＝eq\f（22,93），P（ξ＝1）＝eq\f（C\o\al(1，5）C\o\al（2，5)＋C\o\al(2，5）C\o\al（3,5)＋C\o\al（3,5）C\o\al（4，5)＋C\o\al（4，5）C\o\al（5，5），C\o\al(2,31）)＝eq\f（205,465)＝eq\f（41,93），P（ξ＝2)＝eq\f（C\o\al(1,5)C\o\al（3,5）＋C\o\al(2,5）C\o\al(4,5）＋C\o\al（3，5）C\o\al(5，5），C\o\al（2，31））＝eq\f（110,465)＝eq\f（22,93）,P(ξ＝3）＝eq\f（C\o\al（1，5)C\o\al(4，5)＋C\o\al(2,5)C\o\al（5,5),C\o\al（2,31))＝eq\f(35,465）＝eq\f（7,93),P（ξ＝4）＝eq\f(C\o\al(1,5）C\o\al（5,5）,C\o\al(2，31)）＝eq\f(5，465）＝eq\f(1，93)，所以ξ的概率分布为ξ01234Peq\f(22,93)eq\f(41,93)eq\f(22，93)eq\f(7，93)eq\f（1,93）所以ξ的数学期望E（ξ)＝0×eq\f（22，93)＋1×eq\f（41,93）＋2×eq\f(22，93)＋3×eq\f（7，93)＋4×eq\f（1,93)＝eq\f（110，93).4．（2018·启东模拟）如图,已知正六棱锥S－ABCDEF的底面边长为2，高为1。现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量X表示所得三角形的面积．(1)求概率P(X＝eq\r(3))的值；(2)求X的概率分布,并求其数学期望E（X）．解（1)从7个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有Ceq\o\al(3，7）＝35（种)取法．其中X＝eq\r（3）的三角形如△ABF，这类三角形共有6个．因此P(X＝eq\r（3)）＝eq\f（6，C\o\al（3,7））＝eq\f(6,35).(2)由题意知，X的可能取值为eq\r(3），2,eq\r（6)，2eq\r（3），3eq\r(3）.其中X＝eq\r（3）的三角形如△ABF，这类三角形共有6个；其中X＝2的三角形有两类,如△SAD（3个），△SAB(6个)，共有9个；其中X＝eq\r(6）的三角形如△SBD,这类三角形共有6个；其中X＝2eq\r(3）的三角形如△CDF，这类三角形共有12个；其中X＝3eq\r(3)的三角形如△BDF，这类三角形共有2个．因此P（X＝eq\r(3))＝eq\f（6,35)，P（X＝2）＝eq\f（9，35)，P（X＝eq\r（6）)＝eq\f（6,35），P（X＝2eq\r(3))＝eq\f（12，35)，P(X＝3eq\r（3))＝eq\f（2，35).所以随机变量X的概率分布为Xeq\r（3)2eq\r（6）2eq\r（3）3eq\r(3)P(X）eq\f（6，35)eq\f(9,35)eq\f（6,35）eq\f（12,35）eq\f（2,35）所求数学期望E（X)＝eq\r（3）×eq\f（6,35)＋2×eq\f(9，35）＋eq\r(6）