两圆方程作差所得方程对应直线与两圆位置关系

--#-/5R+R+R=OO12那么新得到的两圆是外切的；再令r12-r22=R12-R2显然原来两圆方程相减所得的方程和新得到的两圆方程相减所得的方程一样为同一直线即为新得两圆的公切线；所以只需解方程组解得R+R=OO12〈11R+R=OO12〈11r12-12r2-r2o<-4 2-O1O2IR1=2&=2OO12+O1O2IOO12K内分OOK内分OO所称比入

12r2-r2+|OOI22 1 1121a+入a—1 21+入山/1占内分点b+kb-4 21+九又R1-r12OO12OO12Oq又R1-r12OO12OO12Oqr(OO-r)-L12 1r222OO12r2一r2+12ILIO1O」-(O)C)2|2-2O1O2|r[+r2)]]OO-r+r>0；1212同理R同理R2-r2>0；故在两圆连心线上两圆之间的线段上且r1>r2时，垂足K在圆心。与线段OO圆心。与线段OO中点连线的延长线上；r<r时，垂足K在圆心。与线段OO中点连线12121217472 117472 12-42+的延长线上。由以上可知：垂足K的求法与位置已明朗化，抽象的直线l的位置也已明朗化。举例如下:C:(x-4)2+(y-4)2=162OO―1_2r2-r2+|OOI2 42-12+2 1 1121a+入a—t 21+九170+ 4 1747_171+174716=yk170+ 4471 171+-471716直线吆斜率为,所以所求根轴方程为:17y——16(17、=-1x——16)8x+8y-17=0此结果验证与直接相减结果一致。七、两圆内含根轴的几何意义与位置同样两圆内含根轴的几何意义是到两圆幕相等的点的轨迹（既到两圆切线长相等的轨迹）结论同样抽象，具体直线l在哪里？根轴与两圆连心线垂直，仍需探求根轴l与两圆连心所在直线垂直的垂足K的位置。圆方程、圆心、半径设法同上，同样以O为圆心R为半径作圆以O为圆心R为半径作圆满足3R产O1O2那么新得到的两圆是内切的；再令r2-r2=R2—R2显然原来两圆方程相减所得的方程和新得到的两圆方程相减所得的方程一样为同一直线即为新得两圆的公切线.所以，只需解方程组|R-RI—|OO1 2 12不妨设r>r(既Rr2—r2—R2—R2 1 2 1方程组等价于12R+R12一一 R外分O1O2所称比'R2121 OO1:1 OO1:r2—r2—|OO21 2 1121 2OO12a十九a 21+九b十九b-4——t1+九储+电L11212OO12OO2-21OO|r112 11211,—OO12r-r12r+r122O1O2卜—OO]「r+r—|OO|]>02O1O2卜12JL12112IJ 1 2故垂足K在圆心OO的延长线上且在圆O外部;12由以上可知：垂足K的求法与位置已明朗化，抽象的直线l的位置也已明朗化。举例如下:设C:x2+y2―9，C:(x—1)2+(y—1)2—112R—i—R2r2—r2+OO2-4 2 1_2—r2—r2—|OO21 2 11232—12+32—12—a十九ax―x―-a——kk1十九直线O1直线O1O2斜率为，所以所求根轴方程为:b十九by—y―-4——i

kk1十九0+nx+y—5—0,此结果验证与直接相减结果一致。八、结论：根轴与两圆连心线垂直两圆相交根轴的几何意义就是公共弦所在直线两圆相切（内切或外切）根轴的几何意义就是公切线两圆相离根轴的几何意义，根轴与两圆连心线所在直线垂直，它的垂足r r2—r2+OOI2K内分OO所称比九—十—一2———2 R r2—r2+OO22 1 1121两圆内含根轴的几何意义，根轴与两圆连心线所在直线垂直，它的垂足K外分O1O2所称R r2